小樣本條件下多應(yīng)力加速壽命試驗預(yù)測方法

林 云，秦 偉，朱云超

（1.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001；2.91321部隊，浙江義烏322000；3.92853部隊，遼寧興城125100）

對于導(dǎo)彈中的電子設(shè)備，考察其實際服役環(huán)境下真實老化過程通常需要花費很長時間。同時，儲存地點轉(zhuǎn)換、戰(zhàn)備值班路徑的變更等情況經(jīng)常導(dǎo)致環(huán)境因素的變化。為提前暴露設(shè)備的薄弱環(huán)節(jié)，現(xiàn)今通常采取加速試驗技術(shù)開展壽命預(yù)測評估。對于儲存壽命評估工作，最重要的就是在設(shè)計與實際服役環(huán)境相等效的加速試驗方法獲得試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立合適的綜合加速模型?？梢哉f，加速模型是正確反映壽命與多應(yīng)力間物理化學(xué)關(guān)系的關(guān)鍵。

國外在19世紀80年代就已經(jīng)對單應(yīng)力加速模型展開了研究，范特霍夫（Van’t Hoff）于1884 年建立了反映溫度與化學(xué)反應(yīng)速率之間關(guān)系的范特霍夫模型；阿倫紐斯（Svandte Arrhenius）于1887年得出了關(guān)于描述溫度應(yīng)力的阿倫紐斯模型。進入20 世紀后，艾林（Eyring）首先將量子力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)理論應(yīng)用于化學(xué)，于1935 年得到了描述化學(xué)反應(yīng)速率的艾林模型。此外，還有常用于研究電應(yīng)力的逆冪律模型（Inverse Power Model）、指數(shù)模型（Exponential Model）等[1]。而實際上，設(shè)備的工作環(huán)境是多種多樣且不斷變化的，所導(dǎo)致的環(huán)境應(yīng)力也是多變的，諸多環(huán)境應(yīng)力共同作用引起產(chǎn)品的老化，如電應(yīng)力、溫度應(yīng)力、濕度應(yīng)力、振動應(yīng)力等。因此，在加速試驗設(shè)計中引入綜合應(yīng)力的概念，建立多應(yīng)力加速模型，可以提高試驗效率、縮短試驗周期、節(jié)約試驗費用、更真實地符合客觀環(huán)境條件。很多學(xué)者也對多應(yīng)力條件下加速模型進行了研究：Donald B.Barker 等[2]提出了一種描述溫度和振動應(yīng)力的復(fù)合加速模型，并以印刷電路板為實例，對其壽命進行了分析；陳文華[3]在研究航天電連接器的加速壽命過程中，為兼顧溫度應(yīng)力與振動應(yīng)力，應(yīng)用廣義艾林模型提出了一種加速模型；M.B.Srinivas等[4]基于斷裂力學(xué)疲勞定律提出了一種描述溫度應(yīng)力、機械振動應(yīng)力和電應(yīng)力的加速模型；張國龍等[5]建立了溫度應(yīng)力、濕度應(yīng)力、電應(yīng)力的混合加速模型，并對某型雷達電路壽命進行了估計。

鑒于導(dǎo)彈裝備價格昂貴、可用于試驗的樣本量少，在開展加速試驗以及壽命預(yù)測的實際工作中通常為小樣本的背景。本文重點探究以下3種多應(yīng)力加速模型在小樣本條件下的適用問題：通用對數(shù)線性模型是常用的基于傳統(tǒng)理化加速模型的多應(yīng)力加速模型，王華等[6]利用通用對數(shù)線性模型對航天電連接器在溫度、振動應(yīng)力綜合作用下的壽命進行預(yù)測，并取得了較好效果；在文獻[7]的啟發(fā)下，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行可靠性預(yù)測，對于該模型收斂速度慢、全局搜索性能差的問題，利用天牛須搜索（BAS）優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)閾值與初始權(quán)值。通過以上措施，提高算法的收斂速度，增強全局搜索能力，建立BAS-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型；對于貧信息、小樣本特點，嘗試將灰色理論與支持向量機結(jié)合，建立灰色–支持向量回歸預(yù)測模型。對以上3 種模型進行深入研究，并在小樣本條件下對分別得到的預(yù)測效果進行綜合對比。

