聚焦增值，讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課溫故知新
——以蘇教版五上《多邊形面積計算的復(fù)習(xí)》的教學(xué)為例

王海峰

提起數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不少教師腦海中會浮現(xiàn)出這樣的場景：老師在臺上講得聲情并茂、聲嘶力竭；學(xué)生在臺下學(xué)得無精打采、無動于衷。復(fù)習(xí)課上習(xí)題一道道、試卷一張張，但最后的結(jié)果往往是：一堂課下來，學(xué)生原本會的還會，原本不會的還不會，復(fù)習(xí)課只是例行公事、走走過場般的“炒冷飯”。上述現(xiàn)象或許并非普遍存在，但復(fù)習(xí)課收效甚微的問題確實成為不少教師心中的痛。

華東師范大學(xué)崔允漷教授認(rèn)為，學(xué)習(xí)有四種值：一是動力值，即學(xué)生想學(xué)習(xí)的愿望；二是方法值，即學(xué)生會學(xué)習(xí)的方法；三是知能值，即學(xué)生所學(xué)到的知識與技能；四是意義值，即學(xué)生學(xué)到的東西是有意義或受用的。他還說，必須至少有一種值增加（即學(xué)后值與學(xué)前值之差為正量），沒有增值的課堂沒有意義。筆者深表贊同，沒有增值的課堂就是在浪費學(xué)生的時間和生命。進(jìn)一步講，不只是新授課要實現(xiàn)至少一種值的增加（新授課要實現(xiàn)增值可以說輕而易舉），復(fù)習(xí)課也應(yīng)如此。下面，筆者以蘇教版五上《多邊形面積計算的復(fù)習(xí)》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾尉劢拐n堂增值，讓復(fù)習(xí)課“炒冷飯”的現(xiàn)象得以改變，真正做到溫故知新。

一、開門見山對話，讓學(xué)生既明目標(biāo)又悟價值，實現(xiàn)意義值的增值

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種常見且重要的課型，上好復(fù)習(xí)課，對于學(xué)生夯實所學(xué)知識點，將知識點系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，提升思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用。但學(xué)生對復(fù)習(xí)課的意義與價值未必了解，甚至可能從來就沒思考過這樣的問題，只是按部就班地完成教師在復(fù)習(xí)課上布置的一個又一個任務(wù)，學(xué)習(xí)熱情不高帶來的結(jié)果就是學(xué)習(xí)效果不理想。因此，本節(jié)課伊始，教師和學(xué)生有了如下的對話。

師：今天這節(jié)課，我們一起來復(fù)習(xí)多邊形的面積計算。（板書課題：多邊形面積計算的復(fù)習(xí)）同學(xué)們想一想，復(fù)習(xí)課和我們平時上的新課有什么不同？

生：復(fù)習(xí)課講的都是我們已經(jīng)學(xué)過的知識，新課講的都是我們沒有學(xué)過的知識。

師：既然都已經(jīng)學(xué)過了，大家都會了，為什么還要上復(fù)習(xí)課呢？

生1：復(fù)習(xí)課可以讓我們對原來學(xué)過的知識加深印象，這樣做題目更熟練。

生2：復(fù)習(xí)課可以讓我們對一個單元學(xué)的知識理解得更清楚，尤其是前后幾個知識點之間的聯(lián)系。

生3：孔子說“溫故而知新”，我覺得復(fù)習(xí)課可以讓我們通過復(fù)習(xí)學(xué)到新的知識。

師：同學(xué)們說得真好！下面就讓我們一起來邊溫故邊知新。（板書：溫故而知新）

復(fù)習(xí)課與新授課有什么不同？課始，教師把這個問題拋給學(xué)生，“逼迫”學(xué)生在復(fù)習(xí)課的開端就思考這一本源性問題，大家在交流碰撞中逐步明晰復(fù)習(xí)課的意義與價值。開門見山式的訪談直抵學(xué)生內(nèi)心，促進(jìn)他們思考“要不要學(xué)”“想不想學(xué)”，讓學(xué)生在內(nèi)省的過程中實現(xiàn)復(fù)習(xí)課意義值的增值。

二、自主操作交流，讓學(xué)生既知結(jié)論又懂過程，實現(xiàn)知能值的增值

學(xué)習(xí)了幾種多邊形的面積計算公式之后，學(xué)生在平時的練習(xí)中遇到更多的是運用公式解決面積計算的實際問題，而對面積計算公式是如何得到的往往會忽略、淡忘。只有知其所以然，才能更長久地知其然。因此，在課的前半部分，教師要讓學(xué)生充分操作、交流，讓原先對公式掌握不熟練的學(xué)生熟練掌握公式（結(jié)論），讓原先對公式推導(dǎo)過程淡忘的學(xué)生進(jìn)一步理解推導(dǎo)過程，使每一位學(xué)生在原有基礎(chǔ)上實現(xiàn)知能值的增值。

