連續(xù)微線段柔性加減速自適應(yīng)前瞻規(guī)劃算法

葉衡， 謝明紅

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院， 福建 廈門361021)

大多數(shù)數(shù)控機(jī)床只具有直線和圓弧插補(bǔ)功能，隨著加工零件曲面曲線的日益復(fù)雜，直接描述零件輪廓已不太可能.目前，數(shù)控機(jī)床在加工零件時(shí)，先由計(jì)算機(jī)輔助制造(CAM)軟件將工件的復(fù)雜輪廓曲線逼近成大量連續(xù)且短小的微線段，這些線段的長(zhǎng)度通常為0.1～1.0 mm.采用傳統(tǒng)的加減速與插補(bǔ)算法時(shí)，數(shù)控機(jī)床將每段微線段內(nèi)獨(dú)立加減速，起始點(diǎn)速度設(shè)置為零，機(jī)床在每段加工軌跡內(nèi)頻繁啟停，極大限制了機(jī)床能達(dá)到的進(jìn)給速度，使機(jī)床各軸的加減速能力無法得到充分利用，同時(shí)，機(jī)床的頻繁啟停會(huì)造成震動(dòng)與沖擊，降低工件的加工質(zhì)量.為了解決這些問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[1-3].較為常用的前瞻算法的核心是加減速算法和拐點(diǎn)處的速度約束.王耀庭等[4]提出一種基于直線加減速方式的高速嵌入式數(shù)控系統(tǒng)速度前瞻算法，但直線加減速方式柔性差，對(duì)機(jī)床仍有沖擊.鐘前進(jìn)等[5]研究S曲線加減速，并將其用于數(shù)控系統(tǒng)，提高了數(shù)控加工的速度和柔性，但該方法計(jì)算復(fù)雜，不利于實(shí)時(shí)處理.司慧曉等[6]將完整的S曲線加減速進(jìn)行簡(jiǎn)化.

目前，具有前瞻功能的數(shù)控機(jī)床大多采用固定段數(shù)的前瞻方式，前瞻段數(shù)達(dá)數(shù)千甚至上萬，極大地占用數(shù)控系統(tǒng)的內(nèi)存資源，降低處理效率.因此，王海濤[7]根據(jù)加工軌跡拐角的大小區(qū)分前瞻區(qū)間，自適應(yīng)地調(diào)整前瞻段數(shù)[7]，但其速度敏感點(diǎn)的識(shí)別方式仍可能使前瞻段數(shù)過多.許東偉[8]提出一種以最大速度減速至零走過的段數(shù)區(qū)分前瞻區(qū)間的方法，可縮短前瞻區(qū)間，但在敏感點(diǎn)為零時(shí)，該方法的速度規(guī)劃無法達(dá)到最優(yōu).基于此，本文提出一種連續(xù)微線段柔性加減速自適應(yīng)前瞻規(guī)劃算法.

1 S曲線加減速

1.1 加減速原理

圖1 簡(jiǎn)化的S曲線加減速Fig.1 Simplified S-curve acceleration and deceleration

直線加減速[9]柔性較差，而完整的S曲線加減速則計(jì)算復(fù)雜[10].簡(jiǎn)化的S曲線加減速，如圖1所示.圖1中：s為位移；v為進(jìn)給速度；a為加速度；r為加加速度；R為加加速度最大值；-A為系統(tǒng)允許反向進(jìn)給加速度的最大值；A為系統(tǒng)允許進(jìn)給加速度的最大值.簡(jiǎn)化的S曲線加減速分為加加速段T1、減加速段T2、勻速段T3、加減速段T4、減減速段T5等5個(gè)時(shí)間段[11].

由于電機(jī)在加加速段與減加速段的加加速度絕對(duì)值相等，故有

T1=T2=R/A.

(1)

同理，有

T4=T5=R/A.

(2)

故有

T1=T2=T4=T5.

(3)

數(shù)控系統(tǒng)允許進(jìn)給速度最大值vmax及R，A是確定的，故S曲線加減速過程可確定.在完整的S曲線加減速中，加加速度r為

(4)

式(4)中：t1～t5為各階段的時(shí)間節(jié)點(diǎn).

