基于特征向量空間聚焦的寬帶DOA估計方法

曹司磊, 曾維貴, 胥輝旗

(海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

波達方向(direction of arrival, DOA)估計是陣列信號處理領(lǐng)域中的一個重要研究方向,在通信、電子戰(zhàn)、導(dǎo)航等方面有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的DOA估計方法主要有:比幅法、比相法、波束形成方法等。波束形成方法的主要弊端在于存在瑞利限,分辨性能較差。20世紀80年代,以多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)為代表的子空間類方法出現(xiàn),極大地推動了陣列信號DOA估計方法的發(fā)展及應(yīng)用[1-4]。但是,隨著寬帶體制雷達的應(yīng)用,傳統(tǒng)窄帶DOA估計方法不再適用,主要原因在于不同頻率的信號分量帶來的頻率不一致。

針對窄帶DOA估計方法不適用于寬帶陣列的問題,主要解決途徑有:頻率分解及頻率聚焦。非相干信號子空間方法利用頻率分解的思想,通過濾波器組或者離散傅里葉變換將寬帶信號轉(zhuǎn)換為一組窄帶信號,然后采用窄帶方法進行DOA估計[5-7]。相干信號子空間方法(coherent signal subspace method, CSSM)利用頻率聚焦的思想,將經(jīng)過頻帶分解的信號通過聚焦矩陣變換到統(tǒng)一的參考頻點上,然后進行求和平均處理得到陣列的輸出信號自相關(guān)矩陣,利用窄帶處理的方式進行DOA估計[8-10],主要包括旋轉(zhuǎn)信號子空間方法[11]、信號子空間變換[12]、雙邊相關(guān)變換方法(two-sided correlation transformation, TCT)[13]等。但CSSM存在的問題是需要預(yù)估或者假設(shè)信號角度,以此來構(gòu)建信號子空間,這種角度估計會使聚焦矩陣出現(xiàn)偏差,最終導(dǎo)致DOA估計誤差[14-15]。

為避免CSSM中角度預(yù)估帶來的失配誤差,部分學(xué)者提出了較多的改進算法。文獻[16]提出了寬帶DOA估計的頻域時延補償方法(delay compensation in frequency domain method, DCF),避免了角度預(yù)估的問題,但是算法復(fù)雜度較高,用于實時陣列信號處理難度較大。文獻[17]提出了基于波束空間處理的改進投影子空間正交性測試方法,通過設(shè)計波束形成矩陣覆蓋信號入射范圍,但是仍未完全避免角度失配誤差且可能形成偽峰。文獻[18]提出寬帶多徑條件下無需信源數(shù)及入射角度預(yù)估的DOA估計方法,通過泰勒級數(shù)展開將接收信號近似為窄帶數(shù)據(jù),將DOA估計問題轉(zhuǎn)換為約束最優(yōu)化問題,但實際應(yīng)用中約束參數(shù)取值較難且算法復(fù)雜。文獻[19]提出使用陣列自相關(guān)矩陣構(gòu)造聚焦矩陣,避免了角度預(yù)估帶來的誤差,但是算法的估計性能有所下降。

針對大多數(shù)CSSM需要對信號入射角度初值進行預(yù)估并會引入角度估計誤差的問題,本文通過對頻率分解后陣列輸出信號無噪聲自相關(guān)矩陣的特征向量空間矩陣進行聚焦處理,提出不需要陣列入射角度先驗信息的基于特征向量空間聚焦的寬帶DOA估計方法。首先，建立寬帶陣列信號模型,同時考慮到由于多徑效應(yīng)等影響,對接收信號自相關(guān)矩陣進行平滑處理。然后，分析基于特征向量空間聚焦的DOA估計方法基本原理并總結(jié)算法步驟。最后，仿真比較了幾類算法的測向精度、分辨能力穩(wěn)健性及復(fù)雜度,并給出樣機試驗結(jié)果。

1 寬帶陣列信號模型

1.1 陣列接收信號模型

陣列排布為一維線陣,陣元數(shù)為K,陣元間距為d。假設(shè)有I個信號s(t)=[s1(t),s2(t),…,sI(t)]入射至陣列,入射角為θ=[θ1,θ2,…,θI],則第k個陣元信號輸出信號xk(t)可以表征為

(1)

式中,τk(φi)為信號si(t)在第k個陣元相對于首個陣元的接收時延;nk(t)為第k個陣元接收加性噪聲。

對于寬帶信號來說,其陣列流型對觀測時間范圍內(nèi)方位及信號入射角敏感,是二者的聯(lián)合函數(shù),不能夠像窄帶信號處理那樣建立為信號入射角一維函數(shù),單純以相移代表時延[20-21]。因此,對陣列接收信號進行DFT處理,得到陣列輸出的頻域表示形式