師：我們已經(jīng)學(xué)會了計算哪些多邊形的面積？（根據(jù)學(xué)生的回答，出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形）給出這些多邊形的數(shù)據(jù)，你會計算它們的面積嗎？（課件出示標(biāo)有字母數(shù)據(jù)的幾種多邊形）

師：剛才大家所說的其實就是多邊形的面積計算公式。（根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上貼出多邊形，上面寫其面積計算字母公式）

師：回憶出面積計算公式是什么，是我們今天復(fù)習(xí)的初級水平，我們還要想想這些公式是怎么得到的。老師給每個小組準(zhǔn)備了一個信封，里面有各種多邊形紙片，請前后四人一組，每人選擇一到兩種，在小組內(nèi)說說這個圖形的面積計算公式是如何推導(dǎo)出來的?？梢栽趫D形上畫一畫、寫一寫，也可以剪一剪、拼一拼。

師：在打開信封之前，我先問一問大家，你希望信封里每種多邊形各有幾個？

生：我希望長方形紙片、正方形紙片和平行四邊形紙片可以只有一個，但三角形紙片、梯形紙片能有兩個，而且兩個完全相同。

師：其他同學(xué)也是這么想的嗎？老師還真給大部分小組都準(zhǔn)備了兩個完全一樣的三角形紙片和梯形紙片，但有少數(shù)小組老師可能一時疏忽，只準(zhǔn)備了一個三角形紙片和一個梯形紙片，如果哪個小組拿到只有一個的，你們就中獎了，老師也對你們提出更高的要求了——能不能只用一個三角形紙片或者一個梯形紙片，就推導(dǎo)出它們的面積計算公式？

學(xué)生小組活動，探索、交流多邊形面積的推導(dǎo)過程。

本環(huán)節(jié)，教師為學(xué)生準(zhǔn)備好探索面積計算公式所需的學(xué)具，讓學(xué)生充分畫、剪、拼、說，把書本上靜態(tài)的結(jié)論性公式變成動態(tài)的獲得公式的過程。學(xué)生在自主操作交流的過程中，對每個計算公式理解得更為透徹。教師在本環(huán)節(jié)特意設(shè)置了三角形紙片、梯形紙片個數(shù)不足的障礙，為學(xué)生后續(xù)更深入的探討埋下伏筆。

三、“花式”推導(dǎo)驗證，讓學(xué)生既開眼界又促思考，實現(xiàn)方法值的增值

關(guān)于多邊形的面積計算，經(jīng)過兩個階段的學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生似乎對此已經(jīng)司空見慣，沒有新的疑問和驚奇，其實不然。在復(fù)習(xí)了每個公式的常規(guī)推導(dǎo)過程之后，教師尋找學(xué)生已有知識經(jīng)驗的生長點，借助前面設(shè)置的多邊形紙片個數(shù)的障礙，“逼迫”學(xué)生思考三角形與梯形不同的面積推導(dǎo)方法，讓學(xué)生在“花式”推導(dǎo)驗證的過程中開闊眼界、拓寬思路、促進(jìn)思維，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)方法值的增值。

師：剛剛有的小組只拿到了一個三角形紙片和一個梯形紙片，用一個三角形紙片和一個梯形紙片能推導(dǎo)出三角形、梯形的面積計算公式嗎？請其他小組也在組內(nèi)討論思考這個問題。

生1（邊演示邊交流）：我在書上“你知道嗎”看到過用一個三角形推導(dǎo)三角形面積計算公式的方法。將三角形從一條邊的中點向下作高、剪下，旋轉(zhuǎn)拼到上面，另一邊也這樣操作，就可以把三角形轉(zhuǎn)化成長方形，三角形的底的一半是長方形的寬，三角形的高是長方形的長，所以三角形的面積=底×高÷2。

師：講得真好，這就是《九章算術(shù)》中“半廣以乘正從”的方法。（課件出示推導(dǎo)圖，如圖1）還有不同的推導(dǎo)方法嗎？

生2（邊演示邊交流，如圖2）：將三角形沿兩條邊的中點剪下，旋轉(zhuǎn)拼到下面，可以將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。三角形的底等于平行四邊形的底，三角形的高等于平行四邊形高的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

（圖1）

（圖2）

生3：這種方法也可以用一句話來概括——“正廣以乘半從”。（教室里掌聲雷動）

師：同學(xué)們的創(chuàng)意出乎我的意料！但我還不滿足，你們能用一個梯形推導(dǎo)出它的面積計算公式嗎？

生1：可以連接梯形的對角線，將梯形分成兩個三角形。一個三角形的面積是上底乘高除以2，另一個三角形的面積是下底乘高除以2，梯形的面積=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。

