淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的運用分析

李 俠

(江蘇省連云港市灌南高級中學 222500)

在課程改革的大環(huán)境下，高中數(shù)學提倡提升學生的數(shù)學思維培養(yǎng)和能力提升.函數(shù)思想作為一種較為高級的思維模式，在數(shù)學題目求解過程中將函數(shù)思想運用進來可以促進解答效率的提升.所以，在日常課堂教學中，教師應將培養(yǎng)學生函數(shù)思維視為教學重點內(nèi)容，啟發(fā)和引導高中生尋找題目的正確解題思路，促使學生透過題目復雜的現(xiàn)象看到本質(zhì)規(guī)律，將函數(shù)思維靈活運用進來.

一、函數(shù)思維的內(nèi)涵和方法

1.函數(shù)思想的內(nèi)涵

函數(shù)思想是解決數(shù)學問題的一種思維方式，是量與量之間的變化關系的一種反應，對函數(shù)而言，通常是一一相對的.所以，“規(guī)律”一詞可以概括函數(shù)思維的基本內(nèi)涵.比如，在y=f(x)這一函數(shù)中，以f為對應法則，變量范圍就是函數(shù)的基本構成要素.在函數(shù)中，處于重要地位的通常是自變量的變化情況，它直接決定著因變量的值.然而，對于值域而言，其結果主要是由對應法則、定義域所決定的.三者之間存在著緊密的關系.站在整體的角度來講，對應法則、因變量、自變量，三者之間的關系以及不斷變化規(guī)律均可以通過函數(shù)顯示出來.此外，運用函數(shù)思維進行數(shù)學問題的解答通常需要建立輔助函數(shù)，將問題轉化成函數(shù)形式，再運用函數(shù)性質(zhì)求得結論，依據(jù)我們常用的二次函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等來進行題目求解.所以，函數(shù)思維中所涵蓋的內(nèi)容量較大、復雜，需要學生能夠統(tǒng)籌兼顧函數(shù)思想，合理的運用其解答數(shù)學問題，而數(shù)學教師應做好輔助引導的工作，為學生提供解題幫助.

2.函數(shù)思想的運用方法

常用的函數(shù)思想運用方法主要有：第一，整體法，即根據(jù)題目的整體形式進行統(tǒng)一思考，使解題過程更加便捷.這要求學生理解整體與局部的關系，善于從整體角度把握不同信息之間的關系.第二，遞推思想法，這種方式指的是采用遞推關系探索方式進行具備一定數(shù)學規(guī)律的題目的求解，構建函數(shù)，并運用函數(shù)思想解決問題，通常這種方式要求題目有跡可循，且與函數(shù)具有共同之處，這種運用方式在數(shù)列問題中比較實用.第三，歸納假設法，即憑借不完全歸納進行數(shù)學問題的歸納假設，再進行假設驗證.在這種方法運用中通常需要建立函數(shù)，運用函數(shù)思想及其變化規(guī)律開展問題求解.

二、函數(shù)思想應用于數(shù)學解題的現(xiàn)實意義

1.削弱問題理解難度

高中階段數(shù)學知識難度增加，理論性強，對學生的邏輯思維要求較高，若學生的基礎薄弱，邏輯思維不強，在學習起來將具有較大難度.在數(shù)學題目的解題過程中，部分學生很難找到解題的竅門和方式，加之數(shù)學題目的內(nèi)容及要求變化多樣，要求學生詳細了解已知條件、限定條件等，再進行問題的解答分析.部分學生在高中數(shù)學知識解答中憑借大量的習題訓練，或背誦模板的方式來達到解題的目的，但這樣的學習效果相對不明顯，這主要是由于學生對數(shù)學思維的理解不夠透徹而導致的.在數(shù)學問題的解題中，運用函數(shù)思想能夠促進學生對知識內(nèi)容的理解，并在一定程度上降低學生對問題的理解難度，促進學生在較短的時間內(nèi)尋找到更加良好的解題辦法，建立輔助函數(shù)，繪制函數(shù)圖像等，將復雜化的函數(shù)知識利用相對直觀的方式表現(xiàn)出來，在圖像的指引下幫助學生分析和解答問題，進而促進學生更快、更好的解答題目.

