凈保費在平衡損失函數(shù)下的回歸信度估計?

再努爾·木塔力甫，吳黎軍

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

信度理論是非壽險精算學的核心內(nèi)容之一, 是非壽險中的一組經(jīng)驗評估技術(shù). 信度模型包括古典信度模型和最精確信度模型. 在古典信度模型中, 需要確定當歷史索賠數(shù)據(jù)達到多大規(guī)模時, 才能夠賦予完全的可信度,而這個數(shù)據(jù)規(guī)模被稱作為完全可信度標準，如果經(jīng)驗數(shù)據(jù)達不到完全可信度標準就賦予部分可信度. 在實際操作中我們得到的索賠數(shù)據(jù)規(guī)模往往達不到完全可信度標準,因此研究部分可信度的計算方法具有重要的實際意義.自從信度理論提出以后,許多學者對信度理論進行了研究. B¨uhlmann[1]建立了無分布信度模型,得到了信度保費公式. B¨uhlmann 和Straub在無分布信度模型的基礎(chǔ)上, 將其推廣至自然權(quán)重的情形.Hachemeister[2]在利用B¨ulmann-Straub 信度模型對美國各州的汽車第三者責任險進行定價時, 注意到索賠數(shù)據(jù)在時間分量上由于通貨膨脹的影響具有時間趨勢效應(yīng), 因而提出用回歸模型來刻畫該時間效應(yīng), 并且建立了回歸信度模型. 回歸信度模型的刻畫如下, 假設(shè)某一個風險合同對索賠X有下面的模型成立:

這里j=1,2···,t,X=(X1,···,Xt)′為索賠樣本,Yj為已知的設(shè)計向量,而β(Θ)為未知不可觀測的隨機系數(shù)向量,εi(i=1,2,···,t) 為隨機誤差項,也是不可觀測的,且滿足E(εj|Θ)=0,則風險參數(shù)Θ 給定時有E(Xj|Θ)=Yjβ(Θ).

經(jīng)典信度理論中, 用平方損失函數(shù)來刻畫保費與風險的擬合程度. 然而, 在20 世紀70 年代前后, 學者們注意到正誤差與負誤差引起的損失并不相同,他們認為某些情況對對稱損失函數(shù)下所得出的估計會出現(xiàn)較高誤差,于是非對稱損失函數(shù)逐步得到重視. Zellner[3]提出了一種新的衡量參數(shù)估計優(yōu)良性的標準, 從模型擬合度和估計的精度兩個方面來綜合衡量估計的好壞, 所考慮的損失函數(shù)為

作為Zellner 平衡損失函數(shù)的推廣, 如下形式的平衡損失函數(shù)Lρ,ω,δ0(θ,δ)=ωρ(δ0,δ)+(1?ω)ρ(θ,δ)受到了很多關(guān)注,這里δ0是θ的預(yù)想目標估計,它可以是θ的極大似然估計或者最小二乘估計或者無偏估計等. 在精算學的領(lǐng)域,G′omez-D′eniz[4]則討論了經(jīng)典的B¨uhlmann 信度模型在平衡損失函數(shù)下信度保費及其性質(zhì). 國內(nèi)學者[5?10]用平衡損失函數(shù)研究了信度估計模型. 本文將用平衡損失函數(shù)得出單份保單凈保費的信度回歸估計表達式.

1 預(yù)備知識及假設(shè)

設(shè)Θ 為未知的風險參數(shù),X′=(X1,X2,···,Xt)為某保單在t年的觀測數(shù)據(jù). 本文估計的是, 當風險Θ 給定時,Xj的條件期望為μj(Θ), 這里μj(Θ)=E(Xj|Θ)是風險參數(shù)Θ 下保單在第j年的凈保費,j=1,2,···,t. 考慮到通貨膨脹, 回歸假設(shè)中凈保費μj(Θ)隨時間發(fā)生變化, 且

Yj為(q×1)設(shè)計矩陣,β(Θ)為未知(q×1) 隨機向量. 通過選擇合適的設(shè)計矩陣Yj,可以刻畫時間對凈保費的影響.比如,若Yj是(2×1)矩陣且則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)(j=1,2,···,t), β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ))′.若Yj=則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)+j2β3(Θ)(j=1,2,···,t),β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ),β3(Θ))′. 下面介紹本文假設(shè).

假設(shè)1設(shè)

假設(shè)2設(shè)矩陣Λ=Λ(q,q)=Cov[β(Θ)],Φ=Φ(t,t)=E[Cov(X|Θ)] 是正定矩陣(Λ 是回歸系數(shù)向量β(Θ)的協(xié)方差, Φ 是Θ 給定時觀測數(shù)據(jù)X的條件協(xié)方差的期望).

本文根據(jù)已知觀測X′=(X1,X2,···,Xt)得出凈保費μj(Θ)在平衡損失函數(shù)下的估計的表達式.

2 平衡損失函數(shù)下的凈保費回歸信度估計

首先給出線性代數(shù)中滿足特殊條件的矩陣的求逆公式.

引理1設(shè)矩陣A 是(r×s)矩陣, B 是(s×r)矩陣且(I+AB)?1存在, 那么有如下求逆公式：

其中:I表示(r×r)單位矩陣.

證明 線性代數(shù)中的求逆公式(A+BCD)?1=A?1?A?1B(C?1+DA?1B)?1DA?1,取A=D=I,B=A,C=B就可得出以上公式.

信度保費用樣本的線性函數(shù)預(yù)測未來保費, 使得期望平方損失函數(shù)達到最小, 求解下面的最優(yōu)化問題:

下面的引理可以更方便地求信度估計, 其證明可參考文獻[11].

引理2設(shè)隨機向量的期望與協(xié)方差矩陣分別為

在矩陣的非負定意義下達到最小.

根據(jù)引理, 基于隨機向量X的非齊次函數(shù)類的隨機向量Y的最優(yōu)預(yù)測為

其中:proj(Y|L(X,1))表示Y在X的線性函數(shù)空間的正交投影.取損失函數(shù)為平衡損失函數(shù):

其中:δ(μj(Θ))是μj(Θ) 的已知目標估計. 平衡損失函數(shù)下估計凈保費等價于求解下面的最優(yōu)化問題：

關(guān)于平衡損失函數(shù)下的信度理論有下面的引理3.

引理3在平衡損失函數(shù)

下,μj(Θ)的非齊次信度估計為

其證明可參考文獻[6].

下面給出μj(Θ)在平衡損失函數(shù)下的回歸信度估計. 令其中δ(β(Θ))是β(Θ)的已知目標估計, 設(shè)E[δ(β(Θ))]=μδ,Cov[δ(β(Θ),β(Θ)]=?, 則

定理1基于以上假設(shè)及引理, 在平衡損失函數(shù)下凈保費μj(Θ)的估計如下:

其中

證明由假設(shè)1, 假設(shè)2可得由引理3 可得

而根據(jù)引理1 和引理2 有

而

因此

定理得證.

3 結(jié)論

本文用投影公式和矩陣理論討論了回歸信度模型, 推出平衡損失函數(shù)下的凈保費回歸信度表達式, 推廣了平方損失函數(shù)下的凈保費回歸信度模型. 本文中刻畫了時間對凈保費的影響, 用觀測數(shù)據(jù)的線性函數(shù)估計了凈保費, 推導過程中用到了求逆公式的特殊形式, 使得模型的推導更加簡潔.