圓形福建土樓模態(tài)分析

楊志林， 羅漪， 王海峰

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

福建土樓(以下簡稱土樓)廣泛分布在中國東南部的福建客家地區(qū)，是以夾墻板夯筑為墻體、以木料為柱梁等的多層巨型生土建筑.土樓的外圍以厚實(shí)堅(jiān)固的夯土墻承重，沿外墻用木構(gòu)分隔成眾多的房間.沿夯土外墻徑向有木橫梁，間距約為1 m，直徑約為120 mm，一端埋入外部夯土墻中，另一端與內(nèi)部木梁、木柱形成木構(gòu)框架.土樓約3～5層，樓高11～16 m，底層墻厚1～2 m，頂層厚0.8～1.6 m，夯土墻的基礎(chǔ)寬達(dá)3 m[1].

土樓的動力特性包括結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型等，是計(jì)算抗風(fēng)、抗震和動荷載響應(yīng)等動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，對土樓的研究和保護(hù)具有重要意義.然而，土樓建筑材料和結(jié)構(gòu)形式不同于普通現(xiàn)代建筑，外部夯土墻體厚、剛度大，內(nèi)部木結(jié)構(gòu)柔，空間整體性強(qiáng)，簡化為質(zhì)點(diǎn)體系誤差較大，已有的結(jié)構(gòu)動力特性理論不能直接用于土樓的動力特性分析.另外，現(xiàn)有的生土建筑規(guī)范，如JGJ 161-2008《鎮(zhèn)(鄉(xiāng))村建筑抗震技術(shù)規(guī)程》、GB 50011-2010《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(2016年版)等適用于低矮生土建筑,而土樓層高、結(jié)構(gòu)高度、開間、進(jìn)深均超出規(guī)范的上限值，在建筑規(guī)模上屬于超限生土建筑.

許多學(xué)者針對生土結(jié)構(gòu)的動力特性進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[2-4]通過縮尺模型振動臺試驗(yàn)，認(rèn)為加載前試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖哉耦l率最大，由于結(jié)構(gòu)損傷的累積，每次加載后，結(jié)構(gòu)的自振頻率均降低.Delgadillo等[5]通過足尺模型試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)夯土墻的自振頻率隨著夯土墻內(nèi)部溫度的增加而減小，環(huán)境溫度與夯土墻內(nèi)部平均溫度變化存在時差，環(huán)境濕度和夯土墻內(nèi)部濕度與夯土墻的自振頻率之間的關(guān)系不明顯.文獻(xiàn)[6-7]通過有限元數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)普通方形生土建筑的一階振型為長邊沿垂直于長邊方向的水平振動.Gomes等[8]通過數(shù)值模擬認(rèn)為當(dāng)內(nèi)部隔墻厚度小于外墻時，內(nèi)隔墻的剛度小于外墻剛度，結(jié)構(gòu)的一階振型為內(nèi)隔墻的水平振動，但一階振型的振型參與質(zhì)量很小，一階振型為局部振動.Bui等[9]通過現(xiàn)場實(shí)測，獲得了生土結(jié)構(gòu)的一階頻率和振型，但是忽略了其他各種因素對結(jié)構(gòu)頻率的影響[10].上述研究針對低矮的生土結(jié)構(gòu)，層高為1～2層，而福建土樓是巨型多層生土墻與木構(gòu)的混合結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)一步確認(rèn)生土結(jié)構(gòu)動力特性分析結(jié)果的適用性.

針對土樓的動力特性研究，李衡[11]通過數(shù)值模擬和模型試驗(yàn)的方法，對縮尺模型進(jìn)行了模態(tài)分析，沒有對實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析.王安寧[12]用數(shù)值模擬方法計(jì)算了在兩種彈性模量取值和4種墻體平均厚度情況下，福建土樓的前5階自振頻率，結(jié)果表明：夯土的彈性模量小的土樓，夯土結(jié)構(gòu)剛度小，自振頻率也?。浑S著墻體厚度的增加，土樓夯土結(jié)構(gòu)的剛度不斷增加，各階自振頻率也不斷地增加.生土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著結(jié)構(gòu)尺寸、材料參數(shù)的變化規(guī)律，有待進(jìn)一步探索研究.

土樓以方形和圓形為主，圓形居多，圓形土樓主要有3類：內(nèi)通廊式、單元式和特殊形式圓樓[1].本文以內(nèi)通廊式圓形土樓為研究對象，對其進(jìn)行模態(tài)分析.

