構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

李繼賢

(甘肅省靜寧縣仁大中學(xué) 743411)

高中數(shù)學(xué)的解題中，大多數(shù)學(xué)生的解題思路都是由題目當(dāng)中的條件至結(jié)論實(shí)施定向思考，但部分?jǐn)?shù)學(xué)問題通過(guò)該思路進(jìn)行解題是較為困難的.而構(gòu)造法的運(yùn)用，學(xué)生就能夠通過(guò)構(gòu)造方程、構(gòu)造數(shù)列等各種方式解決數(shù)學(xué)問題，則能實(shí)現(xiàn)高效解題.因此，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時(shí)，需將構(gòu)造法的有關(guān)知識(shí)講解給學(xué)生，以促使學(xué)生能夠更好的理解與應(yīng)用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題.與此同時(shí)，數(shù)學(xué)教師需注重典型例題、訓(xùn)練題的精講，以促使學(xué)生通過(guò)聽課以及習(xí)題訓(xùn)練，充分了解到構(gòu)造法的應(yīng)用技巧，并能夠在數(shù)學(xué)解題中靈活應(yīng)用構(gòu)造法，從而實(shí)現(xiàn)高效解題.

一、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的作用

首先，有助于學(xué)生的解題能力提高.構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)解題的方法，對(duì)于學(xué)生而言，其充分掌握構(gòu)造法，自然能促進(jìn)學(xué)生自身解題能力的提高，特別是高中數(shù)學(xué)的解題，學(xué)生面臨著指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等數(shù)學(xué)難題，怎樣在較短的時(shí)間中獲得解題思路則成了解題的重中之重，而通過(guò)構(gòu)造法的運(yùn)用，不僅能夠使學(xué)生把未知轉(zhuǎn)變成已知，而且還能將數(shù)學(xué)題干當(dāng)中的隱藏條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢暬?，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自身的解題積極性，并消除學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)題解答的畏難情緒.對(duì)于大多數(shù)高中生而言，其理論知識(shí)都較為夯實(shí)，只是對(duì)于數(shù)學(xué)題的解答思路與解答思維相對(duì)薄弱，此時(shí)，數(shù)學(xué)教師就需在此基礎(chǔ)上，強(qiáng)化學(xué)生解題思路以及解題能力的鍛煉，增強(qiáng)訓(xùn)練維度，從而使學(xué)生充分掌握相關(guān)解題方法.

其次，有助于學(xué)生的思維能力提高.數(shù)學(xué)學(xué)科作為對(duì)學(xué)生的思維能力有著較高要求的一門課程，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，不僅要用到口與手，還需有思維意識(shí).而學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)構(gòu)造法進(jìn)行學(xué)習(xí)，就能形成相應(yīng)的構(gòu)造思維，并在歸納、類比、轉(zhuǎn)化等各種數(shù)學(xué)思想的影響下，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而使學(xué)生實(shí)現(xiàn)更好的解題.

再次，有助于學(xué)生的聯(lián)想能力提高.高中數(shù)學(xué)的解題中應(yīng)用構(gòu)造法的基礎(chǔ)就是要求學(xué)生具有相應(yīng)的聯(lián)想能力，經(jīng)過(guò)聯(lián)想才能使未知與已知的知識(shí)進(jìn)行構(gòu)造轉(zhuǎn)化，并經(jīng)過(guò)構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)題，促進(jìn)學(xué)生自身的聯(lián)想能力提高.基于此，高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想，對(duì)已知的解題思路以及方案實(shí)施驗(yàn)證，并對(duì)學(xué)生自身的創(chuàng)新能力實(shí)施培養(yǎng)，從而使學(xué)生的聯(lián)想力得到有效提高.

最后，有助于學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力提高.高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)通常有許多，大部分學(xué)生在具體學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)實(shí)施分割學(xué)習(xí)，卻忽略了許多知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，這就會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，缺乏完整性.而通過(guò)構(gòu)造法的應(yīng)用，不僅能夠使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)各知識(shí)點(diǎn)實(shí)施有效轉(zhuǎn)化，而且還能在具體解題中，促使學(xué)生通過(guò)構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題、幾何問題、函數(shù)問題的有效解決，并促使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.基于構(gòu)造法的方程解題

高中數(shù)學(xué)的解題中，通常需應(yīng)用構(gòu)造法進(jìn)行一元二次方程的構(gòu)造，經(jīng)過(guò)方程根和系數(shù)之間的關(guān)系與Δ進(jìn)行求解.想要使學(xué)生可以更好的實(shí)現(xiàn)方程構(gòu)造，在具體教學(xué)時(shí)，首先，數(shù)學(xué)教師需對(duì)構(gòu)造方程式的注意事項(xiàng)進(jìn)行講解，也就是認(rèn)真讀題，依據(jù)題干構(gòu)建出方程和已知條件之間的橋梁，而不是盲目構(gòu)造.其次，注重例題的優(yōu)化選擇，通過(guò)板書寫出構(gòu)造方程進(jìn)行解題的整個(gè)步驟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真體會(huì)，以便于學(xué)生更好的理解與吸收解題步驟與方法.

