論“無(wú)窮事物”的定量認(rèn)知（IX）
——新開發(fā)的“無(wú)窮載體理論”中“無(wú)窮載體基因”與“無(wú)窮載體尺度”

歐陽(yáng)耿

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，福建 漳州 363000）

集合論和數(shù)學(xué)分析開拓者們的偉大之處在于他們以“實(shí)無(wú)窮”的思路開辟了一個(gè)對(duì)“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”進(jìn)行定量認(rèn)知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.但是，經(jīng)典無(wú)窮理論體系基礎(chǔ)理論的缺陷，使人們（包括康托） 幾千年來根本就不可能知道“實(shí)無(wú)窮”與“潛無(wú)窮”究竟是什么、它們之間究竟有什么區(qū)別與聯(lián)系，根本就不可能知道“實(shí)無(wú)窮”在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具體內(nèi)容的理論、操作與各種實(shí)踐中究竟是如何“實(shí)”的’——“實(shí)無(wú)窮”只是一個(gè)理論上與實(shí)踐上都很空洞的概念.這種致命缺陷深深影響著與“無(wú)窮”概念相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工作者各種認(rèn)知與操作行為的科學(xué)性，必然導(dǎo)致不良的認(rèn)知結(jié)果’——幾千年來數(shù)學(xué)上空懸而未決的“無(wú)窮悖論綜合癥”烏云就是最好的證明[1-43].

1 現(xiàn)有經(jīng)典集合論與數(shù)學(xué)分析中所面臨的難題與新的工作思路

在對(duì)數(shù)學(xué)事物進(jìn)行科學(xué)的定量認(rèn)知過程中，人們需要根據(jù)所掌握的知識(shí)分析、了解被認(rèn)知數(shù)學(xué)事物的性質(zhì)、存在條件與表現(xiàn)形式，知道它們是什么，才可能通過相關(guān)的理論與操作技術(shù)達(dá)到認(rèn)知目的.科學(xué)史的研究使我們了解到，在對(duì)“有窮事物”定量認(rèn)知過程中的“分析、了解、操作”方面，人們做得很成功.但是，現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系基礎(chǔ)理論中的致命缺陷（特別是“實(shí)無(wú)窮理論缺失”），決定了自古以來，人們?cè)趯?duì)各種“無(wú)窮事物”開展定量認(rèn)知工作的一些基礎(chǔ)部分中做得很不成功，根本就沒辦法（不可能）對(duì)它們實(shí)施科學(xué)、充分、必要的“分析與認(rèn)知”，不可能清楚地從本體與形式上了解所要認(rèn)知的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”是什么、應(yīng)該有什么樣科學(xué)的認(rèn)知理論與操作技術(shù)[1-43]！

1.1 所面臨的難題

文[1-43]的研究使我們了解到，以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析和集合論是專門對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”進(jìn)行定量認(rèn)知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.然而，其基礎(chǔ)理論中根本就不可能得到科學(xué)定義的，既互相矛盾、互相混淆又空洞的“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”概念，導(dǎo)致這兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都無(wú)法逃避性質(zhì)上完全相同的兩種基礎(chǔ)理論缺陷：（1） 理論上，“潛無(wú)窮概念、實(shí)無(wú)窮概念”混淆；（2） 操作上，“潛無(wú)窮數(shù)學(xué)事物、實(shí)無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”混淆.所以，一方面，人們不得不將各種各樣“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”，都當(dāng)作由“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”這兩個(gè)概念混在一起的“數(shù)學(xué)事物”，想盡各種辦法編造能與錯(cuò)誤的基礎(chǔ)理論相配合的某些“形式語(yǔ)言、形式邏輯”和某些“便于混淆的‘是自己—非自己’的數(shù)學(xué)事物”；另一方面，人們根本就無(wú)法真正科學(xué)的認(rèn)知現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析和集合論中的那些“可以隨意混淆的‘是自己—非自己’的數(shù)學(xué)事物”是什么、該如何對(duì)它們實(shí)施具體的定量認(rèn)知操作.完全相同的基礎(chǔ)理論缺陷決定了現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析和集合論中必然存在完全相同的定量認(rèn)知理論和操作理論缺陷、無(wú)法制止各種各樣“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知悖論”的產(chǎn)生.并且，這些悖論必然以“悖論家族、悖論綜合癥”的形式生存.不斷涌現(xiàn)的“無(wú)窮悖論”家族成員在不同的歷史時(shí)期中，從不同角度反復(fù)揭示經(jīng)典無(wú)窮理論體系中與“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”概念相關(guān)的各種基礎(chǔ)理論缺陷、呼吁人們解決這些缺陷.正是經(jīng)典無(wú)窮理論體系中基礎(chǔ)理論的這種致命缺陷所構(gòu)筑的一道無(wú)法逾越的認(rèn)知屏障，才是懸而未決的第二次與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的真正根源，直接導(dǎo)致2500 多年來無(wú)法擺脫的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物認(rèn)知疾病”：數(shù)學(xué)分析中由各種各樣“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’（‘既是數(shù)又不是數(shù)’、‘既是自己又不是自己’、‘既是無(wú)窮又不是無(wú)窮’——無(wú)窮小、變量、單子……）的數(shù)學(xué)事物”所導(dǎo)致的所有芝諾悖論與貝克萊悖論家族成員[1-14]；集合論中由各種各樣“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’的數(shù)學(xué)事物（具有T={x|x?x}性質(zhì)的‘既屬于某集合又不屬于某集合’的集合中的元素’——‘變?cè)亍兗稀彼鶎?dǎo)致的所有羅素悖論家族成員……[13-20].