加速度函數(shù)a(t)、進(jìn)給速度函數(shù)v(t)和位移函數(shù)s(t)可通過積分得到，即

(5)

(6)

(7)

式(5)～(7)中：ti為時(shí)間節(jié)點(diǎn)；τi表示以ti-1為起點(diǎn)的時(shí)間.

刀具起始點(diǎn)速度均為0(圖1)，可以達(dá)到系統(tǒng)允許的加速度和速度，其加加速度r越大，達(dá)到系統(tǒng)允許最大加速度的時(shí)間T1越小，柔性越差；反之，柔性越好.

1.2 段內(nèi)加減速等效模型

在實(shí)際加工中，因各段軌跡長(zhǎng)度限制，進(jìn)給速度不一定可以達(dá)到vmax，且電機(jī)在加工軌跡的起始點(diǎn)速度不一定為0.設(shè)起始速度為vs，終點(diǎn)速度為ve，可達(dá)到的最大速度為vm.當(dāng)vs

1) 2段加減速(圖2(a)).只有T1，T2或T4，T5段；vs>ve同理.

2) 完整加減速(圖2(b)).當(dāng)vm=vmax時(shí)，具有完整的加減速過程，T1=T2,T4=T5；vs>ve同理.

3) 4段加減速(圖2(c)).當(dāng)vmve同理.

(a) 2段加減速 (b) 完整加減速 (c) 4段加減速圖2 段內(nèi)實(shí)際加減速情況Fig.2 Actual acceleration and deceleration within segment

設(shè)軌跡長(zhǎng)度為L(zhǎng)；電機(jī)從vs加速到vmax，刀具所走過的位移為L(zhǎng)ac；電機(jī)從vmax減速到ve，刀具所走過的位移為L(zhǎng)de；電機(jī)從vs加速或減速到ve，刀具所走過的位移為l.由式(4)～(7)可得

(8)

(9)

假設(shè)vs>ve(vs

(10)

當(dāng)L>Lac+Lde時(shí)，加工軌跡長(zhǎng)度足夠電機(jī)加速到vmax；當(dāng)l

(11)

傳統(tǒng)方法無法精確求解vm，有的文獻(xiàn)采用牛頓迭代法，但該法迭代次數(shù)過多，計(jì)算過程相對(duì)耗時(shí).因此，采用二分法求解，設(shè)定誤差范圍為0.1，則有

(12)

2 自適應(yīng)前瞻速度規(guī)劃

2.1 拐點(diǎn)處速度約束

Li段與Li+1段的交點(diǎn)為Pi，刀具的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)镻i-1→Pi→Pi+1.刀具在Pi-1的速度為vi-1，在Pi的速度為vi，在Pi+1的速度為vi+1.在Li段，刀具在點(diǎn)Pi的進(jìn)給速度為vA，方向由Pi-1指向Pi；在Li+1段，刀具在點(diǎn)Pi的進(jìn)給速度為vB，方向由Pi指向Pi+1.在機(jī)床加工中，設(shè)定刀具在Pi處的速度大小相等,方向發(fā)生了改變，|vA|=|vB|；vA與vB的夾角為α，線段Li與Li+1的夾角為β.拐點(diǎn)示意圖，如圖3所示.

1) 拐角角度對(duì)速度的約束.因?yàn)榈毒咴邳c(diǎn)Pi的速度發(fā)生變化，且速度改變發(fā)生在1個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)，所以刀具在拐點(diǎn)Pi處產(chǎn)生加速度atrans.為避免對(duì)機(jī)床產(chǎn)生沖擊，應(yīng)使atrans不超過機(jī)床允許的最大加速度amax.

設(shè)插補(bǔ)周期為Ts，則atrans滿足

(13)

由此可得

(14)

式(13)，(14)中：Δv為速度變化量；vtrans為拐角角度的約束速度.

拐角角度的速度約束，如圖4所示.圖4中：vtrans,m拐角角度的最大約束速度.

圖3 拐點(diǎn)示意圖 圖4 拐角角度的速度約束Fig.3 Diagram of corner point Fig.4 Speed constraint of corner angle

2) 微線段長(zhǎng)度對(duì)速度的約束.刀具運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)镻i-1→Pi→Pi+1，vi-1

Ⅰ)vi受Li長(zhǎng)度的影響.若Li>Lac，則刀具有足夠的加工長(zhǎng)度，刀具在點(diǎn)Pi的速度不受Li長(zhǎng)度的限制，即

vi=vmax.

