函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

吳 強(qiáng)

(江蘇省寶應(yīng)縣氾水高級(jí)中學(xué) 225819)

函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想通常包含了兩方面，即函數(shù)思想和方程思想，所謂函數(shù)思想，其主要指通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)與概念進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)換與解決，而對(duì)于方程思想而言，則是依據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中存有的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用學(xué)習(xí)與掌握的相關(guān)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知的條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎行Ы鉀Q問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.在教師教與學(xué)生學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，通常會(huì)遇到很多函數(shù)問(wèn)題，教師需引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)函數(shù)與方程的思想解決與理解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這不僅能促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)靈活的運(yùn)用相關(guān)解題思想，而且還能實(shí)現(xiàn)高效解題，從而使學(xué)生的解題正確率與效率得到有效提高.

一、高中數(shù)學(xué)的函數(shù)與方程思想概述

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的主線，其主要是通過(guò)運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)，對(duì)客觀世界當(dāng)中的關(guān)聯(lián)量存在的關(guān)系實(shí)施研究與描述，并構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的重要分支與基礎(chǔ).函數(shù)思想主要是將相關(guān)函數(shù)知識(shí)作為基石，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象之間存有的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，以促使函數(shù)知識(shí)的具體應(yīng)用得到廣泛擴(kuò)展，并實(shí)現(xiàn)解題活動(dòng)豐富與優(yōu)化的同時(shí)，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)題提供強(qiáng)有力的創(chuàng)新能力，這就使函數(shù)與方程的解題思想逐漸成了高考中的考查熱點(diǎn).而方程思想則指通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中的變量存在的直接關(guān)系分析，構(gòu)建起相應(yīng)的方程或者方程組，或通過(guò)構(gòu)造方程，解方程或方程組，應(yīng)用方程性質(zhì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)化與解決.方程思想通常要求對(duì)于相關(guān)方程概念具有深刻認(rèn)知，在解決數(shù)學(xué)題的時(shí)候，可通過(guò)方程或者方程組對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)施分析與處理.

對(duì)于函數(shù)與方程而言，其雖然是不同的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，但二者卻存有密切的聯(lián)系，就高中數(shù)學(xué)的角度而言，函數(shù)與方程的思想通常在這兩方面對(duì)于解題有著重要作用.首先，與初等函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)相聯(lián)系，解決與求值、求解方程、解不等式與參數(shù)的取值范圍等相關(guān)的問(wèn)題；其次，可通過(guò)函數(shù)關(guān)系式與輔助函數(shù)的構(gòu)造，將需求解出的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懞瘮?shù)有關(guān)性質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題解答難度的降低.

二、函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

1.函數(shù)與方程思想在方程問(wèn)題解答中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)的函數(shù)通常有許多類型，如對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等.面對(duì)常規(guī)的方程問(wèn)題，可經(jīng)過(guò)分離變量轉(zhuǎn)變成對(duì)應(yīng)函數(shù)，以函數(shù)圖像開(kāi)展分析，面對(duì)較為復(fù)雜的方程問(wèn)題，可通過(guò)換元法進(jìn)行新函數(shù)的構(gòu)建，通過(guò)新函數(shù)的研究找出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案.在方程問(wèn)題的教學(xué)中，不僅需注重理論知識(shí)的講解，還需它能夠結(jié)合具體例題，為學(xué)生更好的解題做好示范，以促使學(xué)生充分掌握與運(yùn)用函數(shù)與方程彼此的轉(zhuǎn)換思路.另外，數(shù)學(xué)教師還需引導(dǎo)學(xué)生在理論知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中強(qiáng)化習(xí)題訓(xùn)練，并對(duì)經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行認(rèn)真剖析，從而實(shí)現(xiàn)舉一反三的教學(xué)目的.

例如，已知函數(shù)f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖像在(0,π)內(nèi)至少存有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的最小值.

讀懂題目且實(shí)施巧妙轉(zhuǎn)化通常是運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行解題的關(guān)鍵，兩函數(shù)圖像在給出的區(qū)間中至少存有一個(gè)公共點(diǎn)，也就是若兩函數(shù)相等的時(shí)候，就能將其轉(zhuǎn)變成方程問(wèn)題.

已知f(x)=g(x)在(0,π)內(nèi)存有解，也就是2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，將其化簡(jiǎn)為：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.因?yàn)閤∈(0,π)，也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+1/(1+cosx)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)1+cosx=1/(1+cosx)時(shí)，即cosx=0時(shí)，a取最小值2.