與“無(wú)窮”概念相關(guān)的現(xiàn)有科學(xué)、數(shù)學(xué)領(lǐng)域中存在如下幾個(gè)難題：

（1） 現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系基礎(chǔ)理論中存在“‘潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮’混淆”與不可避免的“載體理論缺失”致命缺陷.

（2） 現(xiàn)有經(jīng)典集合論和數(shù)學(xué)分析都只能以現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，它們的基礎(chǔ)理論中必然存在完全相同的“‘潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮’混淆”與不可避免的“載體理論缺失”致命缺陷.

（3） 完全相同的基礎(chǔ)理論致命缺陷決定了現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析和集合論中存在性質(zhì)完全相同的、根本就不可解的各種各樣“無(wú)窮悖論”——“無(wú)窮悖論綜合癥”.

1.2 新的工作思路

在文[1-43]中，我們已經(jīng)從知識(shí)背景、原因、現(xiàn)狀等方面對(duì)與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論中所存在的各種主要缺陷及其所導(dǎo)致的問題進(jìn)行了系統(tǒng)性研究與討論.結(jié)果證明，必須拋棄既無(wú)法科學(xué)定義又互相矛盾的“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”概念，構(gòu)建、開發(fā)以“抽象事物—抽象事物的載體”概念為基礎(chǔ)的新無(wú)窮理論體系及其相關(guān)的無(wú)窮載體理論，研究、開發(fā)、奠定“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論”，開辟一條新的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知”思路.

2 現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系基礎(chǔ)理論中所存在的缺陷必然導(dǎo)致與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中不科學(xué)的定量認(rèn)知理論與結(jié)果

自從人類科學(xué)中產(chǎn)生“無(wú)窮”概念以來，人類數(shù)學(xué)中必然出現(xiàn)了“與‘無(wú)窮’概念相關(guān)的數(shù)學(xué)事物（比如與‘無(wú)窮大、無(wú)窮小’相關(guān)的數(shù)量形式、與‘無(wú)窮多’相關(guān)的無(wú)窮集合中的元素……）”，人們就開始了對(duì)“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”進(jìn)行定量認(rèn)知與研究（比如研究它們各種各樣的存在形式，比較它們之間的‘大、小、多、少’，如何與‘有窮數(shù)量形式’發(fā)生關(guān)系，如何參與運(yùn)算……）.所以，我們就有了專門研究“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域（比如數(shù)學(xué)分析和集合論）[1-43].

2.1 現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析中無(wú)法避免的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺陷”所導(dǎo)致的不良定量認(rèn)知理論、操作與結(jié)果

究竟該如何認(rèn)知“無(wú)窮”、“無(wú)窮小”、“無(wú)窮大”、“X→0”的數(shù)量形式等這類與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容及之間的關(guān)系，特別是該如何認(rèn)知數(shù)學(xué)分析中各種各樣被認(rèn)知的“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’的數(shù)學(xué)事物’——‘變量、潛無(wú)窮數(shù)量形式、實(shí)無(wú)窮數(shù)量形式’”？繁榮昌盛的“無(wú)窮悖論家族”證明，這是現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析中一直懸而未決的問題.

