漸近非擴(kuò)張半群不動(dòng)點(diǎn)的隱式黏滯迭代逼近

（渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013）

關(guān)于漸近類非線性映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代序列收斂性問(wèn)題，一些學(xué)者做過(guò)研究，如文獻(xiàn)[1-4]。文獻(xiàn)[1]引入了漸近非擴(kuò)張映象隱式黏滯迭代，在Hilbert 空間中，在一定條件下，證明了該序列{xn}強(qiáng)收斂于變分不等式＜（A -γf）q，z -q＞≥0，?z∈F 的唯一解，其中A 為強(qiáng)正算子，f為壓縮映象。文獻(xiàn)[2]引入了漸近非擴(kuò)張映象黏性迭代xn+1=αnf（xn）+βnxn+γnTnxn，其中f 為壓縮映象，并在Banach 空間中，研究了漸近非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的黏性迭代逼近問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]引入并研究了漸近偽壓縮型強(qiáng)連續(xù)半群隱式迭代序列xn=αnxn-1+βn（T（tn））nxn+μn（T（tn））nxn-1+γnun，推廣了文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果。文獻(xiàn)[5-6]分別研究了漸近非擴(kuò)張映象和嚴(yán)格偽壓縮映象迭代收斂性。文獻(xiàn)[7-11]研究了包括嚴(yán)格偽壓縮半群、Φ-壓縮型映象在內(nèi)的幾類映象不動(dòng)點(diǎn)存在性與迭代逼近問(wèn)題。受上述工作啟發(fā)，本文引入并研究漸近非擴(kuò)張半群對(duì)的隱式黏滯迭代序列，并在一定條件下，在Hilbert 空間中建立了漸近非擴(kuò)張半群對(duì)公共不動(dòng)點(diǎn)的隱式黏滯迭代序列的強(qiáng)收斂性定理，推廣和改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)E 是Banach 空間，C 是E 的非空閉凸子集，

（i）若存在α（0 ＜α ＜1），對(duì)?x，y∈C 有‖f（x） -f（y）‖≤α‖x -y‖，則稱映象f：C →C 是壓縮的；

（iii）若存在常數(shù)L ＞0，使得?x，y∈C，?n≥1，有‖Tnx -Tny‖≤L‖x -y‖，則稱映象T：C →C是一致Lipschitz 的；

易知若T 是漸近非擴(kuò)張的，則T 一定是一致Lipschitz 的，其中

設(shè)C 是Banach 空間E 的非空閉凸子集，R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集。一族映象T={T（t）：t∈R+}，其中T（t）：C →C 稱為漸近非擴(kuò)張半群，如果滿足下列條件:

（i）T（0）x=x，?x∈C；

（ii）T（s+t）x=T（s）T（t）x，?x∈C 和?s，t∈R+；

‖（T（t））nx -（T（t））ny‖≤（1+hn）‖x -y‖。

存在常數(shù)L ＞0，使得?x，y∈C，?t≥0，?n≥1，有

則T 稱為一致L-Lipschitz 的。用F（T）表示半群T的公共不動(dòng)點(diǎn)集，即

定義2若存在序列=0，使得?x，y∈C，tn≥0，?n≥1，有

則稱漸近非擴(kuò)張半群T={T（t）：t∈R+}與Q={Q（t）：t∈R+}是漸近非擴(kuò)張半群對(duì)。

注1 漸近非擴(kuò)張半群T 與自身是漸近非擴(kuò)張半群對(duì)。

為了證明主要結(jié)果，需要如下引理：

引理1[5]設(shè)C 是Hilbert 空間H 的有界閉凸子集，T：C →C 是漸近非擴(kuò)張映象，若C 中序列{xn}弱收斂于x 且=0，則x∈F（T）。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)H 是實(shí)Hilbert 空間，C 是H 非空閉凸子集，T={T（t），t∈R+}與Q={Q（t）：t∈R+}，其中T（t）：C →C，Q（t）：C →C 分別是具有漸近數(shù)列{hn}?的漸近非擴(kuò)張半群，使得是具有系數(shù)α∈（0，1） 的壓縮映象，A 是具有＞0的強(qiáng)正有界線性算子。{αn}，{βn}，{σn}，{δn}是[0，1]中的實(shí)數(shù)列，{tn}是（0，∞）中的序列，滿足下列條件：

若T 與Q 是漸近非擴(kuò)張半群對(duì)且序列{xn}滿足（Q（t））n+1xn‖=0，則式（1）定義的隱式黏滯迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于漸近非擴(kuò)張半群T 與Q 的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈F（T）∩F（Q）且q 是變分不等式

這表明對(duì)?n ＞N，Sn：C →C 是壓縮映象，因此，存在唯一xn∈C 使式（1）成立。

其次證明{xn}有界。對(duì)?p∈F（T）∩F（Q），由式（1），?n ＞N，有

則存在正整數(shù)N 和唯一xn∈C，?n ＞N，有

若序列{xn}滿足0，則該隱式黏滯迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于漸近非擴(kuò)張半群T 的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈F（T）且q 是變分不等式

的唯一解。

在推論1 中取δn≡1，σn≡1 可得推論2：

推論2設(shè)H 是實(shí)Hilbert 空間，C 是H 非空閉凸子集，T={T（t），t∈R+}，其中T（t）：C →C 是具有漸近數(shù)列的漸近非擴(kuò)張半群，使得是具有系數(shù)α∈（0，1）的壓縮映象，A 是具有＞0 的強(qiáng)正有界線性算子，{αn}，{βn}是[0，1]中的實(shí)數(shù)列，{tn}是（0，∞）中的序列，滿足下列條件：

則存在正整數(shù)N 和唯一xn∈C，?n ＞N，有

若序列{xn}滿足=0，則該隱式黏滯迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于漸近非擴(kuò)張半群T 的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈F（T）且q 是變分不等式

的唯一解。