2.函數(shù)與方程思想在求解參數(shù)范圍中的應(yīng)用

求解參數(shù)的范圍屬于高中數(shù)學(xué)具體教學(xué)當(dāng)中的典型題型，在對(duì)該類習(xí)題進(jìn)行解答時(shí)，通常有兩種思路：第一，認(rèn)真審題，對(duì)已知條件當(dāng)中存有的不等式關(guān)系進(jìn)行深入挖掘，應(yīng)用不等式的相關(guān)知識(shí)對(duì)參數(shù)范圍進(jìn)行求解；第二，通過(guò)題干當(dāng)中存有的等量關(guān)系進(jìn)行對(duì)應(yīng)函數(shù)的構(gòu)建，并在定義域中求解出函數(shù)的具體取值范圍.數(shù)學(xué)教師在對(duì)參數(shù)范圍求解的教學(xué)中，不僅需注重有關(guān)的例題選擇與講解，而且還需促使學(xué)生深刻理解與掌握函數(shù)與方程思想的運(yùn)用步驟，并明確相關(guān)注意事項(xiàng)，引導(dǎo)與鼓勵(lì)學(xué)生積極歸納總結(jié)出函數(shù)與方程思想在具體解題中的運(yùn)用技巧，從而實(shí)現(xiàn)高效解題.

已知a、b是正數(shù)，滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

本題的題干較為簡(jiǎn)單，已知的條件十分明了，其解題的方法也比較多，但關(guān)鍵是找出最為簡(jiǎn)便的解法.根據(jù)題干的已知條件可知，其涉及兩個(gè)參數(shù)的和與兩個(gè)參數(shù)的積，據(jù)此可以聯(lián)想出一元二次方程的兩根之間的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)知識(shí)加以解答.假設(shè)ab=t，依據(jù)ab=a+b+3可知a+b=t-3，因此，可進(jìn)行方程構(gòu)造：x2-(t-3)x+t=0，明顯可知a，b是其兩個(gè)正根，由此可得出下述關(guān)系：Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得：t≥9.即ab的取值范圍是[9,+∞).

3.函數(shù)與方程思想在不等式問(wèn)題解答中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的不等式問(wèn)題通常與恒成立問(wèn)題有著密切聯(lián)系，不等式求解的時(shí)候，不僅需注重不等式的基本知識(shí)，還需注重通過(guò)函數(shù)與方程思想的運(yùn)用實(shí)施解答.經(jīng)過(guò)移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)、分離參數(shù)等各種方式，通過(guò)函數(shù)知識(shí)求取函數(shù)的最值屬于較為常見(jiàn)的一種解題思路.不等式所反映出的不等量關(guān)系，通常需以等量關(guān)系進(jìn)行解決，即方程.函數(shù)和不等式之間的互相轉(zhuǎn)換，就函數(shù)y=f(x)而言，在y>0的時(shí)候，就能轉(zhuǎn)變成不等式f(x)>0，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)與圖像相輔助，就能實(shí)現(xiàn)不等式相關(guān)問(wèn)題的解決，且函數(shù)性質(zhì)的研究也和不等式有著直接關(guān)系.

例如，設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的所有實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍.

學(xué)生在對(duì)本題解決時(shí)，依據(jù)其思維定勢(shì)，通常會(huì)將此題當(dāng)做是與x有關(guān)的不等式探討，但是，如果換個(gè)角度，將m當(dāng)做變量，就是與m有關(guān)的一次不等式，即(x2-1)m-(2x-1)<0在m∈[-2,2]上恒成立，由此可轉(zhuǎn)變成，設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，那么問(wèn)題就能轉(zhuǎn)變成函數(shù)f(m)的值在m∈[-2,2]上為負(fù)值，則參數(shù)x需滿足條件f(-2)<0,f(2)<0.

綜上所述，函數(shù)與方程思想作為高中數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，其在數(shù)學(xué)解題中有著較高的應(yīng)用率.因此，在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中，教師需注重引導(dǎo)學(xué)生深刻掌握該思想，將其靈活運(yùn)用于具體解題中，并在函數(shù)與方程思想的運(yùn)用中，注重各種類型數(shù)學(xué)題的匯總，通過(guò)經(jīng)典例題的分析，準(zhǔn)確理解與掌握函數(shù)與方程思想位于不同題型當(dāng)中的運(yùn)用技巧與方法，從而使學(xué)生的解題效率與準(zhǔn)確率得到有效提高.