2.1.1 與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)量形式、數(shù)量體系中的缺陷與新的研究成果

我們已經(jīng)在文[25-43]中對(duì)與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)量形式和數(shù)量體系進(jìn)行了系統(tǒng)性研究與討論，揭示舊數(shù)量形式、數(shù)量體系中的缺陷，開發(fā)、構(gòu)建與“無(wú)窮”概念相關(guān)的新的數(shù)量形式與新數(shù)量體系.文[43]中介紹了新的“半阿基米德性”概念.數(shù)學(xué)史證明，人們需要對(duì)那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的數(shù)量形式開展各種各樣必要的定性、定量認(rèn)知與研究[20-43].

2.1.2 與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)量形式處理理論、操作的缺陷與新的研究成果

我們已經(jīng)在文 [7-12]中對(duì)數(shù)學(xué)分析中與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)量形式處理理論與操作的缺陷（比如極限論及其操作等等）進(jìn)行了系統(tǒng)性研究與討論，開發(fā)了以新無(wú)窮理論體系及其相關(guān)的載體理論為基礎(chǔ)的新極限論.

2.1.3 現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析中與“無(wú)窮”概念相關(guān)的悖論家族：芝諾悖論家族和貝克萊悖論家族

2500 多年來，人類一直沿用芝諾時(shí)代的經(jīng)典“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”觀并以此作為現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系的基礎(chǔ)理論，導(dǎo)致了自古以來，人們?cè)谝越?jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的極限思想、極限理論對(duì)“無(wú)窮事物”開展定量認(rèn)知過程中無(wú)法科學(xué)地認(rèn)知“X→0 的數(shù)量形式”——理論上無(wú)懈可擊、完美無(wú)缺，但實(shí)際上完全無(wú)法自圓其說（反之亦然），決定了“芝諾悖論家族”和“貝克萊悖論家族”的產(chǎn)生和懸而未決.

（1） 2500 多年來懸而未決的芝諾悖論家族成員——新發(fā)現(xiàn)的調(diào)和級(jí)數(shù)悖論.

新發(fā)現(xiàn)的“調(diào)和級(jí)數(shù)悖論”是指，以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的極限思想、極限理論所決定的Oresme 于1360 年前后給出的那個(gè)“加括號(hào)操作法”會(huì)產(chǎn)生的悖論.它是數(shù)學(xué)分析中“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺陷”的一個(gè)典型案例，我們可以在現(xiàn)有的許多數(shù)學(xué)課本和專著中看到被奉為經(jīng)典和級(jí)數(shù)基礎(chǔ)理論的那個(gè)證明[1-14].

人們?cè)试S、肯定、贊美該證明中那種以現(xiàn)有經(jīng)典極限論為基礎(chǔ)的“對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)中的數(shù)項(xiàng)加括號(hào)求和，得到無(wú)窮多個(gè)大于任意常數(shù)項(xiàng)的操作法”！必然要承認(rèn)如下各種加括號(hào)求和操作法的科學(xué)性：

