時(shí)間反演系統(tǒng)中基于Barzilai-Borwein的共軛梯度檢測(cè)算法

梁靜雯, 朱 江

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065)

0 引 言

近年來(lái),連接到現(xiàn)有通信網(wǎng)絡(luò)的設(shè)備數(shù)量大大增加。隨著移動(dòng)通信和物聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,對(duì)頻譜效率和系統(tǒng)容量的需求快速增長(zhǎng),傳統(tǒng)的多址技術(shù)已經(jīng)不能滿足用戶需求。為了滿足對(duì)移動(dòng)服務(wù)的大量需求,研究者們開(kāi)始研究新的多址技術(shù)。時(shí)間反演多址(time reversal division multiple access, TRDMA)因其良好的時(shí)空聚焦特性而被認(rèn)為是一種有利于構(gòu)建低復(fù)雜度、高利用率的綠色通信的空分多址技術(shù)[1]。TRDMA將與每個(gè)用戶位置相關(guān)聯(lián)的多徑信道信息作為用戶特定位置的簽名。本質(zhì)上,多路徑信道的每個(gè)路徑都被視為TRDMA中的虛擬天線,這使其具有精確的高分辨率空間聚焦[2]。時(shí)間聚焦效果有效抑制了碼間干擾,大大簡(jiǎn)化了終端的復(fù)雜性,并帶來(lái)更高速度的數(shù)據(jù)傳輸。

然而,當(dāng)信道存在相關(guān)性時(shí),時(shí)間反演會(huì)出現(xiàn)偽聚焦現(xiàn)象。這就會(huì)導(dǎo)致接收端存在干擾,使接收端接收的信號(hào)質(zhì)量下降。因此,降低用戶間干擾是必要的。

TRDMA系統(tǒng)降低干擾的算法可以引用碼分多址(code division multiple access, CDMA)系統(tǒng)里的檢測(cè)算法[3]。最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)算法已被證明能夠?qū)崿F(xiàn)接近最佳的性能[4],但算法過(guò)程含有復(fù)雜度高為O(N3)的大矩陣求逆計(jì)算,難以在實(shí)際中運(yùn)用。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者陸續(xù)提出了基于MMSE的低復(fù)雜度檢測(cè)算法,大多數(shù)為迭代求解線性方程的方法,如雅克比算法[5-6],共軛梯度(conjugate gradient, CG)算法[7-8],對(duì)稱逐次超松弛(symmetric successive overrelaxation， SSOR)迭代算法[9-10],Richardson[11-12];或者近似求逆算法,如Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)[13]。在大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output， MIMO)系統(tǒng)里隨著用戶數(shù)量的增加,與MMSE檢測(cè)器相比,CG算法和雅克比算法等都會(huì)遭受明顯的性能損失,只能獲得次優(yōu)的性能[14]。而Neumann級(jí)數(shù)在取3項(xiàng)及以上時(shí)復(fù)雜度會(huì)上升到O(N3),復(fù)雜度與MMSE處于同一維度。這些算法在系統(tǒng)復(fù)雜時(shí)無(wú)法在檢測(cè)性能和復(fù)雜度之間取得折中,Barzilai-Borwein(B-B)算法是一種迭代求解線性系統(tǒng)方程的方法,由于其簡(jiǎn)單并且收斂速度快,受到了學(xué)者們的關(guān)注。

基于此,以B-B迭代的思想為基礎(chǔ),本文提出了一種在TRDMA系統(tǒng)中基于B-B的CG加速迭代(簡(jiǎn)稱為CGB-B)算法,改進(jìn)了傳統(tǒng)的B-B迭代算法,加快了收斂速度。首先通過(guò)CG算法迭代兩次,找到最速下降方向,B-B算法再沿著這個(gè)搜索方向繼續(xù)迭代。仿真驗(yàn)證了所提CGB-B算法誤碼率(bit error rate, BER)更低,且復(fù)雜度保持在O(N2)。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)為TRDMA上行鏈路,由一個(gè)配備W根天線的基站和N個(gè)單天線用戶組成,W?N。時(shí)間反演鏡(time reversal mirror, TRM)是一種對(duì)信道進(jìn)行反轉(zhuǎn)操作的預(yù)濾波器。圖1為加入CGB-B算法的系統(tǒng)框圖。

