基于LQR的飛機縱向控制律設(shè)計

牛文韜，高 永，黃清順

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264000）

飛機控制系統(tǒng)設(shè)計主要包括2 種方法：經(jīng)典控制理論方法和現(xiàn)代控制理論方法。其中，經(jīng)典控制理論研究方法以頻域法和根軌跡法為代表，本質(zhì)上是借助于大量直觀經(jīng)驗，按照閉環(huán)回路控制原理，依次選擇控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；同時，對于飛機的非線性和參數(shù)變化問題，采用線性化處理和調(diào)參處理等方法加以解決；最后，通過不斷地仿真和模擬試驗優(yōu)化，得到一個良好的控制系統(tǒng)。但是，對于具有更多回路或者多輸入、多輸出的飛行控制系統(tǒng)以及現(xiàn)代戰(zhàn)斗機的高度非線性等問題，經(jīng)典控制理論已不能滿足實際需求。而現(xiàn)代控制理論可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)變量模型，相比傳遞函數(shù)模型，它包含了更多的系統(tǒng)信息。因此，可以得到更為優(yōu)異的控制性能；同時，該模型可以使多個控制回路同時閉合，并自動地協(xié)調(diào)各回路性能，在飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計中占據(jù)越來越重要的地位[1-2]。

20世紀(jì)50年代以來，以線性二次型調(diào)節(jié)器為核心的最優(yōu)控制設(shè)計方法，已經(jīng)成為一種應(yīng)用較廣、較成熟的飛行控制系統(tǒng)設(shè)計方法。20世紀(jì)70年代，美國成功運用顯模型跟蹤最優(yōu)二次型法設(shè)計了F-8C 主動控制驗證機的控制律；80 年代，美國設(shè)計了隱模型跟蹤最優(yōu)二次型與經(jīng)典法相結(jié)合的控制律，并應(yīng)用于X-29上；X-31飛機的大迎角機動控制律也采用了最優(yōu)二次型法。這種方法的控制對象是線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間函數(shù)，并以狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，目的是設(shè)計合適的狀態(tài)反饋增益矩陣K ，使目標(biāo)函數(shù)取得最小值。K 值由加權(quán)陣Q 和R 決定，所以Q和R 的選擇是求解問題的關(guān)鍵。

利用LQR 理論設(shè)計的控制律是反饋狀態(tài)變量的線性函數(shù)，可以實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。由于方法簡單且便于實現(xiàn)，還可以利用Matlab 等軟件進行仿真計算，在工程實踐中已得到大量運用[3-7]。應(yīng)用最優(yōu)二次型法設(shè)計控制律，一般按照如下的程序進行：

1）簡化非線性系統(tǒng)模型，設(shè)計飛機響應(yīng)的開環(huán)構(gòu)型；

2）根據(jù)簡化模型設(shè)計控制律；

3）加入被忽略的高頻動態(tài)環(huán)節(jié)和非線性特性等，修正系統(tǒng)特性；

4）對設(shè)計的飛行控制系統(tǒng)進行飛行品質(zhì)的仿真實驗，進一步完善系統(tǒng)。

本文以某型固定翼飛機的縱向小擾動模型為基礎(chǔ)，以C*響應(yīng)準(zhǔn)則為目標(biāo)，利用顯模型跟蹤最優(yōu)二次型法對飛機的縱向控制律進行設(shè)計，并進行了仿真驗證。在此基礎(chǔ)上，利用低階等效系統(tǒng)方法對飛行品質(zhì)進行了評價。

1 飛機縱向動力學(xué)模型建立

為得到飛機的操縱性及動態(tài)響應(yīng)，須建立飛機飛行動力學(xué)模型，并進行小擾動線性化處理，得到機體坐標(biāo)系下的縱向小擾動運動方程如下[8]：

飛機縱向運動包含長周期和短周期2個模態(tài)。其中，短周期模態(tài)速度的變化可以忽略，主要體現(xiàn)在迎角和俯仰角速度的快速變化，短時間對飛行員的操縱提出了很高的要求；而長周期模態(tài)變化周期長，飛行員常在無意識情況下就修正了飛機姿態(tài)，所以本文只考慮飛機的短周期模態(tài)。

假設(shè)在縱向的操縱運動中，油門桿的位置δp和飛機飛行高度H 始終保持不變，得到飛機的短周期方程為：

本文所設(shè)計的控制律為實現(xiàn)常規(guī)飛機響應(yīng)，選用過載和俯仰角速率的組合反饋。法向過載與迎角的關(guān)系為：

由實際的飛行經(jīng)驗可知：飛機在低速飛行過程中，法向過載的變化可忽略，飛行員更多地感受到俯仰角運動的變化，并通過俯仰角速率響應(yīng)來操控飛機；當(dāng)飛機高速飛行時，法向過載的變化過大，飛行員通過過載響應(yīng)操控飛機。由此提出2種狀態(tài)的混合響應(yīng)來進行飛行品質(zhì)的評價，即C*響應(yīng)[9]，定義為：