(15)

若Li

(16)

刀具由vi-1加速到vi的過程由T1，T2組成，令T1=T2=tm.由式(4)～(7)可得

(17)

通過卡丹公式求解一元三次方程，可得

(18)

式(18)中：p=2vi-1/R；q=-Li-1/R.

由式(4)～(7)可得

(19)

由此可得

(20)

Ⅱ)vi受Li+1長(zhǎng)度的影響.同理可得

(21)

式(21)中：p=2vi+1/R；q=-Li+1/R.

2.2 自適應(yīng)前瞻分段規(guī)劃

圖5 拐角速度突變示意圖Fig.5 Diagram of abrupt change of corner speed

前瞻的主要任務(wù)是預(yù)先獲取一定數(shù)量的加工軌跡信息，并對(duì)其進(jìn)行速度規(guī)劃.當(dāng)其他條件不變時(shí)，前瞻段數(shù)越多，則速度規(guī)劃效果越優(yōu).目前，具有前瞻功能的機(jī)床常用的方式是每次前瞻一定數(shù)量的軌跡段或規(guī)劃所有的軌跡段，但這種做法緩沖區(qū)占用的內(nèi)存較大，且固定段數(shù)的前瞻不適應(yīng)加工軌跡間速度變化的要求.此外，因?yàn)楣战墙嵌鹊南拗疲行┕战翘幍乃俣葮O低，甚至減速為0，這些拐角兩端加工軌跡處的速度不會(huì)相互影響，所以將兩端處軌跡結(jié)合前瞻沒有意義.為解決這些問題，采用識(shí)別速度敏感點(diǎn)的方法分割前瞻區(qū)間，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)前瞻.

拐角速度突變示意圖，如圖5所示.圖5中：vA，x，vB，x分別為vA，vB在x軸上的分量；vA，y，vB，y分別為vA，vB在y軸上的分量.當(dāng)拐角β<90°時(shí)，刀具在拐點(diǎn)Pi的速度在y軸的分量方向在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生逆向突變，此時(shí)，y軸電機(jī)需要在非0速度下進(jìn)行反轉(zhuǎn)，對(duì)電機(jī)沖擊較大，故此點(diǎn)速度極低.將此點(diǎn)設(shè)為速度敏感點(diǎn)，相鄰敏感點(diǎn)之間的加工軌跡為一個(gè)獨(dú)立前瞻區(qū)間.

傳統(tǒng)的前瞻算法將敏感點(diǎn)的速度設(shè)置為0，這種做法雖然可避免電機(jī)在非0速度下進(jìn)行反轉(zhuǎn)，但會(huì)降低加工效率，且造成機(jī)床頻繁啟停，從而引入其他加工誤差.因此，假定刀具從敏感點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下一點(diǎn)時(shí)，其速度可以減小為0，根據(jù)拐角角度和敏感點(diǎn)后一段加工軌跡長(zhǎng)度的限制，計(jì)算敏感點(diǎn)安全加工速度，可得

(22)

式(22)中：vlim為敏感點(diǎn)的安全過渡速度；Lnext為敏感點(diǎn)后一段加工軌跡長(zhǎng)度.

2.3 前瞻速度規(guī)劃

完成對(duì)加工軌跡的獨(dú)立前瞻區(qū)間分段后，需要對(duì)區(qū)間內(nèi)的軌跡段進(jìn)行速度規(guī)劃，結(jié)合前推法和回溯法[12-18]提出前瞻規(guī)劃策略.設(shè)現(xiàn)有一個(gè)獨(dú)立前瞻區(qū)間，拐點(diǎn)分別為Pi-1～Pi+5；軌跡段分別為L(zhǎng)i～Li+5；設(shè)αn為點(diǎn)Pn處拐角，n=i-1,i,…,i+5；由Sif判斷點(diǎn)Pn是否敏感點(diǎn)，若為Y，表示是敏感點(diǎn)，若為N，表示非敏感點(diǎn)；vtrans_n為點(diǎn)Pn處拐角限制的最大速度(式(14))；vpre_n為點(diǎn)Pn前一段加工軌跡長(zhǎng)度限制的最大速度(式(20))；vnext_n為點(diǎn)Pn后一段加工軌跡長(zhǎng)度限制的最大速度(式(21))；vn為點(diǎn)Pn的最優(yōu)最大速度.前瞻前將每點(diǎn)的速度初始化，即vn=0，Sif為N.前瞻規(guī)劃策略有以下6個(gè)步驟.

