三元多項(xiàng)式展開式系數(shù)、冪、最短路經(jīng)之間的聯(lián)系

任茜 鈺王楠 沈稷倫 任澤慧

摘要：雖然楊輝三角針對兩個(gè)未知數(shù)和的多次方運(yùn)算說明了它與系數(shù)的相應(yīng)關(guān)系及最短路徑之間的關(guān)聯(lián)，但其對于三個(gè)未知數(shù)的多次方并沒有簡便算法可以快速計(jì)算。此文在于拓展楊輝三角內(nèi)容，可以做到快速拆分三個(gè)未知數(shù)多次冪的式子。

關(guān)鍵詞：楊輝三角;多次系數(shù);三維;最短路徑

1 三元多項(xiàng)式及其系數(shù)的關(guān)系

楊輝三角具有對稱性，而前人已經(jīng)證明。驗(yàn)算出的式子如表1所示。觀察每項(xiàng)未知數(shù)的指數(shù)，可以得到項(xiàng)的分組規(guī)律：若有m個(gè)未知數(shù)的n次方的算式，以一個(gè)未知數(shù)為一組，從最高指數(shù)n開始依次遞減，到m個(gè)未知數(shù)指數(shù)相同或相鄰為止，m個(gè)未知數(shù)便是m組，系數(shù)從小到大依次排序，且某項(xiàng)指數(shù)越集中到一個(gè)未知數(shù)，系數(shù)越小。

2 系數(shù)之間的關(guān)系

將兩個(gè)未知數(shù)的N次方系數(shù)取二分之一（第一行），三個(gè)未知數(shù)的N次方取三分之一（第二行），如圖1所示。

觀察圖1可得到此任式定理：

其中第一個(gè)C式為原二項(xiàng)式，T式本文定義為三項(xiàng)式增量，三元n次多項(xiàng)式系數(shù)開始滿足于二項(xiàng)式，直到n=2m為止。

3 系數(shù)與最短路徑的關(guān)系

如圖2所示，如a2bc，那么對應(yīng)的坐標(biāo)便是（2，1，1），則此點(diǎn)的最短路徑數(shù)便是系數(shù)12，在x，y，z軸上的平面仍滿足二項(xiàng)式定理，而三維圖形內(nèi)部的數(shù)值則為與之相連的數(shù)值之和。

4 結(jié)論

本文經(jīng)過推理和研究，得到了關(guān)于三元N次方系數(shù)與多項(xiàng)式之間的關(guān)系，通過計(jì)算后本人也發(fā)現(xiàn)了多元N次方同樣有此規(guī)律。

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)軟件學(xué)院?遼寧省?興城?125105;阜新市實(shí)驗(yàn)中學(xué);3.撫順市四方高級中學(xué)）