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    連續(xù)自然數(shù)及其乘積的位數(shù)分析

    2021-01-28 06:30:04曹振民
    喀什大學(xué)學(xué)報 2020年6期
    關(guān)鍵詞:雙曲乘積同理

    曹振民

    (中國路橋工程有限責(zé)任公司,北京 100011)

    0 引言

    本福特定律給出了一堆按照一定方法選取的數(shù)字中首位數(shù)字的一些分布規(guī)律,并在實際工作中得到了應(yīng)用.而在數(shù)論研究中,我們有時也經(jīng)常需要了解一堆有一定規(guī)律(如連續(xù)自然數(shù))的數(shù)字中末位數(shù)字[1]或者各種數(shù)字位數(shù)的分布規(guī)律情況,如連續(xù)自然數(shù)及其乘積在數(shù)論分析、計算機浮點計算等方面就得到了一定的應(yīng)用.一些學(xué)者對此進行了相關(guān)研究[2-3],但都是針對一些特例進行,不具備全局性.總的來說,目前對連續(xù)自然數(shù)及其乘積專門研究的還不多.

    今設(shè)集合X,Y 分別為:

    其中,[x1,x2]表示從x1到x2的連續(xù)自然數(shù),[y1,y2]同理.在X 和Y 之間建立一個的二元關(guān)系——一般意義上的相乘關(guān)系,設(shè)它們的乘積為S={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y},顯然X,Y 和S 均為有限集.本文將在對集合X,Y 及其乘積S 中的各種數(shù)字的奇偶性分析的基礎(chǔ)上[4],再對其位數(shù)進行分析.

    所謂位數(shù),指的是對于任意自然數(shù)x 有幾位數(shù),本文用符號Len(x)(x∈Z)表示.例如Len(345)=3(位),Len(988667)=6(位),Len(0)=1(位).

    1 一組連續(xù)自然數(shù)的位數(shù)分析

    先分析一組連續(xù)自然數(shù)中位數(shù)個數(shù)的計算公式.

    定律1 對于給定的集合X=[x1,x2](x1,x2∈N,x2≥x1),其中位數(shù)為n 的個數(shù)為:

    式(1)中,S(xn)為X 中位數(shù)為n 的個數(shù),n=[n1,n2],n∈N;n1,n2分別為x1和x2的位數(shù),n1=len(x1),n2=len(x2).

    證明 對于任意n 位數(shù)來說,當(dāng)n=1 時,最小的n 位數(shù)為10n-1-1=0;當(dāng)n>1 時,最小的n位數(shù)為10n-1,而最大的n 位數(shù)為10n-1.給定x1的位數(shù)n1=len(x1),當(dāng)n=n1時位數(shù)的個數(shù)需從最大的n1位減去x1加1,即10n-1-x1+1=10n-x1(同樣適合于n=1 的情況);同理,當(dāng)n=n2=len(x2)時位數(shù)的個數(shù)需要從x2減去最小位數(shù),即x2-(10n-1+1)=x2-10n-1-1;當(dāng)n1<n<n2時,n位數(shù)的個數(shù)為最大n 位數(shù)減去最小n 位數(shù),即(10n-1)-(10n-1)+1=9×10n-1.

    定律1 證畢!

    2 兩組連續(xù)自然數(shù)乘積的位數(shù)分析

    設(shè)兩組連續(xù)自然數(shù)集合為X=[1,x](x∈N,x≥1),Y=[1,y](y∈N,y≥1),其乘積S={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y}.我們下面分析S 中的各種數(shù)字位數(shù)的個數(shù).可分為如下三種情況.

    2.1 第一種情況:x,y 充分大

    由于x<∞,y<∞都充分大,所以S 中包含了任意多的位數(shù),對此有如下定律.

    定律2 對于給定的連續(xù)自然數(shù)集合X=[1,x],Y=[1,y](x,y∈Z+),其乘積S={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y}中位數(shù)為n 的數(shù)字的個數(shù)為

    式(2.1)中,S(n)為S 中位數(shù)為n(n∈N+)的個數(shù),?x」為對實數(shù)x 向下取整的值;k(n)為參數(shù),k(n)=10n-1,n 為所求的數(shù)字位數(shù)的編號.

    證明 為了形象理解集合S={x*y} 中各種數(shù)字位數(shù)的分布情況,現(xiàn)引入一組如圖1 所示的雙曲函數(shù)族xy=k(n),其中k(n)=10n-1(n,x,y∈N+).可以看出,S 中n 位數(shù)的個數(shù),實際上可以轉(zhuǎn)化為求不等式xy≤k(n)整數(shù)解的問題.