采用可以產(chǎn)生1 個(gè)1/2 的加括號(hào)法則操作

采用可以產(chǎn)生2 個(gè)1/2 的加括號(hào)法則操作

我們目睹了一個(gè)活生生的芝諾悖論現(xiàn)代翻版的典型案例：成功應(yīng)用極限思想、極限論對(duì)“阿基里斯追不上烏龜定理”進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.阿基里斯就是這個(gè)證明中的多項(xiàng)式加括號(hào)操作法，而烏龜就是調(diào)和級(jí)數(shù).盡管善跑的阿基里斯步伐可以越大越快（甚至可以是噴氣式飛機(jī)的速度），但是在理論上烏龜將永遠(yuǎn)在他的前面——盡管多項(xiàng)式加括號(hào)操作法可以越大越快處理掉調(diào)和級(jí)數(shù)中的許許多多數(shù)項(xiàng)，但理論上卻永遠(yuǎn)有無(wú)窮無(wú)盡可用多項(xiàng)式加括號(hào)操作法去處理的數(shù)項(xiàng).自古以來，與“無(wú)窮”相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的缺陷，使許多人錯(cuò)誤的認(rèn)為“可能存在的無(wú)窮過程就是可能存在的無(wú)窮計(jì)算”.所以那里的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜，而這里的多項(xiàng)式加括號(hào)操作法可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去，而得到無(wú)窮多個(gè)大于10100000的量.在幾十年來的“調(diào)和級(jí)數(shù)悖論”問題討論中，人們囿于“調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散”這種固定思路，拒絕思考筆者研究中反復(fù)指出的“循環(huán)論證怪圈（邏輯循環(huán)怪圈）”問題：（1） 先用“加括號(hào)操作法”證明可以從Un→0 的調(diào)和級(jí)數(shù)中得到無(wú)窮多個(gè)大于1/2或10100或10100000或……數(shù)項(xiàng)，而將Un→0的無(wú)窮常減調(diào)和級(jí)數(shù)變成一個(gè)Un→10100000的無(wú)窮常增級(jí)數(shù)，得到調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的結(jié)論（在與“無(wú)窮”相關(guān)的現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論體系中，至少有20種方法可以證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，但是萬(wàn)變不離其宗）；（2） 說因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，所以必然可以用“加括號(hào)操作法”從Un→0 的調(diào)和級(jí)數(shù)中得到無(wú)窮多個(gè)大于10100000的數(shù)項(xiàng)[1-14].

2500 多年來，懸而未決的芝諾悖論家族成員一直在不同場(chǎng)合、不同時(shí)間中要求人們回答：為什么那些“X→0 數(shù)量形式”在整個(gè)定量認(rèn)知過程中可以永遠(yuǎn)具備與“有窮”相關(guān)的數(shù)量形式相同的數(shù)量意義（沒人敢對(duì)芝諾悖論家族成員正在運(yùn)算中的“X→0 數(shù)量形式”喊聲“令其為零”或“取其極限”或“取其標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”，所以它們就永遠(yuǎn)不會(huì)變成太小而失去運(yùn)算資格、不會(huì)被趕出相關(guān)算式），而得到“正確”結(jié)果？與“無(wú)窮”相關(guān)的基礎(chǔ)理論的缺陷使人們必然不可能逃避“有限個(gè)X→0 數(shù)量形式相加”與“無(wú)限個(gè)X→0數(shù)量形式相加”之間本質(zhì)性區(qū)別的混淆.600 多年來，人們一直沒辦法了解、認(rèn)識(shí)這樣一個(gè)事實(shí)：調(diào)和級(jí)數(shù)中的加括號(hào)法所進(jìn)行的定量認(rèn)知操作是無(wú)窮多次“從某項(xiàng)到某項(xiàng)（有限個(gè)X→0數(shù)量形式）相加，求出無(wú)窮多個(gè)10100000的數(shù)項(xiàng)中的某個(gè)10100000操作”，而不是無(wú)窮多次“無(wú)限個(gè)X →0 數(shù)量形式相加的操作，求出無(wú)窮多個(gè)10100000的數(shù)項(xiàng)中的某個(gè)10100000操作”.

（2） 懸而未決的貝克萊悖論家族——現(xiàn)有數(shù)學(xué)體系中不可解的第二次數(shù)學(xué)危機(jī).

作為另一個(gè)典型案例，貝克萊悖論家族成員直到現(xiàn)在還一直在不同場(chǎng)合、不同時(shí)間中要求人們回答：為什么“X→0 數(shù)量形式”可以在定量認(rèn)知過程中突然間失去與“有窮”相關(guān)的數(shù)量形式相同的數(shù)量意義（突然間有人對(duì)貝克萊悖論家族成員正在運(yùn)算中的“X→0 數(shù)量形式”喊了聲“令其為零”或“取其極限”或“取其標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”，所以它們就突然間變成太小而失去運(yùn)算資格、必須被趕出相關(guān)算式），而得到“正確”結(jié)果[1-14]？

“X→0 數(shù)量形式”定量認(rèn)知過程中這種“蠻橫無(wú)理、隨心所欲進(jìn)出算式”的情況自古以來一直就存在于與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，只不過是到了芝諾時(shí)代和貝克萊時(shí)代才由他們編了個(gè)芝諾悖論和貝克萊悖論，暴露了現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析中仍然隨處可見的龐大的芝諾悖論家族和貝克萊悖論家族中的所有成員，尖銳、勇敢地指出這種無(wú)法自圓其說的“X→0 數(shù)量形式”定量認(rèn)知操作所揭示的人類在“有窮、無(wú)窮、潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮、極限思想、極限論……”認(rèn)知領(lǐng)域中一直懸而未決的基礎(chǔ)理論缺陷[1-14].