師：真好！把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，也能推導(dǎo)出它的面積計算公式。

生2：其實，也可以仿照剛才推導(dǎo)三角形面積計算公式的過程，把梯形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形，推導(dǎo)出梯形的面積計算公式。

師：想法太棒了，課上時間有限，課后大家可以用這個思路試一試。

復(fù)習(xí)課也應(yīng)努力尋找學(xué)生思維水平發(fā)展的新生長點，不斷給學(xué)生創(chuàng)造錘煉思維、提升素養(yǎng)的機(jī)會，讓學(xué)生在思維挑戰(zhàn)中獲得更好的發(fā)展。在設(shè)計這節(jié)課時，筆者的初衷是給學(xué)生創(chuàng)造更多思維創(chuàng)新的機(jī)會，沒想到在實際教學(xué)過程中，學(xué)生還真把三角形、梯形面積推導(dǎo)的多種方法創(chuàng)造出來了。課件中預(yù)先做好的用于啟發(fā)學(xué)生思維的推導(dǎo)過程圖，成為學(xué)生推導(dǎo)成功后的總結(jié)概括圖。

四、多維溝通聯(lián)系，讓學(xué)生既見樹木又見森林，實現(xiàn)動力值的增值

由于課時劃分等原因，在日常新授課的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)到的知識往往是孤立的、零碎的，對于各知識點之間聯(lián)系的體會不深刻，難以從整體上結(jié)構(gòu)化地理解知識塊。復(fù)習(xí)課恰恰可以幫助學(xué)生溝通知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生既見樹木（各個知識點），又見森林（整體知識塊）。當(dāng)學(xué)生對所學(xué)的知識點從更高維度有了更透徹的理解之后，一定會在很大程度上激發(fā)起他們的學(xué)習(xí)熱情，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)動力值的增值。

師：從剛才大家交流這些公式的推導(dǎo)過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間有內(nèi)在聯(lián)系。你能根據(jù)公式之間的聯(lián)系，調(diào)整一下黑板上這五個多邊形的位置，用箭頭連一連，讓人一眼就能看出五個面積計算公式之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生的反饋如下圖3～圖5所示。

師：大家看，我們在研究正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式時，都是把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想方法。（板書：轉(zhuǎn)化）

在弄清幾種多邊形面積計算公式之間的關(guān)系之后，教師繼續(xù)乘勝追擊。

師：這些公式中，你覺得哪個公式最復(fù)雜？

生（異口同聲）：梯形面積計算公式最復(fù)雜。

師：其實，這個最復(fù)雜的公式也可以用來計算其他多邊形的面積。

師（課件出示將梯形上底逐漸延長變成長方形的過程）：如果把現(xiàn)在這個長方形還看作梯形，梯形上底是多少？下底呢？用梯形面積計算公式計算這個長方形的面積，與用長方形面積計算公式計算得到的結(jié)果一樣嗎？

師（課件出示梯形上底不斷縮短直至變成三角形的過程）：如果把這個三角形還看作梯形，梯形的上底變成了多少？用梯形面積計算公式計算這個三角形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

…………

課末，教師帶領(lǐng)學(xué)生交流本節(jié)復(fù)習(xí)課的收獲之后，教師在學(xué)生現(xiàn)有知識框架之上再次拋出新問題：普通四邊形的面積如何計算？為什么后面不再學(xué)習(xí)五邊形、六邊形等其他多邊形的面積計算公式？

無論是讓學(xué)生擺多邊形的面積計算結(jié)構(gòu)圖，還是引導(dǎo)他們嘗試用最復(fù)雜（最一般）的梯形面積計算公式去計算其他多邊形的面積，抑或是課的最后啟發(fā)學(xué)生思考“為什么學(xué)完這五種多邊形的面積計算之后，教材不再安排學(xué)習(xí)其他多邊形的面積計算（進(jìn)一步強化轉(zhuǎn)化的思想）”，都旨在讓學(xué)生的視線跳出一個個單體的多邊形，站到更宏觀的視角對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)的觀察和定位，用聯(lián)系的視角建構(gòu)起多邊形面積計算的知識體系。在多維溝通聯(lián)系的過程中，學(xué)生的眼界更加高遠(yuǎn)，思維更加通透，學(xué)習(xí)的熱情也隨之升華，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)動力值的增值。

正如馮衛(wèi)東先生所說：為“真學(xué)”而教，也為學(xué)生獲得而教；如果不為獲得，還要教與學(xué)做什么。學(xué)生有獲得，能增值，他的學(xué)習(xí)則是成長性學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課就應(yīng)該以這樣的理念為指導(dǎo)，勇于向司空見慣的復(fù)習(xí)課“炒冷飯”說不，重視夯實每個知識點，重視將知識點串成知識鏈、織成知識網(wǎng)，立足兒童立場，聚焦兒童增值，讓每一位兒童都能在復(fù)習(xí)課上有所得。