圖1 系統(tǒng)框圖Fig.1 System diagram

假設(shè)N個(gè)用戶同時(shí)發(fā)送信號(hào),s=[s1,s2,…,sN]T為所有用戶同時(shí)發(fā)送的信號(hào)組成的N×1維向量,用戶n={1,2,…,N}和基站端第i={1,2,…,W}根接收天線之間的信道增益為

(1)

TRDMA的通信過(guò)程分為3步。

步驟 1信號(hào)探測(cè)階段，基站發(fā)射探測(cè)信號(hào);

(2)

(3)

式中,?l,p∈{0,1,…,2L-2};l=L-1時(shí)對(duì)應(yīng)自相關(guān)函數(shù)的最大功率中心峰值,有

(4)

(5)

2 基于B-B的CG加速迭代算法

2.1 算法描述

B-B算法思想是對(duì)于W維線性方程,通過(guò)迭代求出x。

Ax=b

(6)

式中,A為N×N維對(duì)稱正定矩陣；x為N×1維解向量；b為N×1維測(cè)量向量。在上行系統(tǒng)中,當(dāng)W?N,MMSE檢測(cè)矩陣G=HHH+σ2IN已被證明是Hermitian正定的(正定矩陣在實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣,在復(fù)數(shù)域上是Hermitian矩陣)[15]。

在本文系統(tǒng)中,檢測(cè)公式為MMSE檢測(cè)公式，即

(7)

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行變換可得

(9)

式(9)對(duì)應(yīng)到Ax=b的求最優(yōu)解的線性方程問(wèn)題。式(9)可以通過(guò)B-B算法轉(zhuǎn)換為最小化問(wèn)題：

(10)

(11)

(12)

式中,m表示迭代次數(shù)；αm表示常量,并且有

(13)

(14)

(15)

qm-1=gm-gm-1

(16)

由此,把MIMO系統(tǒng)中的矩陣求逆的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程的問(wèn)題。算法初始值的選取不設(shè)為0,初始值的選取會(huì)影響迭代的速度,更貼近精確解的初始值會(huì)更快收斂,且檢測(cè)性能更好。對(duì)于大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng),基站端天線數(shù)W遠(yuǎn)大于用戶數(shù)N,當(dāng)N一定時(shí),隨著W增加,受信道硬化的影響,HHH矩陣的非對(duì)角線項(xiàng)與對(duì)角線項(xiàng)相比變得越來(lái)越弱,主對(duì)角占優(yōu)性愈加明顯[16],HHH/W趨近于單位矩陣[17-19],即

HHH/W≈I

(17)

進(jìn)一步推出:

G-1≈D-1≈(WIN+σ2IN)-1≈W-1IN

(18)

D為G的主對(duì)角線矩陣,于是將初始值[20]設(shè)為

(19)

CG算法的思想是對(duì)于N階對(duì)稱正定矩陣G,若N維向量組p1,p2,…,pn(n≤N)滿足

(20)

則稱p1,p2,…,pn為關(guān)于G共軛的。由此可得,每一次迭代優(yōu)化后,當(dāng)前的誤差和剛才的優(yōu)化方向共軛正交。當(dāng)G=I時(shí),式(20)變?yōu)?/p>

(21)

2.2 算法步驟

下面給出本文算法的詳細(xì)步驟。

算法 1 CGB-B算法初始化1: ^s(0)=1WINY2: g0=Y-G^s(0)3: p0=g0CG算法先迭代for i=1∶24: vm-1=Gpm-15:αm-1=gHm-1gm-1pHm-1vm-16: gm=gm-1-αm-1vm-17: βm-1=gHmgmgHm-1gm-18: pm=gm+βm-1pm-19: m=m+1end10:^s(1)=^s(0)+α0p0+α1p1B-B算法開(kāi)始迭代11: ^s(2)=^s(1)+α1p112: m1=^s(2)-^s(1)13: n1=g2-g114: α2=‖m1‖2mT1n115: for k=3∶K 16: ^s(k)=^s(k-1)-αk-1gk-117: gk=G^s(k)-Y18: mk-1=^s(k)-^s(k-1)19: nk-1=gk-gk-120: αk=mTk-1mk-1mTk-1nk-121: k=k+122: end結(jié)果 最終解^s=^s(k+1)