人類科學(xué)中，由于相關(guān)基礎(chǔ)理論的缺陷所導(dǎo)致的認(rèn)知工作中的邏輯矛盾現(xiàn)象就是悖論（比如所有芝諾悖論家族成員與貝克萊悖論家族成員的“自我反駁共性”——理論上無(wú)懈可擊但實(shí)際上無(wú)法自圓其說，反之亦然）.所以，只有解決相關(guān)基礎(chǔ)理論的缺陷，才有可能根除相應(yīng)的悖論.在文[1-14]中，我們將現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析中各種各樣與“無(wú)窮”概念相關(guān)的悖論聯(lián)系起來分析、研究，發(fā)現(xiàn)他們之間的一個(gè)共同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺失”缺陷：人們根本就不可能自圓其說的解釋為什么、應(yīng)該在定量認(rèn)知運(yùn)算過程中的何時(shí)何處對(duì)被認(rèn)知的“X→0 數(shù)量形式”實(shí)施那些“令它們?yōu)?、對(duì)它們?nèi)O限、對(duì)它們?nèi)?biāo)準(zhǔn)數(shù)”的操作.所以，在現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中，許許多多與“無(wú)窮數(shù)量形式”相關(guān)的運(yùn)算過程及其結(jié)果就必然成為悖論——不是芝諾悖論家族成員就是貝克萊悖論家族成員.這就是為什么我們很肯定的說，芝諾悖論家族和“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”在以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有科學(xué)理論體系中是不可解的[1-14，25-39].

2.2 現(xiàn)有集合論中無(wú)法避免的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺陷”所導(dǎo)致的不良定量認(rèn)知理論、操作與結(jié)果

集合論中繁榮昌盛的“無(wú)窮悖論家族”史研究使我們清楚地了解到，人們一直沒辦法科學(xué)的認(rèn)知“無(wú)窮”“無(wú)窮大”“無(wú)窮多”“集合”與“集合中的元素”這些概念及之間的關(guān)系，特別是沒辦法認(rèn)知集合論中各種各樣“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’的數(shù)學(xué)事物’——變?cè)亍兗稀獫摕o(wú)窮集合—實(shí)無(wú)窮集合”[13-19]？

2.2.1 “元素—集合”理論缺陷與新的研究成果

我們?cè)谖腫25-43]中的研究證明，現(xiàn)有經(jīng)典集合論中主要的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺陷”之一，就是整個(gè)“元素”理論缺失，因?yàn)樗耆鲆暳藷o(wú)窮集合中“具有特殊性質(zhì)、特殊存在條件、特殊表現(xiàn)形式和特殊之間關(guān)系的無(wú)窮元素”的重要性.所以，現(xiàn)有集合論中必然導(dǎo)致對(duì)如下內(nèi)容的認(rèn)知缺陷：“集合”的定義、構(gòu)成集合的“元素”的定義、“元素”與“集合”之間的必然與獨(dú)一無(wú)二關(guān)系、“集合譜系”…….我們?cè)谖腫43]中介紹了新的“元素”理論、新的無(wú)窮集合定義和新的“集合譜系”.

2.2.2 “無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”處理理論與操作的缺陷與新的研究成果

在文[36-43]中，我們已經(jīng)從不同角度研究和討論了現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮集合論中對(duì)“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”處理理論與操作（比如基數(shù)理論、超窮數(shù)理論、一 一對(duì)應(yīng)理論與操作等等）中的缺陷，介紹了以新無(wú)窮理論體系、新載體理論、新“元素—集合”理論為基礎(chǔ)的集合論中的新“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”處理理論與操作.