1 夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型的對比

為了研究圓形福建土樓的動力特性，以福建省龍巖市永定縣的承啟樓為原型進(jìn)行模態(tài)分析，承啟樓一層平均墻體厚度為1.4 m，底層平均墻體厚度為0.8 m，取夯土墻體平均厚度為1.2 m；夯土墻高度為12.4 m；墻體外側(cè)直徑為63.6 m.承啟樓尺寸測繪圖,如圖1所示.

(a) 一層平面圖 (b) 剖面圖圖1 承啟樓尺寸測繪圖(單位：cm)Fig.1 Chengqi Lou dimensional drawing diagram (unit： cm)

1.1 有限元模型

圓形土樓的夯土結(jié)構(gòu)被簡化為等厚的圓柱殼，柱殼厚度為墻體的平均厚度，柱殼的高度為墻體的實(shí)際高度，夯土材料的密度為1 624 kg·m-3，彈性模量為130.67 MPa[13-14]，泊松比為0.30；木結(jié)構(gòu)的材料密度為506 kg·m-3，彈性模量為8 177.06 MPa，泊松比為0.37[15-16].夯土結(jié)構(gòu)和夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖2所示.

(a) 夯土結(jié)構(gòu) (b) 夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)圖2 有限元模型圖Fig.2 Finite element model diagram

夯土墻選用Solid 185單元，這是一種空間8節(jié)點(diǎn)6面體實(shí)體單元；木結(jié)構(gòu)選取Beam 188單元，這是一種空間兩節(jié)點(diǎn)梁單元；木結(jié)構(gòu)之間的榫卯連接簡化為剛接.夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)中，木結(jié)構(gòu)與夯土結(jié)構(gòu)通過共用相接觸位置節(jié)點(diǎn)的方式連接；在邊界條件中，將夯土結(jié)構(gòu)的邊界條件設(shè)置為底部固支，頂部自由，將木結(jié)構(gòu)的邊界條件設(shè)置為底層木柱底端固支.

1.2 模態(tài)分析結(jié)果對比

夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型的前10階自振頻率,如表1所示.表1中：ω為自振頻率；η為相對差異.由表1可知：圓形土樓中可能存在重頻或密頻現(xiàn)象.

表1 夯土模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型的前10階自振頻率Tab.1 TOP 10 natural vibration frequencies of rammed earth strusture model and rammed earth-wood mixed structure model

(a) 夯土結(jié)構(gòu)模型 (b) 夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型圖3 夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型1階振型對比Fig.3 Comparison of 1st modal shape between rammed earth structure model and rammed earth-wood mixed structure model

(a) 夯土結(jié)構(gòu)模型 (b) 夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型圖4 夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木混合結(jié)構(gòu)模型2階振型對比Fig.4 Comparison of 2nd mode shapes between rammed earth structure model and rammed earth-wood mixed structure model

(a) 夯土結(jié)構(gòu)模型 (b) 夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型圖5 夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型3階振型對比Fig.5 Comparison of 3rd mode shapes between rammed earth structure model and rammed earth-wood mixed structure model

圖3～5分別為夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型的第1～3階振型的對比.由圖5可知：夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型中木構(gòu)受夯土結(jié)構(gòu)的約束，振型均為木結(jié)構(gòu)隨著夯土結(jié)構(gòu)做橫向(徑向)振動，盡管數(shù)值模擬中兩種模型前10階的振型相對差異最大值為15.5%，但兩種模型自振頻率的絕對差異在0.2 Hz以內(nèi)；雖然兩種模型的3階振型存在差異，但夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型中存在的振型，夯土結(jié)構(gòu)模型中均存在相應(yīng)的相似振型.因此，可以用夯土模型探索圓形土樓自振頻率隨著結(jié)構(gòu)材料參數(shù)、尺寸參數(shù)變化的規(guī)律.

2 參數(shù)變化對圓形土樓自振頻率的影響

2.1 參數(shù)的確定

結(jié)構(gòu)的自振頻率主要由結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量決定，影響夯土結(jié)構(gòu)剛度的參數(shù)主要有：夯土的彈性模量(E)、土樓結(jié)構(gòu)平均半徑(R)、夯土墻平均厚度(b)和夯土墻高度(H)，影響夯土結(jié)構(gòu)質(zhì)量的參數(shù)主要為夯土密度(ρ).故選取夯土的彈性模量和密度、土樓結(jié)構(gòu)平均半徑、夯土墻高度和夯土墻平均厚度5個參數(shù)，分析參數(shù)變化對土樓自振頻率的影響.