步驟1從插補(bǔ)軌跡第1段開始，依次計(jì)算每個(gè)拐角αn.當(dāng)αn<90°時(shí)，將Sif設(shè)置為Y；否則，設(shè)置為N.將2個(gè)相鄰Sif標(biāo)志為Y的點(diǎn)之間的軌跡段設(shè)置為1個(gè)獨(dú)立區(qū)間.從第1個(gè)獨(dú)立前瞻區(qū)間開始前瞻.

步驟2根據(jù)式(22)計(jì)算終點(diǎn)Pn處的最優(yōu)最大速度vn=vlim，n=i+5.

步驟3令n=n-1，若n=i-1，開始步驟5；否則，向前讀取下一點(diǎn)Pn，分別計(jì)算vtrans_n，vnext_n.如果vtrans_n>vnext_n，則vn=vnext_n，重復(fù)該步驟；如果vtrans_n

步驟4若vi>vi+1，結(jié)束該步驟；否則，計(jì)算vpre_i+1.判斷是否vpre_i+1>vi+1，若是，則結(jié)束該步驟；否則，vi+1=vpre_i+1且i=i+1，重復(fù)該步驟，直至vpre_i+1>vi+1，開始步驟3.

步驟5令n=n+1，若n=i+5，結(jié)束該步驟；否則，向后讀取下一點(diǎn)Pn，計(jì)算vpre_n.若vpre_n>vnext_n，結(jié)束該步驟；若vpre_n

步驟6該前瞻區(qū)間結(jié)束，判斷是否前瞻完成，若完成，則結(jié)束前瞻；否則，讀取下一前瞻區(qū)間，轉(zhuǎn)入步驟2.

適用于連續(xù)微線段加工的新型前瞻規(guī)劃算法(文中前瞻規(guī)劃算法)采用先回溯再前推的方法，避免前瞻緩沖區(qū)過大的問題，且進(jìn)一步優(yōu)化敏感點(diǎn)的速度，使其不為0，可提高加工效率.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)包括硬件平臺(tái)和軟件平臺(tái).硬件平臺(tái)由空氣開關(guān)、電源、工控機(jī)(上位機(jī))、CX5020型下位機(jī)(德國(guó)倍福自動(dòng)化有限公司)、伺服電機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)器等通過導(dǎo)線和通信線(雙絞線)進(jìn)行連接.實(shí)驗(yàn)硬件平臺(tái)，如圖6所示.軟件平臺(tái)的開發(fā)環(huán)境采用基于Windows系統(tǒng)的Visual Studio，編程語言采用面向Windows的Visial C++.采用EtherCAT總線技術(shù)實(shí)現(xiàn)與伺服驅(qū)動(dòng)器的實(shí)時(shí)通信，由數(shù)控系統(tǒng)計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)，發(fā)送插補(bǔ)周期給伺服驅(qū)動(dòng)器，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)電機(jī)，通過編碼器采集速度.

3.2 連續(xù)微線段的取樣驗(yàn)證

微線段的加工軌跡，如圖7所示.設(shè)機(jī)床最大允許加速度為8 000 mm·s-2，最大允許加加速度為80 000 mm·s-3，插補(bǔ)周期Ts=1 ms.在不同機(jī)床允許的最大速度(vmax分別為600，800 mm·s-1)下，分別采用傳統(tǒng)規(guī)劃算法、其他前瞻規(guī)劃算法和文中前瞻規(guī)劃算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).其他前瞻規(guī)劃算法與文中前瞻規(guī)劃算法銜接點(diǎn)(拐角點(diǎn))的速度，如表1所示.

圖6 實(shí)驗(yàn)硬件平臺(tái) 圖7 微線段的加工軌跡Fig.6 Experimental hardware platform Fig.7 Machining trace of micro line

表1 前瞻規(guī)劃算法銜接點(diǎn)的速度Tab.1 Junction points speed of look-ahead planning algorithm

當(dāng)vmax=800 mm·s-1時(shí)，傳統(tǒng)規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況,如圖8所示.圖8中：v，vx，vy分別為傳統(tǒng)規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出速度(進(jìn)給速度)及其在x,y軸上的分量；a，ax，ay分別為插補(bǔ)輸出加速度(進(jìn)給加速度)及其在x,y軸上的分量.