2.2.3 現(xiàn)有集合論中的羅素悖論家族成員

將現(xiàn)有經(jīng)典集合論中與“無(wú)窮”概念相關(guān)的各種各樣悖論聯(lián)系起來分析、研究，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們之間的一個(gè)共同特癥：它們必然都含有“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’（既是自己又不是自己、既是無(wú)窮又不是無(wú)窮、既屬于某集合又不屬于某集合）”這類具有T={x|x?x}}性質(zhì)的數(shù)學(xué)事物——“變?cè)亍⒆兗稀?懸而未決的羅素悖論家族成員是現(xiàn)有集合論中所存在的“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺陷”的一個(gè)典型案例.

與“無(wú)窮”相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的缺陷，決定了人們可以隨意給許多無(wú)窮集合中的某些元素賦予“既屬于某集合又不屬于某集合”的性質(zhì)，而構(gòu)造出各種各樣表現(xiàn)形式不同的羅素悖論家族成員（比如實(shí)數(shù)集合不可數(shù)證明中那些事先藏起來、然后再“變”出來的具有T={x|x?x}性質(zhì)的元素，“康托定理”證明中突然間出現(xiàn)的那些具有T={x|x?x}性質(zhì)的元素，“既是A村子里的人卻又不屬于A 村人”的理發(fā)師，“既永遠(yuǎn)滿客卻又永遠(yuǎn)有空房間”的希爾伯特旅館……）[13-19].

羅素悖論家族成員直到現(xiàn)在還一直從不同角度、在不同場(chǎng)合、不同時(shí)間揭示“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知基礎(chǔ)理論缺失”缺陷：為什么在以現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的集合論中，人們根本就無(wú)法避免“既是‘潛無(wú)窮’又是‘實(shí)無(wú)窮’性質(zhì)的數(shù)學(xué)事物”（隨時(shí)可以產(chǎn)生、出現(xiàn)的T={x|x?x}數(shù)學(xué)事物）？這就是為什么我們很肯定的說，第三次“數(shù)學(xué)危機(jī)”在以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有科學(xué)理論體系中是不可解的[13-19，36-43].

3 尋求解決問題的答案

3.1 構(gòu)建“新無(wú)窮理論體系”、開發(fā)新的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體理論體系”

在文[1-43]中，我們從不同角度對(duì)現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮觀中幾千年來一直懸而未決的致命缺陷進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，找到解決問題的答案：拋棄現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系中不科學(xué)的（錯(cuò)誤的）“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”概念，開發(fā)以科學(xué)的“抽象無(wú)窮概念—抽象無(wú)窮概念的載體”為基礎(chǔ)的新無(wú)窮理論體系，用科學(xué)的、新的無(wú)窮理論體系中的“抽象無(wú)窮概念的載體”概念取代現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系中不科學(xué)的（錯(cuò)誤的）“實(shí)無(wú)窮”概念，開發(fā)新的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體及其相關(guān)的定量認(rèn)知操作理論”.

3.2 無(wú)窮數(shù)學(xué)載體理論中的幾個(gè)新研究成果

3.2.1 無(wú)窮數(shù)學(xué)載體（抽象概念的載體）

科學(xué)史的研究使我們清楚地了解到，人們只能對(duì)“抽象概念的載體”進(jìn)行定量認(rèn)知，而不可能對(duì)“抽象概念”進(jìn)行定量認(rèn)知——人們只能對(duì)具體的“抽象水果概念的載體（比如香蕉、蘋果、桃子葡萄……）”進(jìn)行定量認(rèn)知，而不可能對(duì)“抽象水果概念”進(jìn)行定量認(rèn)知；在數(shù)學(xué)中，人們只能對(duì)具體的“抽象無(wú)窮概念的數(shù)學(xué)載體”進(jìn)行定量認(rèn)知，而不可能對(duì)“抽象無(wú)窮概念”進(jìn)行定量認(rèn)知.

在以“抽象概念—抽象概念的載體”為基礎(chǔ)的新無(wú)窮理論體系中，我們拋棄了“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”概念，用“抽象無(wú)窮”概念取代“潛無(wú)窮”概念、用“無(wú)窮載體”概念取代“實(shí)無(wú)窮”概念.從此，人類不再糾纏于“潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮”，而是可以全力以赴開發(fā)“無(wú)窮載體理論”，對(duì)與“抽象無(wú)窮概念的數(shù)學(xué)載體”相關(guān)的各種各樣內(nèi)容開展全面、系統(tǒng)、科學(xué)的研究與認(rèn)知[20-43].