算法1中,gm表示梯度,αm、αq表示優(yōu)化步長(zhǎng),pm、pq表示優(yōu)化方向,vm為中間變量,表示新的維度,當(dāng)前搜索方向和之前所有梯度張成的空間關(guān)于矩陣正交。βm為修正系數(shù),是確保p1,p2,…,pQ之間滿足關(guān)于G的共軛關(guān)系的。

2.3 收斂性分析

定理 1若CGB-B算法收斂,則隨著迭代次數(shù)的增加,CGB-B算法得到的解與精確解之間差為0。

(22)

式中,

M=IN-D-1G

(23)

Q=IN+D-1G

(24)

式中,G是Hermitian正定矩陣,且對(duì)角占優(yōu),因此M的范數(shù)小于1,有l(wèi)imk→∞Mk-2=0。G和D都為常數(shù)矩陣,因此存在一個(gè)常數(shù)矩陣R,滿足

‖Q‖≤‖R‖≠∞

(25)

(26)

可推出

(27)

即

(28)

因此,CGB-B算法在MMSE信號(hào)檢測(cè)中是收斂的。

證畢

2.4 算法復(fù)雜度分析

算法復(fù)雜度根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)計(jì)算得到。由于CGB-B算法是由CG算法和B-B算法組合而成,因此計(jì)算復(fù)雜度的情況如表1所示,具體分析如下。

表1 計(jì)算復(fù)雜度的對(duì)比

綜上,CGB-B算法迭代k次需要(N2+N)+2(N2+6N+2)+k(N2+3N+1)次乘法,即(k+3)N2+(3k+13)N+k+4次乘法。與MMSE檢測(cè)算法中僅G-1的計(jì)算就為O(N3)的復(fù)雜度相比,CGB-B算法的計(jì)算復(fù)雜度大大降低了。標(biāo)準(zhǔn)CG算法迭代k次的復(fù)雜度為k(2N2+8N+2)。當(dāng)?shù)螖?shù)k>3時(shí),CG算法的復(fù)雜度會(huì)超過(guò)CGB-B算法的復(fù)雜度。B-B算法迭代k次的復(fù)雜度為k(N2+3N)。

3 仿真分析

傳輸信道為多徑瑞利衰落信道,信道增益服從均值為0、方差為e-lTS/σT的循環(huán)對(duì)稱復(fù)高斯(circular symmetric complex Gaussian, CSCG)隨機(jī)變量,l為時(shí)間反演多徑數(shù),0≤l≤L。時(shí)間反演多徑總數(shù)設(shè)為L(zhǎng)=16[22-23]。采用16進(jìn)制正交幅度調(diào)制(16-quadrature amplitude modulation, 16-QAM)調(diào)制方式。信道帶寬B=500 MHz,采樣周期為TS=1/B=200 ns,均方根延遲擴(kuò)展為σT=100/B。以下仿真都是在時(shí)間反演系統(tǒng)中完成。仿真W×N=64×8和W×N=128×16兩組配置的系統(tǒng)對(duì)比分析。圖2給出了CGB-B算法與CG算法、B-B算法以及直接求逆MMSE算法的復(fù)雜度對(duì)比。

圖2 算法復(fù)雜度對(duì)比Fig.2 Algorithm complexity comparison

由圖2可見(jiàn),CGB-B算法在k=5的復(fù)雜度也小于MMSE算法很多。CGB-B算法在k=5時(shí)的復(fù)雜度與CG算法在k=4時(shí)的復(fù)雜度相同,且小于CG算法迭代5次的復(fù)雜度。CGB-B算法在k=4時(shí)的復(fù)雜度小于CG算法k=4的復(fù)雜度?？傮w來(lái)說(shuō),隨著迭代次數(shù)的增加,CGB-B算法復(fù)雜度的增大沒(méi)有CG算法增大得快,CGB-B算法復(fù)雜度介于CG算法和B-B算法之間。