(a) 插補(bǔ)輸出速度及其分量 (b) 插補(bǔ)輸出加速度及其分量圖8 傳統(tǒng)規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況Fig.8 Interpolation output situation of traditional planning algorithm

由圖8可知：采用傳統(tǒng)規(guī)劃算法進(jìn)行加減速插補(bǔ)時(shí)，刀具在各銜接點(diǎn)的速度降為0，各微線段內(nèi)獨(dú)立加減速.因?yàn)槲⒕€段長(zhǎng)度限制，刀具在各段內(nèi)可達(dá)到的最大進(jìn)給速度很小，加速度波動(dòng)較大，機(jī)床加工效率低下，電機(jī)在拐角處頻繁啟停造成機(jī)床震動(dòng)，影響工件加工質(zhì)量.

當(dāng)vmax=800 mm·s-1時(shí)，其他前瞻規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況，如圖9所示.由圖9可知：其他前瞻規(guī)劃算法通過設(shè)置拐點(diǎn)，將加工軌跡分為獨(dú)立區(qū)間，并在獨(dú)立區(qū)間內(nèi)獨(dú)立加減速，相較于傳統(tǒng)規(guī)劃算法，可實(shí)現(xiàn)獨(dú)立區(qū)間內(nèi)的連續(xù)速度規(guī)劃，提高加工效率，減少電機(jī)啟停的次數(shù)，提高機(jī)床的加工精度，但仍不能保證在銜接點(diǎn)處的速度均大于0.電機(jī)對(duì)機(jī)床仍有沖擊，不利于機(jī)床進(jìn)一步提高速度和精度.

(a) 插補(bǔ)輸出速度及其分量 (b) 插補(bǔ)輸出加速度及其分量圖9 其他前瞻規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況Fig.9 Interpolation output situation of other look-ahead planning algorithm

當(dāng)vmax=800 mm·s-1時(shí)，文中前瞻規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況，如圖10所示.由圖10可知：采用文中前瞻規(guī)劃算法對(duì)加工軌跡進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，銜接點(diǎn)速度均大于0，且段內(nèi)可達(dá)到的進(jìn)給速度明顯增大，加工效率較高，加速度波動(dòng)小，機(jī)床不容易產(chǎn)生沖擊.

(a) 插補(bǔ)輸出速度及其分量 (b) 插補(bǔ)輸出加速度及其分量圖10 文中前瞻規(guī)劃算法的插補(bǔ)輸出情況Fig.10 Interpolation output situation of proposed look-ahead planning algorithm

表2 3種規(guī)劃算法的輸出結(jié)果Tab.2 Output results of three algorithms

3種規(guī)劃算法的輸出結(jié)果，如表2所示.由表2可知：相較于傳統(tǒng)規(guī)劃算法和其他前瞻規(guī)劃算法，文中前瞻規(guī)劃算法可以縮短加工時(shí)間.當(dāng)vmax=600 mm·s-1時(shí)，文中前瞻規(guī)劃算法的加工效率比傳統(tǒng)規(guī)劃算法提高了28.6%，比其他前瞻規(guī)劃算法提高了8.7%；當(dāng)vmax=800 mm·s-1時(shí)，文中前瞻規(guī)劃算法的加工效率比傳統(tǒng)規(guī)劃算法提高了29.8%，比其他前瞻規(guī)劃算法提高了13.7%.

4 結(jié)束語

提出一種適用于連續(xù)微線段加工的新型前瞻規(guī)劃算法，采用簡(jiǎn)化的S曲線加減速，減少計(jì)算時(shí)間，通過識(shí)別速度敏感點(diǎn)自適應(yīng)調(diào)整前瞻區(qū)間，解決了傳統(tǒng)前瞻算法前瞻段數(shù)過多的問題;進(jìn)一步優(yōu)化前瞻區(qū)間的終點(diǎn)速度,使其大于0.相較于其他算法，文中前瞻規(guī)劃算法可進(jìn)一步提高銜接點(diǎn)速度、加工平穩(wěn)性及加工效率.