1 多應(yīng)力加速試驗數(shù)據(jù)說明

考慮到保密要求與成本限制，引用查國清等[8]文獻中的各智能電表在多種不同應(yīng)力水平作用下的試驗數(shù)據(jù)進行分析，該實例與導(dǎo)彈電子設(shè)備特性相近，實驗數(shù)據(jù)類似。試驗中，5個應(yīng)力水平見表1所示。

表1 智能電表多應(yīng)力加速壽命試驗中應(yīng)力施加情況Tab.1 Stress application in multi-stressaccelerated life test of smart meter

這里，偽失效數(shù)據(jù)可以作為完全壽命數(shù)據(jù)進行分析。按時間順序?qū)Ω鲬?yīng)力條件下的試驗失效時間數(shù)據(jù)進行排列，并計算其在各個應(yīng)力條件下對應(yīng)的可靠度。本文主要采用經(jīng)驗分布函數(shù)方法進行計算。

式（1）中：R( t )為可靠度函數(shù)；n( t )為t 時刻故障的試驗樣本個數(shù)；N 為試驗樣本數(shù)量。

根據(jù)式（1）可計算得到不同應(yīng)力水平下智能電表失效時間與可靠度對應(yīng)關(guān)系。以加速試驗中S1應(yīng)力水平下智能電表可靠度與失效時間對應(yīng)情況為例，可靠度與失效時間對應(yīng)情況見表2。

表2 S1 應(yīng)力水平下智能電表可靠度與失效時間對應(yīng)情況Tab.2 Corresponding situation of reliability and failure time of smart meter under S1 stress level

根據(jù)表2，可得試驗中S1～S5應(yīng)力水平下對應(yīng)的智能電表可靠度R(t)與失效時間t 直線散點圖，見圖1。

圖1 S1～S5 應(yīng)力水平對應(yīng)下R(t)、t 的直線散點圖Fig.1 Scatter diagram of R(t) and t under S1～S5 stress level

選取S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平作用下的數(shù)據(jù)作為后續(xù)BAS-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色–支持向量回歸模型的訓(xùn)練集，對S5應(yīng)力水平下的壽命開展預(yù)測。而通用對數(shù)線性模型也將根據(jù)S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平作用下的數(shù)據(jù)開展外推預(yù)測S5應(yīng)力水平下的壽命。將3 類模型的預(yù)測效果與S5應(yīng)力水平下的實際壽命進行驗證比較。

2 模型的建立

2.1 基于通用對數(shù)線性模型的預(yù)測模型建立

1）確定試驗數(shù)據(jù)分布規(guī)律。利用K-S檢驗[9]確定多應(yīng)力加速試驗數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。

2）對分布規(guī)律的參數(shù)進行估計。綜合分析多應(yīng)力加速試驗數(shù)據(jù)，采用極大似然估計法，獲得相應(yīng)參數(shù)值[10]。

3）通用對數(shù)線性模型的建立和未知參數(shù)估計。建立通用對數(shù)線性模型，結(jié)合估計得到的分布規(guī)律參數(shù)，求解出模型未知參數(shù)值，從而得到壽命特征與多應(yīng)力之間的對應(yīng)關(guān)系。

4）壽命的外推預(yù)測。根據(jù)待推應(yīng)力條件，由上一步驟中得到的壽命特征與多應(yīng)力之間的對應(yīng)關(guān)系確定分布規(guī)律參數(shù)，從而得到待推應(yīng)力條件下，產(chǎn)品的壽命分布，實現(xiàn)預(yù)測的目的。

2.2 BAS-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的建立

1）確定BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。參考經(jīng)驗公式，采用窮舉法，計算隱含層在各取值下的模型在指定訓(xùn)練次數(shù)情況下的輸出誤差，取誤差最小時對應(yīng)的取值為隱含層數(shù)量，從而確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[11]。