式（5）中：vco為交叉速度，此時飛行員對二者的感覺相同，其值一般為120～132 m/s。飛行員不在飛機質(zhì)心，因而要考慮角加速度形成的過載，故：

式（6）中：l 即為飛行員到質(zhì)心的距離。

由此可得到C*的狀態(tài)空間表達式：

對式（4）、（7）進行拉普拉斯變換，并假定初始條件為0，則有：

可得C*傳遞函數(shù)：

圖1為C*開環(huán)響應(yīng)結(jié)構(gòu)。

圖1 C*開環(huán)響應(yīng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of open-loop response of C*

依據(jù)圖1可得，C*對操縱桿的傳遞函數(shù)為：

當(dāng)輸入為1 g 時，C*的開環(huán)階躍響應(yīng)如圖2所示。

圖2 C*開環(huán)階躍響應(yīng)Fig.2 Open-loop step response of C*

圖3為桿力輸入為1 g 時，C*響應(yīng)準(zhǔn)則。

圖3 C*響應(yīng)準(zhǔn)則Fig.3 Response criterion of C*

根據(jù)圖3 所示的響應(yīng)準(zhǔn)則，對圖2 的C*響應(yīng)進行評價，結(jié)果如圖4所示。

圖4 開環(huán)C*響應(yīng)評價Fig.4 Evaluation of open-loop C*response

由圖4可知，飛機的開環(huán)C*響應(yīng)不在理想C*值的包線范圍內(nèi)，飛行品質(zhì)不符合要求，下面對飛機進行閉環(huán)控制律設(shè)計，以改善飛機的飛行品質(zhì)。

2 LQR最優(yōu)控制器理論

最優(yōu)二次型設(shè)計包括輸出反饋的最優(yōu)二次型、顯模型跟蹤最優(yōu)二次型和隱模型跟蹤最優(yōu)二次型等。本文采用顯模型跟蹤最優(yōu)二次型法對飛機的縱向控制律進行設(shè)計。模型跟蹤最優(yōu)控制是指對被控對象，選擇合適的控制作用，使閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤給定的理想模型，同時使代價函數(shù)最小，數(shù)學(xué)模型如下[10-12]：

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

響應(yīng)向量方程為：

式（12）、（13）中：x ∈?n為狀態(tài)向量；u ∈?m為輸入向量；η ∈?q為隨機白噪聲過程向量；r ∈?R為輸出向量；A、B、C、D 為系統(tǒng)矩陣；F 為隨機擾動矩陣。

最優(yōu)二次型指標(biāo)函數(shù)為：

式（14）中：Q1=CTQC ；Q2=CTQD ；Q3=DTQD ，且加權(quán)陣Q 為正定或半正定矩陣。

最優(yōu)控制可表述為，選取

使得最優(yōu)二次型指標(biāo)函數(shù)J 最小。其中最優(yōu)控制增益K ：

式（16）中，P 為下述代數(shù)黎卡堤方程的解：

3 控制律設(shè)計

在控制律設(shè)計過程中，考慮了飛機高頻環(huán)節(jié)對響應(yīng)的影響，包括舵回路的高頻動態(tài)特性和舵偏角限制的非線性特性，角速率陀螺、桿力傳感器自身的動態(tài)特性，在系統(tǒng)特定位置的結(jié)構(gòu)陷波器動態(tài)特性。此外，數(shù)字式電傳操作系統(tǒng)的延時特性也應(yīng)該考慮[13-15]。

設(shè)計飛機的縱向控制結(jié)構(gòu)如圖5所示。為實現(xiàn)C*響應(yīng)的顯模型跟蹤，按飛行品質(zhì)要求，設(shè)計了理想C*響應(yīng)模型。通常C*響應(yīng)模型可由一個2階環(huán)節(jié)表示：

本文取ωnm=7.9 rad/s，ζm=0.9。其值滿足MILF-8785C的一級飛行品質(zhì)要求。

圖5 飛機閉環(huán)控制Fig.5 Closed-loop control of aircraft

最優(yōu)控制律采用全狀態(tài)反饋，含8 個狀態(tài)，從圖5可以得到系統(tǒng)的各個狀態(tài)變量之間的關(guān)系：

把上述各變量代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可得：

系統(tǒng)響應(yīng)分別取C*響應(yīng)與理想模型的跟蹤誤差、誤差積分、升降舵面偏轉(zhuǎn)及控制輸入4個變量：

r2誤差積分：x6；

r3舵面偏轉(zhuǎn)：x7；

r4控制作用：u(t)。

由式（12）可得：

加權(quán)陣Q 的選擇并沒有規(guī)律可以遵循，而且不唯一，由于Q 矩陣對飛行品質(zhì)的影響目前仍不明確，故通常的做法仍是不斷地對矩陣中的元素進行分析、試湊來確定。一般取Q 矩陣為對角陣，某個元素增大即增大對該響應(yīng)分量的加權(quán)。在經(jīng)過仿真計算得出反饋增益K 后，還要進行飛行品質(zhì)的評價，以確定所選Q 陣是否滿足要求[16-19]。此處選取：

