圓錐曲線問(wèn)題融入“心”中

◇ 重慶 何朝樞

三角形的“四心”(垂心、重心、內(nèi)心、外心)具有各自不同的幾何定義與性質(zhì),而在圓錐曲線問(wèn)題中巧妙融合入三角形的“心”,是一類(lèi)既富交會(huì)性、思考性和挑戰(zhàn)性,又具有一定難度和深度的數(shù)學(xué)問(wèn)題,在近年的高考中時(shí)常出現(xiàn),是考查學(xué)生的思維方式和數(shù)學(xué)能力的一個(gè)好方式．

1 圓錐曲線問(wèn)題融入“垂心”

例1在平面直角坐標(biāo)系x Oy中,已知橢圓C：的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),問(wèn)是否存在直線l,使得F為△BMN的垂心．若存在,求出直線l的方程；若不存在,說(shuō)明理由．

解析(1)由題目條件可得a2＝b2＋c2,解得a2＝2,b2＝1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)假設(shè)存在直線l滿(mǎn)足題設(shè)條件,即直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),且F為△BMN的垂心．

如圖1所示,由(1)可得B(0,1),F(1,0),則有,由于點(diǎn)F為△BMN的垂心,則有BF⊥直線l,可得kl＝,可設(shè)直線l的方程為y＝x＋m,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立消去參數(shù)y并整理可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．

圖1

2 圓錐曲線問(wèn)題融入“重心”

例2已知點(diǎn)A,B,C為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若2則△ABC的面積為( )．

解析

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程x2＋2y2＝2,消去y并整理可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得

設(shè)C(x3,y3),由于,可得x3＝,將點(diǎn)C(x,y)代入橢圓方程33x2＋2y2＝2,整理可得1＋2k2＝4m2,而根據(jù)弦長(zhǎng)公式有到直線AB的距離,則有結(jié)合三角形的重心的幾何意義與性質(zhì),可得S△A B C＝；根據(jù)選擇題的唯一性,當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)不加以具體分析,此時(shí)也可得．故選C．

3 圓錐曲線問(wèn)題融入“內(nèi)心”

例3已知F1,F2分別為橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),求橢圓C的離心率e為,點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),而△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,設(shè)直線IF1,IF2的斜率分別為k1,k2,則k1k2＝________．

解析

設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心I在三角形的對(duì)應(yīng)三邊上的投影分別為D,E,H,根據(jù)三角形的內(nèi)心的幾何意義與性質(zhì),設(shè)|F1D|＝|F1H|＝m,|F2D|＝|F2E|＝n,|PE|＝|PH|＝p,內(nèi)切圓的半徑為r,如圖2所示．

圖2

利用橢圓的定義,可得|PF1|＋|PF2|＝m＋n＋2p＝2a,又|F1F2|＝m＋n＝2c,則有p＝a－c,結(jié)合海倫公式可得△PF1F2的面積為S＝,結(jié)合三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得△PF1F2的面積為S＝(m＋n＋p)r,那么

整理有mnp＝(m＋n＋p)r2,結(jié)合圖形直觀,可得

同時(shí)要注意對(duì)應(yīng)問(wèn)題中三角形的“心”的表達(dá)方式與“心”的名稱(chēng),正確區(qū)分各“心”的性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)特征,再結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)加以合理應(yīng)用．合理融入“心”,增加問(wèn)題的交會(huì)性,讓學(xué)生真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的和諧之美．