2.提升教學效率

因高中數(shù)學知識自身具有的較高難度，不但對學生的理解能力有較高的要求，為教師的教學方式也帶來更大的挑戰(zhàn).教師應在教學中幫助學生尋找解題的思路和方法，使學生能夠撥開云霧見青天，找到解題的門路.函數(shù)思想的運用可對學生解題的過程發(fā)揮推動作用，教師在教學中加強函數(shù)思想的滲透、拓展，憑借函數(shù)圖像等進行問題分析，幫助學生理解題目的用意，確保教師與學生思路一致，這樣即可極大提升教學的教學效率，構建更加高效的高中數(shù)學教學課堂.

三、函數(shù)思想在高中數(shù)學中的應用

1.利用函數(shù)思想解決次數(shù)列問題

在高中階段的數(shù)學知識內(nèi)容中，數(shù)列題型很常見，將函數(shù)思想引入該類問題的解答過程頗具裨益.在數(shù)列中，每個數(shù)字均被視為數(shù)列的項，然而在題目的求解中則可以將每個項視為項數(shù)的函數(shù).針對變量的規(guī)律以及變量的發(fā)展變化的研究是函數(shù)思想的本質(zhì)內(nèi)容，數(shù)列主要研究的是數(shù)量的分布特征.顯而易見，函數(shù)與數(shù)列之間具有一定的相通性，學生可采用數(shù)列曲線圖的方式來掌握數(shù)列的規(guī)律.然而，值得注意的是，在圖像表達中函數(shù)具有連續(xù)性，而數(shù)列屬于正數(shù)點位，這也是數(shù)列具有離散性特點的重要原因.對此，高中生務必具備對數(shù)列基本知識有所了解，再借助圖像把握其變化規(guī)律和特點，掌握二者之間的不同點，進而實現(xiàn)從函數(shù)角度對數(shù)列問題的解答，提升其正確性.

2.利用函數(shù)思想解決不等式問題

不等式證明在高中階段數(shù)學題目中占有較大比例，這類題型具有一定的難度，對學生的數(shù)學思維也具有較高的要求.在不等式問題的證明題類型求解時，教師和學生均發(fā)現(xiàn)了其解題方式與函數(shù)之間的關聯(lián)，可以將函數(shù)思想運用至不等式證明中來，從根本上講就是求解對應函數(shù)的零點、度計應區(qū)間及其單調(diào)性問題.不等式證明要求高中生具備較好的數(shù)學邏輯思維，在充分考慮不等式形式自身的同時兼顧集的范圍.此外，并注意已知中給出的限定條件加以判斷.若不善于運用函數(shù)思想或繪制圖像，則會使學生難以理解，很容易出現(xiàn)解題錯誤.對此，高中數(shù)學教師在不等式題型的講解中，應加強函數(shù)思想的滲透和運用.

比如，已知不等式a2+am+3>4a+m恒成立，并且0≤m≤4，求a的取值范圍.在解題中，即可以m為自變量，建立函數(shù)：y=(a-1)m+a2-4a+3，由此，不等式即可轉換為y>0恒成立，再根據(jù)0≤m≤4這一限定條件進行分析，就可以計算出a的取值范圍，最終完成求證題目.

在此過程中，數(shù)學教師應根據(jù)學生的需求進行數(shù)學思想的滲透，引導學生在解題過程中尋求技巧，熟悉解題流程，使不等式求解的題型練習成為推動學生數(shù)學思維養(yǎng)成的有效方式，在不斷的運算和思考中幫助學生掌握數(shù)學思維的運用技巧.此外，教師可以針對相似題目進行類推，對已有題目舉一反三，轉變題型，反復訓練學生思維能力和函數(shù)思想應用能力，促進綜合能力發(fā)展.

3.利用函數(shù)思想解決方程式問題

在高中數(shù)學方程式問題的解答中，對于存在多個未知數(shù)的問題中，學生經(jīng)常會感到困惑、束手無策，這時，善于利用函數(shù)思想將取得良好效果.首先，學生審題后可以依據(jù)題目中給出的已知條件列解析式，在根據(jù)解析式的類型進行具體分析.可以將函數(shù)式視為已知是“0”的數(shù)量，再轉化方程式，對方程式兩端進行簡要處理，對于相對復雜的方程式可以先作移項處理，再繪制方程式圖像，按照圖像依據(jù)作問題解析.

例如，“f(x)=mx2+nx+c(m>0)，方程f(x)-x=0 的兩個根x1,x2,滿足0