圖3給出了天線配置為W×N=64×8時(shí)的CGB-B算法與B-B算法的BER對(duì)比圖。

圖3 CGB-B算法與B-B算法的BER對(duì)比(W×N=64×8)Fig.3 BER comparison of CGB-B algorithm and B-B algorithm (W×N=64×8)

以MMSE直接求逆算法為標(biāo)準(zhǔn),可以得出CGB-B與MMSE性能較接近,迭代次數(shù)k=5時(shí)與MMSE算法性能很接近。B-B算法在k=5時(shí)才能達(dá)到CGB-Bk=3時(shí)的性能,可知CGB-B相比B-B算法加速了收斂,BER下降得更快。

圖4為天線配置為W×N=64×8時(shí)的CGB-B算法與CG算法的BER對(duì)比。以MMSE算法直接求逆作為參考,CGB-B算法性能與MMSE算法較接近,k=5時(shí)CGB-B算法的BER下降趨勢(shì)很接近MMSE算法。CG算法k=5時(shí)的性能不及k=3的CGB-B,可知CGB-B算法的收斂速度快于CG算法。

圖4 CGB-B算法與CG算法的BER對(duì)比(W×N=64×8)Fig.4 BER comparison of CGB-B algorithm and CG algorithm (W×N=64×8)

圖5比較了天線配置為W×N=128×16時(shí)的CGB-B算法與B-B算法BER對(duì)比。擴(kuò)大了天線規(guī)模后,CGB-B算法和B-B算法的性能都有提升,收斂都加快了,但CGB-B算法收斂要快于B-B算法。以MMSE算法作為參考標(biāo)準(zhǔn),CGB-B算法的BER較接近于MMSE算法,k=5時(shí)最接近。隨著k增加,算法BER越低。B-B算法k=5時(shí)的BER高于k=3時(shí)的CGB-B算法很多,可知在大規(guī)模系統(tǒng)中,CGB-B算法的收斂速度更快。

圖5 CGB-B算法與B-B算法的BER對(duì)比(W×N=128×16)Fig.5 BER comparison of CGB-B algorithm and B-B algorithm (W×N=128×16)

圖6為在天線規(guī)模是W×N=128×16時(shí)的CGB-B算法與CG算法的BER對(duì)比圖。以MMSE算法直接求逆算法性能作為參考可得,CGB-B算法與MMSE算法性能最接近,迭代5次時(shí)性能最好。CG算法迭代5次時(shí)的性能差于CGB-B算法迭代3次的性能,CGB-B算法收斂速度要快于CG算法,比W×N=64×8時(shí)收斂速度更快。圖6還給出了不加算法時(shí)的系統(tǒng)BER作為參考,可以看出,加入算法后BER降低了。

圖6 CGB-B算法與CG算法的BER對(duì)比(W×N=128×16)Fig.6 BER comparison of CGB-B algorithm and CG algorithm (W×N=128×16)

4 結(jié) 論

針對(duì)TRDMA上行鏈路系統(tǒng)中用戶間干擾導(dǎo)致BER高的問(wèn)題,提出一種基于B-B算法的CG加速迭代的信號(hào)檢測(cè)算法。在B-B算法迭代前先用CG算法迭代兩次以加快收斂速度,找到最速下降方向,B-B算法沿著這個(gè)方向進(jìn)行迭代。通過(guò)迭代求解線性方程的方法避免了復(fù)雜矩陣求逆運(yùn)算。仿真分析表明,相同迭代次數(shù)下,CGB-B算法復(fù)雜度要低于CG算法,且BER性能要優(yōu)于CG算法和B-B算法。該算法可以有效解決TRDMA系統(tǒng)上行鏈路中多用戶間干擾的問(wèn)題。