巧借周期性,妙解數(shù)列題

◇ 山東 劉 麗

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),所以一些數(shù)列問題中也存在著包括周期性在內(nèi)的和函數(shù)基本性質(zhì)相關的問題．有些數(shù)列問題,表面上看似與周期性無關,實際上隱含著周期性,若不加以分析,很難找到求解策略,而一旦找到數(shù)列中的周期性,問題往往便迎刃而解了．本文結(jié)合實例論述巧借周期性,妙解數(shù)列題．

1 求解和式遞推數(shù)列中的項

例1在數(shù)列{an}中,a1＝1,a2＝3,對所有自然數(shù)n都有an＋2＝|an＋1|－an,則a2019的值為_______．

解析

由題意和遞推關系式an＋2＝|an＋1|－an,結(jié)合a1＝1,a2＝3,易求得a3＝2,a4＝－1,a5＝－1,a6＝2,a7＝3,a8＝1,a9＝－2,a10＝1,a11＝3,a12＝2,…,于是歸納可知數(shù)列{an}具有周期性,其周期為9,所以a2019＝a224×9＋3＝a3＝2．

點評

利用條件中的和式遞推關系式加以歸納處理,這是破解此類和式遞推數(shù)列周期性問題的技巧．根據(jù)數(shù)列的和式遞推關系式進行逐個推導,求解難度比較大,計算比較煩瑣,有時還無從下手．而通過遞推關系式分析后結(jié)合相應的規(guī)律歸納其周期性,一般中見特殊,可使問題快速獲解．

2 求解分式遞推數(shù)列中的項

例2已知數(shù)列{an}滿足a1＝1,a2＝2,且對任何自然數(shù)n都有,則a2019的值為_________．

解析

故數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列,結(jié)合a1＝1,a2＝2,可得,所以

點評

利用條件中的分式遞推關系式加以迭代處理,這是破解此類分式遞推數(shù)列周期性的技巧．在采用迭代法時要注意的是如何確定迭代的分式解析式．

3 求解遞推數(shù)列的前n項和

例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1,a3＝2,且對任何自然數(shù)n都有anan＋1an＋2≠1,又anan＋1an＋2·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2019＝________．

解析

由于anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,則有a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4,結(jié)合a1＝a2＝1,a3＝2,解得a4＝4,則a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＋4＝8．

又由anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,得an＋1an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4,以上兩式對應相減,可得an＋1an＋2an＋3(an－an＋4)＝an－an＋4,整理得(an＋1an＋2an＋3－1)(an－an＋4)＝0,而對任何自然數(shù)n都有anan＋1an＋2≠1,所以anan＋4＝0,即an＋4＝an,故數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列,那么S2019＝(a1＋a2＋a3＋a4)×505－a2020＝8×505－4＝4036．

點評

利用遞推公式一項一項地往后推導,再加以求和,解答過程比較繁雜且計算量明顯較大．通過分析數(shù)列的遞推公式,確定周期規(guī)律,充分利用函數(shù)與方程的性質(zhì)與思想,結(jié)合周期性來解決較為簡捷．

4 求解創(chuàng)新定義下數(shù)列的前n項和

例4在數(shù)列{an}中,如果對于任意n∈N*,都有anan＋1an＋2＝k(k為不為零的常數(shù)),那么這個數(shù)列稱為“等積數(shù)列”,其中常數(shù)k稱為這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是一個“等積數(shù)列”,且滿足a1＝1,a2＝2,公積為8,則數(shù)列{an}前2021項和S2021的值為________．

解析根據(jù)創(chuàng)新定義可知anan＋1an＋2＝k,則有an＋1an＋2an＋3＝k,兩式對應作商,得1,即an＋3＝an,故數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,結(jié)合a1＝1,a2＝2,k＝8,可得a3＝4,所以S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(a1＋a2＋a3)×673＋a1＋a2＝7×673＋1＋2＝4714．

點評

本題求解的關鍵是抓住“等積數(shù)列”的創(chuàng)新定義,對兩個數(shù)列關系式作商并整理得到an＋3＝an,進而確定數(shù)列的周期．求解此類創(chuàng)新定義問題,要正確理解并掌握條件中所敘述的創(chuàng)新定義的實質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為相關的數(shù)列關系式,進而加以轉(zhuǎn)化與應用．

5 求解數(shù)列的前n項積

例5已知數(shù)列{an}滿足a1＝3,且滿足an＋1＝,則數(shù)列{an}前2021項的積a1·a2·a3·…·a2021的值為________．

解析

令an＝tanxn,則有

故數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列,而結(jié)合遞推關系可得,則a·a·a·123a4＝1,所以數(shù)列{an}前2021項的積a1·a2·a3·…·a2021＝a2021＝a1＝3．

點評

根據(jù)數(shù)列的遞推關系式,聯(lián)想到三角函數(shù)的正切公式,結(jié)合三角函數(shù)的相關知識來確定數(shù)列的周期問題,在此基礎上確定數(shù)列的前n項積．

在破解涉及周期性的數(shù)列問題時,利用歸納法、迭代法、加減相消法、三角函數(shù)法、創(chuàng)新定義法等來巧妙轉(zhuǎn)化,進而確定數(shù)列的周期性,為破解數(shù)列中的項、前n項和或積等問題提供條件．破解此類問題的關鍵是從題目條件中挖掘相應的條件,找到撬動數(shù)列周期的支點,從而采用切實可行的方法加以剖析．