部分圓形福建土樓結(jié)構(gòu)尺寸統(tǒng)計(jì)表，如表2所示.表2中：r為外徑；h為底層墻體厚度.

表2 部分圓形福建土樓結(jié)構(gòu)尺寸統(tǒng)計(jì)表Tab.2 StatisticalTab of partial circular Fujian Tulou structure size

葉俊捷等[14]測得圓形土樓夯土密度為1 624 kg·m-3，夯土彈性模量為130.67 MPa，泊松比為0.3；Bui等[9]在生土結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中測得的夯土密度為1 950 kg·m-3，夯土彈性模量為500 MPa；Silva等[17]在生土結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)中測得的夯土密度為1 723 kg·m-3，夯土彈性模量平均值為462.2 MPa.因此，土樓數(shù)值模擬中參數(shù)的取值范圍確定如下：夯土彈性模量為25～1 296 MPa；夯土密度為100～4 000 kg·m-3；土樓結(jié)構(gòu)平均半徑為10～60 m；夯土墻高度為10～18 m；夯土墻平均厚度為0.5～2.5 m.

2.2 參數(shù)變化對夯土結(jié)構(gòu)模型自振頻率的影響

圓形土樓的夯土結(jié)構(gòu)厚度變化被忽略后，圓形土樓夯土結(jié)構(gòu)在外形上類似于等厚的懸臂圓柱殼；同時，通過數(shù)值模擬的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)變化的范圍內(nèi)，夯土結(jié)構(gòu)和夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)前7階振型沿高度方向的半波數(shù)均為1.因此，將計(jì)算結(jié)果僅按周向波數(shù)進(jìn)行分類比較是合理的.一方面，在軸向波數(shù)一定的情況下，周向波數(shù)可以唯一確定一個振型；另一方面，圓柱殼的自振頻率與振型的軸向波數(shù)和周向波數(shù)有關(guān)[18].

夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著夯土彈性模量的變化規(guī)律，如圖6所示.圖6中：n為周向波數(shù).由圖6可知：夯土結(jié)構(gòu)模型的自振頻率隨著夯土彈性模量的增大而增大，近似與夯土彈性模量的平方根成正比.

(a) 自振頻率-夯土彈性模量曲線 (b) 自振頻率-夯土彈性模量平方根曲線圖6 夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著夯土彈性模量的變化規(guī)律Fig.6 Relationship between natural vibration frequency of rammed earth structure and elastic modulus of rammed earth

夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著夯土密度的變化規(guī)律，如圖7所示.由圖7可知：夯土結(jié)構(gòu)的自振頻率隨著夯土的密度的增加而減小，近似與夯土密度的平方根成反比.

(a) 自振頻率-夯土密度曲線 (b) 自振頻率-夯土密度平方根曲線圖7 夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著夯土密度的變化規(guī)律Fig.7 Relationship between natural vibration frequency of rammed earth structure and density of rammed earth

由圖6,7可知：周向波數(shù)不同的7條自振頻率隨著參數(shù)的變化曲線只能清晰地看見4條，因?yàn)橹芟虿〝?shù)為2，3，4的曲線分別與周向波數(shù)為7，6，5的曲線基本重合了.這是由于雖然振型不同，但自振頻率非常接近，一方面，說明圓形土樓夯土結(jié)構(gòu)可能存在密頻現(xiàn)象；另一方面，說明材料特性變化對不同階自振頻率的影響基本一致.

夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著土樓結(jié)構(gòu)平均半徑和夯土墻平均厚度的變化規(guī)律，如圖8所示.

(a) 自振頻率-土樓結(jié)構(gòu)平均半徑曲線 (b) 自振頻率-夯土墻平均厚度曲線圖8 夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著土樓結(jié)構(gòu)平均半徑和夯土墻平均厚度的變化規(guī)律Fig.8 Relationship among natural vibration frequency of rammed earth structure, average radius of structure of Tulou and average thickness of rammed earth walls

由圖8(a)可知：夯土結(jié)構(gòu)的自振頻率隨著結(jié)構(gòu)的土樓結(jié)構(gòu)平均半徑R增大而減小，且土樓結(jié)構(gòu)平均半徑越大，自振頻率的變化率越小.由圖8(b)可知：夯土結(jié)構(gòu)的自振頻率隨著夯土墻平均厚度b的增加而增加；不同周向波數(shù)對應(yīng)的自振頻率隨著夯土墻平均厚度的增大速率不同，周向波數(shù)越大，對應(yīng)的自振頻率的變化速率越大.

夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著夯土墻高度的變化規(guī)律,如圖9所示.

(a) 自振頻率-夯土墻高度曲線 (b) 自振頻率-夯土墻高度倒數(shù)曲線圖9 夯土結(jié)構(gòu)自振頻率隨著土樓夯土墻高度的變化規(guī)律Fig.9 Relationship between natural vibration frequency of rammed earth structure and height of Tulou

由圖9可知：夯土結(jié)構(gòu)的自振頻率隨著夯土墻高度的增加而減小，近似與土樓的高度成反比.

2.3 參數(shù)敏感性

(1)

(a) 彈性模量敏感性

(b) 密度敏感性 (c) 墻體厚度敏感性

(d) 墻體高度敏感性 (e) 平均半徑敏感性圖10 參數(shù)的敏感性變化規(guī)律Fig.10 Variation of factors sensitivity

其余參數(shù)的敏感性和變化率的定義與此相似.

參數(shù)的敏感性變化規(guī)律,如圖10所示.由圖10(a)，(b)可知：彈性模量敏感性隨著彈性模量變化率的增大而減小，密度敏感性隨著密度變化率的增大而增大，即彈性模量越大，彈性模量的敏感性越小，密度越大，密度敏感性越大;周向波數(shù)不同的7條曲線重合為一條曲線，說明不同階自振頻率的彈性模量敏感性相同，密度敏感性也相同.

由圖10(c)～(e)可知：7條曲線明顯不同，說明不同階自振頻率的厚度敏感性、墻體高度敏感性和平均半徑敏感性不同，因此，夯土結(jié)構(gòu)的材料特性變化對各階自振頻率的影響相同；夯土結(jié)構(gòu)尺寸變化對夯土結(jié)構(gòu)各階自振頻率的影響不同，即周向波數(shù)越多的振型，對應(yīng)的自振頻率受結(jié)構(gòu)尺寸變化的影響就越大.

3 結(jié)論

1) 采用夯土結(jié)構(gòu)模型與夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)模型兩種方式，分別對圓形福建土樓進(jìn)行動力特性分析.夯土-木構(gòu)混合結(jié)構(gòu)中木構(gòu)受夯土結(jié)構(gòu)的約束，振型均為木結(jié)構(gòu)隨著夯土結(jié)構(gòu)做橫向(徑向)振動，振型基本一致，自振頻率相近.

考慮到夯土結(jié)構(gòu)在整個土樓混合結(jié)構(gòu)中的質(zhì)量和剛度占90%以上，后續(xù)可通過研究夯土結(jié)構(gòu)模型的模態(tài)特征研究圓形土樓的模態(tài)特征.

2) 圓形土樓的夯土結(jié)構(gòu)類似于懸臂圓柱殼，結(jié)構(gòu)的自振頻率與周向波數(shù)相關(guān)，將計(jì)算結(jié)果按照周向波數(shù)分類進(jìn)行比較.圓形土樓的自振頻率隨著夯土彈性模量、夯土墻平均厚度的增大而增大，隨著夯土密度、土樓結(jié)構(gòu)平均半徑、夯土墻高度的增大而減小.自振頻率與彈性模量平方根近似成正比；與材料密度平方根及夯土墻高度近似成反比關(guān)系.

3) 不同階自振頻率隨著參數(shù)的變化曲線有規(guī)律地重合，主要是因?yàn)殡m然振型不同，但自振頻率非常接近，一方面說明圓形土樓夯土結(jié)構(gòu)可能存在密頻現(xiàn)象；另一方面說明材料特性變化對不同階自振頻率的影響基本一致.

4) 按照振動周向波數(shù)分類，分析影響土樓動力特性的各參數(shù)的敏感性.各階自振頻率的夯土的彈性模量和密度敏感性是一致的，不同階自振頻率的土樓結(jié)構(gòu)平均半徑、墻體平均厚度、夯土墻高度3個參數(shù)的敏感性不同，周向波數(shù)越多，自振頻率越大，參數(shù)的敏感性越大.

5) 土樓的動力特性是計(jì)算抗風(fēng)、抗震和動荷載響應(yīng)等動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，對土樓的研究和保護(hù)具有重要意義.今后將進(jìn)一步進(jìn)行土樓的動力特性的測試和模態(tài)識別的研究.