2）利用BAS 算法[12]確定BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值。普通BP算法初始權(quán)值、閾值是采取隨機初始化方式取得。迭代過程中，采用梯度下降方式動態(tài)調(diào)整權(quán)值和閾值，存在著一定的缺陷。利用BAS算法對網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值、閾值進行優(yōu)化，之后再進行學(xué)習(xí)。以上舉措將大幅提高算法性能，使得網(wǎng)絡(luò)進行全局搜索。

3）建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并進行學(xué)習(xí)。以溫度、濕度、電流及可靠度為輸入，失效時間為輸出，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型開展學(xué)習(xí)，從而通過學(xué)習(xí)得到預(yù)測模型。

4）BAS-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測。采用測試集中應(yīng)力水平并以可靠度為輸入向量，利用訓(xùn)練后的預(yù)測模型輸出失效時間，從而開展預(yù)測。

2.3 灰色–支持向量回歸預(yù)測模型的建立

1）失效時間及可靠度的級比檢驗及累加生成。對各應(yīng)力水平下的產(chǎn)品失效時間序列t 和可靠度序列R 進行級比檢驗。若不滿足條件，則進行方根處理，直至滿足級比檢驗；而后，進行灰色累加生成[13]得到t′、R′。

2）將處理后的試驗數(shù)據(jù)隨機分為訓(xùn)練集、測試集。

3）建立支持向量回歸模型并進行訓(xùn)練[14]。對訓(xùn)練集各組應(yīng)力水平及t′、R′分別進行歸一化處理后，以各應(yīng)力水平和R′為輸入向量，t′為輸出向量。在Matlab2016平臺下采用Labsvm軟件包中svmtrain函數(shù)進行學(xué)習(xí)，將徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)類型，從而通過學(xué)習(xí)得到預(yù)測模型。

4）支持向量回歸模型的預(yù)測。采用測試集中應(yīng)力水平及R′為輸入向量，利用訓(xùn)練后的預(yù)測模型采用Labsvm軟件包中svmpredict函數(shù)進行預(yù)測，對預(yù)測所得失效時間進行逆歸一化和逆累加生成操，作從而得到還原后的失效時間t。

3 模型的預(yù)測與驗證

3.1 建立預(yù)測模型評價指標(biāo)

為驗證模型的預(yù)測結(jié)果，以相對誤差Re、平均相對誤差A(yù)re、擬合優(yōu)度Cod 等參數(shù)作為預(yù)測模型的評價指標(biāo)[15]。平均相對誤差越小，說明模型的計算精度越高，擬合優(yōu)度的值域為[0，1]，其計算值越接近1，說明模型計算結(jié)果越準確，其公式如下：

3.2 各應(yīng)力樣本容量為56組時的預(yù)測及比較

選取S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平作用下的所有數(shù)據(jù)確定為模型的訓(xùn)練集。將S5應(yīng)力水平下數(shù)據(jù)設(shè)定為測試集，分別利用BAS-BP模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數(shù)線性模型進行訓(xùn)練、預(yù)測，預(yù)測情況及相對誤差見圖2。

3.3 各應(yīng)力樣本容量為20組時的預(yù)測及比較

小樣本是統(tǒng)計學(xué)中樣本的一種，通常是指樣本容量小于或等于30 的樣本。按照可靠度分布均勻選取S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平下試驗數(shù)據(jù)20 組，分別利用BAS-BP模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數(shù)線性模型進行訓(xùn)練、預(yù)測，并根據(jù)預(yù)測模型對S5應(yīng)力水平下失效時間開展預(yù)測，預(yù)測情況及相對誤差見圖3。

3.4 各應(yīng)力樣本容量為10組時的預(yù)測及比較

按照可靠度分布均勻選取S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平下試驗數(shù)據(jù)10 組，分別利用BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數(shù)線性模型進行訓(xùn)練、預(yù)測，并根據(jù)預(yù)測模型對S5應(yīng)力水平下失效時間開展預(yù)測，預(yù)測情況及相對誤差見圖4。