3.2.2 無(wú)窮數(shù)學(xué)載體基因（抽象概念的載體基因）

循“無(wú)窮載體”的研究思路，我們清楚地了解到，在與“無(wú)窮”相關(guān)的現(xiàn)有人類數(shù)學(xué)領(lǐng)域中存在各種各樣的無(wú)窮數(shù)學(xué)載體，每一種無(wú)窮數(shù)學(xué)載體必然存在各自獨(dú)特的性質(zhì)、獨(dú)特的存在條件和獨(dú)特的表現(xiàn)形式.研究證明，在經(jīng)典無(wú)窮理論體系中，基礎(chǔ)理論的缺陷使人們根本就不可能對(duì)各種具體的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體（比如數(shù)學(xué)分析和集合論中各種各樣與‘無(wú)窮’相關(guān)的具體數(shù)學(xué)事物）”開展科學(xué)的定性與定量認(rèn)知，根本就不可能知道應(yīng)該去研究、去了解人類所要認(rèn)知的各種各樣“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”為什么會(huì)具有各自獨(dú)特的性質(zhì)、獨(dú)特的存在條件和獨(dú)特的表現(xiàn)形式？

在以“抽象概念—抽象概念的載體”為基礎(chǔ)的新無(wú)窮理論體系中，我們引進(jìn)“抽象概念的載體基因（無(wú)窮數(shù)學(xué)載體的基因）”概念，說明無(wú)窮數(shù)學(xué)載體的基本構(gòu)造和性能——正是與生具有的“載體基因”決定了不同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”具有各自獨(dú)特的性質(zhì)、獨(dú)特的生存條件和獨(dú)特的表現(xiàn)形式，保證了人類有可能對(duì)各種各樣不同的無(wú)窮數(shù)學(xué)載體進(jìn)行“實(shí)實(shí)在在”的、具體的定性與定量研究、認(rèn)知[25-43].

3.2.3 無(wú)窮數(shù)學(xué)載體尺度（抽象概念的載體尺度）

與“無(wú)窮”相關(guān)的數(shù)學(xué)史的研究使我們清楚地了解到，在以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有人類數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，人們根本就不可能知道各種各樣的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”居然具有由自己的基因所決定的獨(dú)特的性質(zhì)、獨(dú)特的生存條件和獨(dú)特的表現(xiàn)形式.所以，人們深深陷入一個(gè)無(wú)法自拔的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”定量認(rèn)知誤區(qū)的泥潭.在大多數(shù)具體的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”定量認(rèn)知過程中，只能是將各種各樣與“無(wú)窮”相關(guān)的數(shù)學(xué)載體混在一起，編造某些形式語(yǔ)言和形式邏輯將它們當(dāng)作毫無(wú)區(qū)別的“數(shù)學(xué)載體”進(jìn)行統(tǒng)一的定量認(rèn)知操作，而有時(shí)又感覺到它們之間似乎應(yīng)該有所區(qū)別，只好就再編造另一些形式語(yǔ)言和形式邏輯將某些“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”當(dāng)作確實(shí)有區(qū)別的“數(shù)學(xué)載體”進(jìn)行定量認(rèn)知操作（比如X→0 的各種數(shù)量形式、基數(shù)理論、實(shí)數(shù)不可數(shù)理論、超窮數(shù)理論……）.所以，各個(gè)“無(wú)窮悖論家族”的產(chǎn)生根本就無(wú)法避免、無(wú)法得到解決.因?yàn)椴还芏嗝磁?，人們根本就不可能知道不同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”之間在本體與形式上是否有區(qū)別、具體的區(qū)別是什么、應(yīng)該如何對(duì)不同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”開展科學(xué)、有效的定性、定量認(rèn)知工作[1-43]？

