二階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)分組一致性分析

李艷艷， 李鐘慎

(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

多智能體系統(tǒng)一致性在電力、交通、多機(jī)器人協(xié)同控制等方面得到廣泛的應(yīng)用[1-4].多智能體系統(tǒng)一致性指的是隨著時(shí)間的推移，智能體之間進(jìn)行信息交換，最后，使得各智能體的狀態(tài)達(dá)到相同的值.一致性協(xié)議是智能體之間進(jìn)行信息交換后狀態(tài)達(dá)到一致的規(guī)則.多智能體系統(tǒng)一致性問題作為多智能系統(tǒng)研究的基本問題之一，許多學(xué)者在這一問題上得到了豐富的理論成果.這些成果包括一階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)一致性的研究[5]、具有動(dòng)態(tài)拓?fù)浜筒煌瑫r(shí)延的二階多智能體系統(tǒng)的一致性的分析[6]、具有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)一致性控制協(xié)議的設(shè)計(jì)[7]及基于二階網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯多智能體一致性控制協(xié)議的設(shè)計(jì)[8]等.朱雪芳等[5]研究基于加權(quán)平均預(yù)測(cè)的一階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的一致性問題，提高系統(tǒng)的魯棒性和收斂速度.閆超等[6]設(shè)計(jì)一種新鄰居的反饋法則，研究在動(dòng)態(tài)拓?fù)湎戮哂胁煌ㄐ艜r(shí)滯的二階多智能體系統(tǒng).林淼[7]設(shè)計(jì)具有時(shí)滯的二階和三階多智能體系統(tǒng)分布式協(xié)同控制策略和提高系統(tǒng)收斂速度的局部控制策略.戴彬婷等[8]提出帶有延時(shí)基于二階網(wǎng)絡(luò)的多智能體一致性控制和跟蹤算法，并且在提升系統(tǒng)一致性收斂速度基礎(chǔ)上研究編隊(duì)控制算法.

近年來，分組一致性問題成為多智能體系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)之一.對(duì)多個(gè)智能體系統(tǒng)進(jìn)行分組，使得子系統(tǒng)中各智能體的狀態(tài)達(dá)到一定的值，不同子系統(tǒng)達(dá)到的狀態(tài)不一樣.Yu等[9]提出通信拓?fù)渲g的交換存在通信延遲，引入雙樹行變換對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行降階，在加權(quán)有向圖下，對(duì)一階系統(tǒng)分組一致性的時(shí)滯和切換情況進(jìn)行研究，并設(shè)計(jì)一階系統(tǒng)分組一致性若干法則.Xie等[10]提出連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)的分組一致性充分必要準(zhǔn)則.Xia等[11]提出在切換拓?fù)浜蜁r(shí)變時(shí)滯情況下，一階多智能體分組一致性的充分條件.Han等[12]提出智能度的概念，利用多一致性的方法，給出二階系統(tǒng)在采樣控制下實(shí)現(xiàn)分組一致性的充分必要條件.

在實(shí)際應(yīng)用中，相互聯(lián)系的多智能體之間不僅存在合作關(guān)系，也存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.然而，基于競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的多智能體研究問題卻少有報(bào)道.文獻(xiàn)[13-19]基于競(jìng)爭(zhēng)協(xié)議下，研究一階多智能體無時(shí)滯和時(shí)滯情況下的分組一致性問題.林瑜陽(yáng)等[14]研究二階多智能體基于競(jìng)爭(zhēng)協(xié)議下的分組一致性問題.本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，將無時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)拓展到有時(shí)滯的多智能系統(tǒng)，給出二階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)分組一致性的競(jìng)爭(zhēng)協(xié)議，并給出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)分組一致性所容許的最大時(shí)滯及實(shí)現(xiàn)分組一致性的充分必要條件.

1 預(yù)備知識(shí)與問題描述

1.1 代數(shù)圖論

設(shè)G={V,E}表示一個(gè)無向圖，V={v1,v2,v3,…,vn}表示頂點(diǎn)的集合， 即多智能體系統(tǒng)的集合.E?V×V表示圖的邊集，即智能體之間信息交換.(vi，vj)∈E表示頂點(diǎn)vi能夠接收到頂點(diǎn)vj傳遞的信息，頂點(diǎn)vi的鄰居集合用N表示.其中，Ni={vj∈V}.圖G的鄰接矩陣A=ai,j?Rn×n，ai,j表示vi和vj之間的連接權(quán)值.當(dāng)vj∈Ni時(shí)，ai,j>0;否則,ai,j=0.

對(duì)于無向圖ai,j=aj,i.文中不考慮自環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度矩陣D=[di，j]n×n，di，j表達(dá)式為

(1)

式(1)中：k為1,2,3，…,n.存在無向序列{(vi,1,vi,2)，(vi,2,vi,3)，…,(vi,r,vj)}使vi到達(dá)vj，則稱vi和vj是連通的.若無向圖中任意兩點(diǎn)是連通的，則稱該圖是無向連通圖.

1.2 問題描述

以連續(xù)二階多智能體系統(tǒng)為研究對(duì)象，每個(gè)智能體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型描述為

(2)

定義2分組一致性.給定系統(tǒng)初始條件x(0)=[x1(0),x2(0),x3(0),…,xn(0)]T，v(0)=[v1(0),

研究帶有通信時(shí)滯的二階多智能體系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于競(jìng)爭(zhēng)的控制協(xié)議的控制輸入為

(3)

式(3)中:γ>0表示耦合系數(shù);τ為系統(tǒng)時(shí)滯.由式(2)，多智能系統(tǒng)的方程為

(4)

其對(duì)應(yīng)的矩陣形式為

(5)

式(5)中：x=[x1,x2,x3,…,xn]T;v=[v1,v2,v3,…,vn]T;L=D+A.