    對于充分大的x 和y,S 中的1 位數(shù)為區(qū)間{x>0,y>0,xy≤9}內(nèi)的整數(shù)點集合,2 位數(shù)為9<xy≤99 內(nèi)整數(shù)點集合,…,n 位數(shù)則分布于10n-1<xy≤10n+1-1 區(qū)間內(nèi).圖2 給出了所有1 位數(shù)的個數(shù),即y≤9/x 的整數(shù)解的點陣分布;其余位數(shù)點陣分布同理.從而得出1 位數(shù)的個數(shù)為:

    同樣,1 位數(shù)和2 位數(shù)的總個數(shù)為y≤99/x 中整數(shù)解的集合,即

    圖1 雙曲函數(shù)及數(shù)字位數(shù)區(qū)域示意圖

    圖2 一位數(shù)整數(shù)點陣示意圖

    所以

    定律2 證畢!

    根據(jù)“向下取整”的定義,在公式(2.2)中,當(dāng)xi>10n-1-1 時有?(10n-1-1)/xi」=0,所以,公式(2.2)也可表達成

    例2 當(dāng)x 和y 充分大時,求S=(1~x)*(1~y)中各種位數(shù)的個數(shù).

    解 把n=1,2,3…代入(1)式,求得k1=9,k2=99,k3=999,…,再分別求得S(1),S(2),…,如下:

    同理可求出其他各種位數(shù)的個數(shù),計算結(jié)果見表1.

    表1 S 中各種位數(shù)計算結(jié)果

    2.2 第二種情況:y=y0,x 充分大

    這可看成y≤y0,x<∞與雙曲函數(shù)族的相交范圍內(nèi)各種位數(shù)的情況(見圖3).

    圖3 y=y0 與雙曲族相交示意圖

    定律3 設(shè)X=[1,x],Y=[1,y0](x,y0∈N),其乘積S={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y,y≤y0}中位數(shù)為n 的數(shù)字的個數(shù)為:

    定律3 證畢!

    當(dāng)給定x≤x0,y<∞時,原理相同.有興趣者可以試著給出計算公式.

    2.3 第三種情況:x=x0,y=y0

    定律4 設(shè)X=[1,x0],Y=[1,y0](x0,y0∈N),其乘積S={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y,x≤x0,y≤y0}中位數(shù)的種類和位數(shù)的個數(shù)為:

    式(2.5)中,S(n)為S 中位數(shù)為n 的個數(shù),n∈N+,?x」為對x 向下取整;m 為S 中最大位數(shù),m=len(x0*y0),它同時也表示著S 中位數(shù)的種類;k(n)為參數(shù),k(n)=10n-1,當(dāng)k(n)>x0取k(n)=x0;x0i為y=y0與xy=k(n)的交點坐標(biāo)向下取整的 值,x0i=?k(n)/y0」(i=1,2,3,…,m),當(dāng)x0i>x0時,取xi0=x0.

    證明 引入雙曲函數(shù)族xy=k(n),設(shè)y=y0與xy=k(n)交點向下取整分別為x01,x02,…,x0i,…,x0n,其中x0i=?k(n)/y0」(i=1,2,3,…,n),最大的位數(shù)為m=len(x0*y0),如圖4 所示.顯然,當(dāng)位數(shù)n<m 時,各種位數(shù)的個數(shù)計算公式與(2.3)基本相同,不同點只在于計算范圍的變化,即當(dāng)x0i>x0或k(n)>x0時,取x0i=k(n)=x0,從而證得(2.5)式;當(dāng)n=m 時,所有數(shù)字的個數(shù)等于集合S 的基數(shù),即S(1)+S(2)+…+S(m)=|S|=x0*y0,證得(2.6)式.

    定律4 證畢!

    圖4 x=x0,y=y0 與雙曲族相交示意圖

    例3 求S=(1~398)*(1~252)乘積中位數(shù)為5 和6 的數(shù)字的個數(shù).

    解 設(shè)x0=398,y0=252,其乘積S 的基數(shù)|S|=x0*y0=100296,最大位數(shù)m=len(|S|)=6 位,即S中共有6 種位數(shù)的數(shù)字.由k(n)=10n-1 得,k4=104-1>x0,k5=105-1>x0,故取k4=k5=x0=398,而y0=252 與xy=k(n)的交點集合為:x0i=?k(n)/y0」={?9/252」,?99/252」,?999/252」,…,?999999/252」={0,0,3,39,396,398}(注意x06>x0,取x06=x0=398),由公式(2.5)得:

    需要指出,對于X=[x1,x2]與Y=[y1,y2](x1,y1,x2,y2∈N,x2≥x1≥1,y2≥y1≥1) 的乘積S 的位數(shù)計算,可先按照公式(2.5)求出S(i)={(x,y)|x∈X,y∈Y,x*y,x≤xi,y≤yi}(i=1,2)中各種位數(shù)的個數(shù),再由公式S(n)=S(2)-S(1)求出S中各種數(shù)字的位數(shù),這里不再贅述.

    致謝:本文英文部分的翻譯工作得到了陳鐘同志的幫助,在此表示感謝!

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