給系統(tǒng)施加階躍激勵，利用Simulink 進行最優(yōu)控制仿真的仿真框圖如圖6所示。

圖6 仿真框圖Fig.6 Diagram of simulation

并根據(jù)圖3對C*響應(yīng)的飛行品質(zhì)進行評價，仿真和評價結(jié)果如圖7所示：

圖7 閉環(huán)C*響應(yīng)評價Fig.7 Evaluation of closed-loop C* response

同時選取系統(tǒng)8 個狀態(tài)量中的4 個狀態(tài)量，仿真結(jié)果如圖8～11所示。

由圖8～11 可知：實際C*響應(yīng)與理想C*響應(yīng)基本重合，C*誤差最大值為0.08，并且在3 s 左右達到穩(wěn)定。最大舵偏角為0.01 rad 左右，遠小于非線性限制，符合最優(yōu)控制律的設(shè)計要求。

圖8 實際C*與理想C*響應(yīng)Fig.8 Actual C* response and ideal C*response

圖9 C*誤差響應(yīng)Fig.9 C* error response

圖10 俯仰角速度響應(yīng) Fig.10 Pitch rate response

圖11 升降舵偏角Fig.11 Elevator deflection angle

4 飛行品質(zhì)驗證

在C*響應(yīng)評價的基礎(chǔ)上，進一步對飛機的飛行品質(zhì)進行驗證。針對第3節(jié)加入高頻環(huán)節(jié)的飛機控制系統(tǒng)，本節(jié)利用低階等效系統(tǒng)方法對飛機的飛行品質(zhì)進行評價。高階飛機的低階等效系統(tǒng)是指2個系統(tǒng)在相同的初始條件和外界輸入下，在一定時域或頻域內(nèi)，二者的輸出差值在給定的指標(biāo)函數(shù)下最小。該等效系統(tǒng)可用頻域或時域擬合的方法求得，具體的頻域等效原理如式（20）所示：

尋求GLOES( )jω 中的參數(shù)，使下述指標(biāo)函數(shù)最?。?/p>

本文對法向過載和俯仰角速率進行雙擬配。為得到飛機的頻率響應(yīng)，在式（20）的基礎(chǔ)上，給出飛機俯仰軸上的法向過載與俯仰角速率的等效傳遞函數(shù)：

式（21）、（22）中：Fe為桿力輸入；kq、knz為增益，τq、τn分別為q、nz的等效延遲時間；Tq為時間常數(shù)。

根據(jù)式（20）～（22）即可求得低階等效系統(tǒng)中的各參數(shù)。具體的擬配條件為：

擬配時飛機的飛行狀態(tài)為：高度5 km ，速度1.0 Ma；

飛機的飛行階段則選?。篊 階段，即場域飛行階段；

擬配結(jié)果見表1所示。

表1 等效擬配結(jié)果Tab.1 Equivalent fitting result

根據(jù)GJB 185-86有人駕駛飛機飛行品質(zhì)要求，給出了短周期運動的阻尼系數(shù)等級評判標(biāo)準(zhǔn)和巡航階段CAP標(biāo)準(zhǔn)，見表2以及圖12。由表2可知，該飛機短周期運動的阻尼系數(shù)基本達到一級飛行品質(zhì)的要求；同時對于俯仰角速度和過載的等效延遲時間也基本滿足一級飛行品質(zhì)要求。由圖12 巡航階段CAP 標(biāo)準(zhǔn)[20]可知，該飛機在巡航階段的操縱期望參數(shù)滿足一級飛行品質(zhì)要求，即能夠順利地完成各項任務(wù)。

表2 短周期阻尼系數(shù)等級標(biāo)準(zhǔn)Tab.2 Short period damping coefficient grade standard

圖12 CAP評價準(zhǔn)則Fig.12 Evaluation criteria of CAP

5 結(jié)論

針對飛機的縱向短周期響應(yīng)不滿足飛行品質(zhì)要求的問題，利用最優(yōu)二次型法設(shè)計飛機的控制律，對飛機的縱向響應(yīng)進行反饋調(diào)節(jié)，設(shè)計了飛機的閉環(huán)控制響應(yīng)仿真模型。仿真結(jié)果表明：所設(shè)計的控制律能夠有效改善飛機的飛行品質(zhì)，且結(jié)構(gòu)簡單，具有良好的適用性。由于飛機控制系統(tǒng)是一個高階增穩(wěn)系統(tǒng)，所以，利用低階等效系統(tǒng)法對該系統(tǒng)進行擬配，擬配結(jié)果表明：飛機的阻尼比、操縱期望參數(shù)能達到一級品質(zhì)要求，即能夠順利地完成各項任務(wù)。