例如，已知16cosC+4sinB+tanA=0，sin2B=4cosCtanA，當(dāng)中cosC≠0，求取cosC/tanA的值.

解析本題主要給出了兩個(gè)等式，學(xué)生直接進(jìn)行求解的難度通常比較大，大部分學(xué)生都布置該怎樣入手.教師則可指導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)等式進(jìn)行認(rèn)真觀察，找出兩等式之間的關(guān)系，并通過(guò)構(gòu)造方程進(jìn)行解題.

解答根據(jù)16cosC+4sinB+tanA=0，假設(shè)4=t，則能夠構(gòu)造出一元二次的方程，即(cosC)t2+(sinB)t+tanA=0，而Δ=sin2B-4cosCtanA，又可知sin2B=4cosCtanA，因此，Δ=0.那么，關(guān)于t的一元二次的方程具有兩個(gè)實(shí)數(shù)根且相等，也就是t1=t2=4，根據(jù)根和系數(shù)之間的關(guān)系可知：tanA/cosC=t1·t2=16，那么tanA≠0，cosC/tanA=1/16.

2.基于構(gòu)造法的函數(shù)解題

高考中構(gòu)造函數(shù)通常是極為常見的，通常運(yùn)用于大題或者難度較高問題的解答中.在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)當(dāng)中，首先，教師需將構(gòu)造函數(shù)的方式與技巧講解給學(xué)生，如兩個(gè)函數(shù)，可經(jīng)過(guò)作差的形式進(jìn)行新函數(shù)構(gòu)造，并通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)實(shí)施討論.其次，數(shù)學(xué)教師可選擇具備代表性的數(shù)學(xué)題，對(duì)學(xué)生實(shí)施訓(xùn)練，以促使學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練充分掌握函數(shù)構(gòu)造的解題步驟以及方法，并實(shí)現(xiàn)解題最優(yōu)化.

例如，已知函數(shù)f(x)=x2+4x+2，g(x)=ex(2x+2)，如果x≥-2，那么f(x)≤kg(x)，求取k值的具體取值范圍.

解析本題的題目中涉及到兩個(gè)函數(shù)，而給出了f(x)≤kg(x)的條件，此時(shí)，就能通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行解題.

解答根據(jù)已知的條件進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，即F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2.那么，F(xiàn)′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).根據(jù)題設(shè)可得：F(0)≥0，F(xiàn)(-2)≥0，由此可得：1≤k≤e2.若F′(x)=0，可得：x1=-lnk，x2=-2.

若1≤k0.因此，位于(-2,x1)的時(shí)候，F(xiàn)(x)呈單調(diào)遞減，位于(x1,+∞)的時(shí)候，F(xiàn)(x)呈單調(diào)遞增.由此可知，[-2,+∞)上的最小值是F(x1)=-x1(x1+2)≥0，因此，若x≥-2的時(shí)候，F(xiàn)(x)≥0，那么f(x)≤kg(x)成立.

若k=e2的時(shí)候，F(xiàn)′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，在x>-2的時(shí)候，F(xiàn)′(x)>0，也就是F(x)位于(-2,+∞)呈單調(diào)遞增，而F(-2)=0,即若x≥-2的時(shí)候，F(xiàn)(x)≥0，那么f(x)≤kg(x)成立.

根據(jù)上述可得，k值取值范圍是[1，e2].

3.基于構(gòu)造法的解析式解題

解析式的構(gòu)造法運(yùn)用可通過(guò)完成相應(yīng)的關(guān)系進(jìn)行合理化構(gòu)建，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題的高效解答.在數(shù)學(xué)題的解答中，可通過(guò)相應(yīng)的關(guān)系式，促進(jìn)學(xué)生自身的解題思維簡(jiǎn)化，并以解析式構(gòu)造，通過(guò)相關(guān)模型進(jìn)行完成，其主要是經(jīng)過(guò)實(shí)際性數(shù)學(xué)問題具備的特征，對(duì)適當(dāng)關(guān)系進(jìn)行合理構(gòu)建，并構(gòu)建出對(duì)應(yīng)關(guān)系式，促使原先的數(shù)學(xué)題干的信息實(shí)施簡(jiǎn)化，從而使數(shù)學(xué)題的解答速率以及正確率得到有效提高.

綜上所述，高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，想要使學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，教師則可通過(guò)構(gòu)造法引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，依據(jù)數(shù)學(xué)題的內(nèi)容，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成形象、直觀的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，以促使學(xué)生解題積極性得以提高的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)解題速率的提高，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、思維能力、創(chuàng)新能力得到有效提高，最終實(shí)現(xiàn)高效解題.