2 主要結(jié)果及其證明

為了研究系統(tǒng)(3)在時(shí)滯情況下的分組一致性問題，給出引理1,2.

引理1如果圖G(t)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為連通二部圖，則在適當(dāng)排序下，圖G對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣A為

引理2如果圖G的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為連通二部圖，則矩陣D+A的秩為n-1，矩陣D+A的非零特征值為正實(shí)數(shù).

定理1設(shè)二階時(shí)滯多智能體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為連通二部圖，當(dāng)γ>0時(shí)，利用控制協(xié)議(3),系統(tǒng)(4),可以達(dá)到分組一致，0<τ<τ*即為系統(tǒng)的最大時(shí)滯.

(6)

(7)

證明:利用頻域分析法對(duì)系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并求出系統(tǒng)進(jìn)行分組一致時(shí)τ的取值范圍.對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行拉普拉斯變換,即

Χ(s)=G(s)x(0).

(8)

令Y(s)=sIn-In?S-L?Re-τ,s，由定理2，存在可逆矩陣F，使得J=F-1LF=diag{0,λ2,…,λn}，其中，0=λ1<λ2<…≤λn為正實(shí)數(shù)且為(D+A)的特征值.

Y(s)=(F?I2)(FT?I2)Y(s)(F?I2)(FT?I2)=(F?I2)[sIn-In?S-L?Re-τs)(FT?I2)-

(9)

由式(9),有

(10)

由式(10)可知，Y(s)除了兩個(gè)零特征值，其余零點(diǎn)均位于左半開平面，當(dāng)且僅當(dāng)

s2+sλiγe-τ,s+λie-τ,s=0

(11)

的根全部位于左半平面.將s=jω帶入式(11)，λi為正實(shí)數(shù),有

-ω2+ωγλisin(τω)+λicos(τω)=0，

(12)

ωγλicos(τ)-λisin(τω)=0.

(13)

由式(12)，(13)，可得

(14)

因此，最小時(shí)滯τ為

(15)

當(dāng)ω>0時(shí)，ω隨λi的增大而增大，而arccosx是一個(gè)減函數(shù)，所以τ是關(guān)于λi的減函數(shù)，記λmax=maxλi為系統(tǒng)能容許的最大時(shí)滯，有

(16)

(17)

(18)

(19)

由文獻(xiàn)[10]，由于式(17)除兩個(gè)零特征值外，其余特征值均分布在坐標(biāo)軸的左半平面，所以系統(tǒng)收斂，可實(shí)現(xiàn)分組一致.

圖1 5個(gè)多智能體系統(tǒng)的 連通二部圖Fig.1 Connected binomial graph with 5 multi-agent systems

3 數(shù)值仿真

圖1為5個(gè)多智能體的連通二部圖.圖1中：兩頂點(diǎn)間連接權(quán)重為1；任意產(chǎn)生的初始狀態(tài)為x(0)=[-6,5,-6,0,6]T， 而v(0)=[4,7,-5,3,2]T.取耦合系數(shù)γ=1，τ*=0.29，有0<τ<0.29.

當(dāng)γ=1時(shí)，τ=0.134時(shí)，即當(dāng)多智能體系統(tǒng)時(shí)滯在最大容許時(shí)滯范圍內(nèi)，系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)，如圖2所示.圖2中：x為位置；v為速度.由圖2可知：智能體系統(tǒng)1,2收斂于同一位置和速度，而智能體系統(tǒng)3～5收斂于同一位置和速度，多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)分組一致性.

當(dāng)γ=1時(shí)，τ=0.290時(shí)，即當(dāng)多智能體系統(tǒng)時(shí)滯處于最大容許時(shí)滯時(shí)，系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)，如圖3所示.由圖3可知：智能體系統(tǒng)1,2收斂于同一位置和速度，智能體系統(tǒng)3～5收斂于同一位置和速度，并且多智能系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，仍然能夠?qū)崿F(xiàn)分組一致,但處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài).

(a) 位置響應(yīng) (b) 速度響應(yīng)圖2 系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)(γ=1，τ=0.134)Fig.2 Every state response of system (γ=1， τ=0.134)

(a) 位置響應(yīng) (b) 速度響應(yīng)圖3 系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)(γ=1，τ=0.290)Fig.3 Every state response of system (γ=1， τ=0.290)

當(dāng)γ=1時(shí)，τ=0.350時(shí)，即多智能體系統(tǒng)時(shí)滯超過最大容許時(shí)滯，系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)，如圖4所示.由圖4可知：智能體系統(tǒng)1,2既不收斂于同一位置和速度，智能體系統(tǒng)3～5也不收斂于同一位置和速度，即各智能體系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)散，驗(yàn)證了定理1的正確性.

(a) 位置響應(yīng) (b) 速度響應(yīng)圖4 系統(tǒng)的各狀態(tài)響應(yīng)(γ=1，τ=0.350)Fig.4 Every state response of system (γ=1， τ=0.350)

4 結(jié)論

研究二階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)在連通二部圖下分組一致性問題，根據(jù)連通二部圖的特征，設(shè)計(jì)基于競(jìng)爭(zhēng)的二階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的分組一致性協(xié)議，通過頻域分析法得到系統(tǒng)分組一致性的充要條件，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.

文中僅研究了連續(xù)二階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的在連通二部圖下的分組一致性問題，對(duì)于基于連通二部圖下的離散多智能體系統(tǒng)、非線性多智能體系統(tǒng)的分組一致問題是后續(xù)將要解決的問題.