我們引進(jìn)由“抽象概念的載體基因（無(wú)窮數(shù)學(xué)載體的基因）”為基礎(chǔ)的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體尺度（抽象概念的載體尺度）”新概念.這個(gè)新概念專門用來表示那些由“載體基因”所決定的、保留“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”性質(zhì)的最小或最大定量認(rèn)知單位，使我們可以從不同角度對(duì)各種各樣不同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”開展科學(xué)、有效的定性、定量認(rèn)知工作——表示最小或最大某種面積的數(shù)學(xué)載體尺度、表示最小或最大某種速度的數(shù)學(xué)載體尺度、表示最小或最大有理數(shù)的數(shù)學(xué)載體尺度……；自然數(shù)集合中所含元素的“無(wú)窮載體尺度”必然小于有理數(shù)集合或?qū)崝?shù)集合中所含元素的“無(wú)窮載體尺度”，因?yàn)樽匀粩?shù)集合中所含元素的“自然數(shù)載體基因”決定了自然數(shù)集合中不可能會(huì)含有“非自然數(shù)載體基因”的元素（比如有理數(shù)或?qū)崝?shù)），即“有理數(shù)載體基因或?qū)崝?shù)載體基因”決定了有理數(shù)集合或?qū)崝?shù)集合中所含元素?cái)?shù)量必然比自然數(shù)集合中所含元素?cái)?shù)量多——有理數(shù)集合或?qū)崝?shù)集合中所含元素的載體尺度必然比自然數(shù)集合中所含元素的載體尺度大；任何母集中所含元素的“無(wú)窮載體尺度”必然大于其子集中所含元素的“無(wú)窮載體尺度”，即“母集中所含元素的無(wú)窮載體基因”決定了任何母集中所含元素?cái)?shù)量必然比其子集中所含元素?cái)?shù)量多——任何母集中所含元素的載體尺度必然比其子集中所含元素的載體尺度大；…….與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中必然存在由“數(shù)學(xué)載體基因、數(shù)學(xué)載體尺度”所決定的大大小小的、具體的、不同的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”，人們是在“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體（而非‘無(wú)窮層次、更無(wú)窮、更更無(wú)窮……’這類抽象概念）”之間比較大、小，對(duì)它們進(jìn)行定量認(rèn)知！

3.2.4 量子數(shù)學(xué)

“抽象概念—抽象概念的載體”理論、新的無(wú)窮理論體系、載體理論、無(wú)窮數(shù)學(xué)載體基因、無(wú)窮數(shù)學(xué)載體尺度……等基礎(chǔ)理論的研究，決定了以新的無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“量子數(shù)學(xué)”的構(gòu)建.這些新的工作思路將使人類比以往更科學(xué)、有效、系統(tǒng)地開展對(duì)無(wú)窮數(shù)學(xué)事物定量認(rèn)知工作.

4 結(jié)論

我們的研究證明，人們憑感覺、無(wú)法自圓其說地談?wù)摵褪褂昧饲О倌甑摹皩?shí)實(shí)在在的、看得到、摸得著的實(shí)無(wú)窮”，本來就應(yīng)該是一套包括如下與“無(wú)窮”概念密切相關(guān)的“無(wú)窮載體理論體系”中的新內(nèi)容（遲到的“實(shí)無(wú)窮理論”）：新數(shù)量形式、新數(shù)譜、新集合定義、新集合的元素定義、新‘集合—元素’關(guān)系、新集合譜系、半阿基米德性、新數(shù)性、新集合性、新無(wú)窮數(shù)學(xué)載體、新無(wú)窮數(shù)學(xué)載體基因、新歐陽(yáng)耿尺度（無(wú)窮數(shù)學(xué)載體尺度）、新極限論及其操作、新一 一對(duì)應(yīng)理論及其操作…….新開發(fā)的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體理論體系”彌補(bǔ)了與“無(wú)窮”概念密切相關(guān)的集合論、數(shù)學(xué)分析、一 一對(duì)應(yīng)理論和極限論的基礎(chǔ)理論缺失[8-12，36-41]，使我們有能力在以新的無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對(duì)各種各樣“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”開展科學(xué)、系統(tǒng)、有效的定量認(rèn)知工作.我們要珍惜、繼承前輩已經(jīng)取得的許許多多與“無(wú)窮”概念密切相關(guān)的知識(shí)財(cái)富，但我們也要糾正由不科學(xué)的經(jīng)典無(wú)窮理論體系中基礎(chǔ)理論缺陷所產(chǎn)生的許多錯(cuò)誤，消除悖論，更要開辟新的科學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域[1-43].