3.5 各應(yīng)力樣本容量為5組時的預(yù)測及比較

按照可靠度分布，均勻選取S1、S2、S3、S4應(yīng)力水平下試驗數(shù)據(jù)5組。此時，樣本總?cè)萘繛?0，已在小樣本情況下。分別利用BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數(shù)線性模型進行訓(xùn)練、預(yù)測，并根據(jù)預(yù)測模型對S5應(yīng)力水平下失效時間開展預(yù)測，預(yù)測情況及相對誤差見圖5。

圖2 樣本容量為56組時3種模型在各應(yīng)力水平下的預(yù)測情況及相對誤差Fig.2 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 56 groups under different stress levels

圖3 樣本容量為20組時3種模型在各應(yīng)力水平下的預(yù)測情況及相對誤差Fig.3 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 20 groups under different stress levels

圖4 樣本容量為10組時3種模型在各應(yīng)力水平下的預(yù)測情況及相對誤差Fig.4 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 10 groups under different stress levels

圖5 樣本容量為5組時3種模型在各應(yīng)力水平下的預(yù)測情況及相對誤差Fig.5 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 5 groups under different stress levels

匯總3 種模型在各應(yīng)力條件下樣本容量分別為56、20、10、5 組時預(yù)測效果，以平均相對誤差、擬合優(yōu)度為評價指標(biāo)，具體見表3所示。

表3 各應(yīng)力水平下樣本容量為56、20、10、5組時3種模型的預(yù)測效果對比Tab.3 Comparison of prediction effect of three models with sample sizes of 56，20，10 and 5 groups under different stress levels

由圖2～5 及表3 可見，各應(yīng)力水平下樣本量為56組時，BAS-BP 模型的預(yù)測精度最高。反映出在樣本量充足的情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的回歸預(yù)測效果較高。隨著樣本量的逐漸減少，灰色–支持向量回歸模型適合處理小樣本、貧信息的優(yōu)勢逐漸顯現(xiàn)。在各應(yīng)力水平下，樣本量為10組、5組的情況下，平均相對誤差仍在10%以內(nèi)，具備工程應(yīng)用價值?；谕ㄓ脤€性模型的多應(yīng)力加速模型的預(yù)測精度在樣本量不同時均不占優(yōu)勢。其原因在于建立模型時忽略應(yīng)力間耦合作用影響的自身缺陷，以及隨著樣本量的減少，根據(jù)極大似然估計對于Weibull 分布參數(shù)估計的精度也在降低，綜合導(dǎo)致了預(yù)測精度的逐步降低。針對BAS-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和灰色–支持向量回歸模型2種基于機器學(xué)習(xí)的非參數(shù)模型的應(yīng)用時機與場合，在試驗或觀測樣本數(shù)據(jù)充足情況下，應(yīng)考慮適用BASBP 模型，而小樣本情況下，應(yīng)考慮適用灰色–支持向量回歸模型。

4 結(jié)束語

通過分別建立BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數(shù)線性模型，分析了3種模型在樣本容量逐漸減少情況下的預(yù)測效果。對比驗證了灰色–支持向量回歸模型在小樣本情況下開展預(yù)測的獨特優(yōu)勢，分析了各模型的適用場合和時機。雖探索了小樣本情況下各模型的預(yù)測效果，但仍存在不足：①灰色–支持向量回歸模型在小樣本情況下可實現(xiàn)較高精度的預(yù)測，但無法像傳統(tǒng)理化模型一樣對于失效過程、失效機理等進行刻畫描述，且對于訓(xùn)練完成后學(xué)習(xí)結(jié)果通常無顯示表達式，屬于一種類似“黑箱”的模型。②導(dǎo)彈類裝備加速試驗數(shù)據(jù)通常屬于小樣本的情況，但對于一些入役多年的裝備型號通常有大量的PHM監(jiān)測數(shù)據(jù)，如何充分發(fā)揮日常監(jiān)測數(shù)據(jù)的作用來輔助加速試驗開展壽命預(yù)測，這仍須要進一步研究。