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,2,…,J

(2)

式中,

X(fj)=[Xk(fj),Xk+1(fj),…,XK(fj)]

(3)

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θI)]

(4)

S(fj)=[Si(fj),Si+1(fj),…,SI(fj)]

(5)

N(fj)=[Nk(fj),Nk+1(fj),…,NK(fj)]

(6)

式中,A(fj,θ)為陣列流型;a(fj,θi)為入射角為θi的信號在頻點fj處的導(dǎo)向矢量。

頻點fj處的陣列輸出信號自相關(guān)矩陣可表示為

R(fj,θ)=E[X(fj,θ)XH(fj,θ)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+δ2I

(7)

式中,Rs表示目標信號的自相關(guān)矩陣;E[·]表示求取數(shù)學(xué)期望;(·)H表示計算矩陣共軛轉(zhuǎn)置;I表示單位矩陣。

1.2 空間平滑處理

實際應(yīng)用中,由于其他空間環(huán)境存在多徑效應(yīng),輸出的信號自相關(guān)矩陣一般不滿秩,難以滿足后續(xù)DOA估計原理分析。因此,采用空間平滑算法首先對陣列接收信號自相關(guān)矩陣進行處理。

假設(shè)目標信號與L個多徑干擾信號相干,將陣元劃分若干子陣,子陣數(shù)為y,每個子陣的陣元數(shù)為h(h>L),則有

I=y+h-1

(8)

式中,I表示單位矩陣的維數(shù);y表示子陣數(shù),每個子陣的陣元數(shù)為h(h>L)?？芍?前向平滑協(xié)方差矩陣Rfs與后向平滑協(xié)方差矩陣Rbs可表示為

(9)

Rbs=JRfsJ

(10)

(11)

(12)

2 算法原理

(13)

P(fj,θ)=A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)

(14)

式中,P(fj,θ)為無噪聲信號自相關(guān)矩陣。P(fj,θ)為Hermitian矩陣,可酉相似于對角矩陣,因此可分解[22]為

P(fj,θ)=U(fj)M(fj)UH(fj)

(15)

式中,U(fj)為P(fj,θ)的特征向量矩陣,為酉矩陣;M(fj)為P(fj,θ)的特征值矩陣,為對角矩陣。那么,對于參考頻點f0,有

(16)

(17)

可知,各頻點對應(yīng)的信號自相關(guān)矩陣與無噪聲信號自相關(guān)矩陣具有相同的特征向量矩陣U(fj)。因此,特征向量矩陣U(fj)可由信號自相關(guān)矩陣[22-23]分解得到。

考慮不同頻點處信號自相關(guān)矩陣的特征向量空間過渡矩陣T,有

TjU(fj)=U0

(18)

則有

Tj=U0UH(fj)

(19)

可知,T為酉矩陣。

以參考頻點f0處的陣列輸出信號無噪聲自相關(guān)矩陣P(f0,θ)為參考聚焦矩陣,構(gòu)造聚焦矩陣Gj。

(20)

以Gj作為頻點fj處無噪聲信號自相關(guān)矩陣的聚焦矩陣,下面證明矩陣Gj的完美聚焦性。

首先,對于矩陣Gj滿足

(21)

由式(21)可知,Gj為酉矩陣,因此聚焦變換不會改變陣列輸出信噪比,不會引起噪聲模型空間統(tǒng)計特性的變化,沒有能量損失,對相干信號子空間方法的分辨性能無影響[24]。

再則,完美聚焦需滿足的條件為[25]

(22)

將式(20)代入式(22),等號左邊可轉(zhuǎn)化為

(23)

式中,tr(·)表示矩陣的跡;矩陣B表示為

B=M0-TM(fj)TH

(24)

由矩陣分析理論知,矩陣的跡等于矩陣所有特征值之和,因此式(23)可轉(zhuǎn)化為

(25)

式中,REJ(·)表示對矩陣對角線元素進行求和。對于參考頻率f0及其他頻率fj來說,其陣列無噪聲輸出自相關(guān)矩陣的特征向量構(gòu)成了特征向量空間的一組標準正交基,矩陣Tj可理解為不同標準正交基之間的過渡矩陣,而矩陣M是無噪聲自相關(guān)矩陣在特征向量空間上的系數(shù)矩陣,則有

(26)

因此,有

(27)

由上述推導(dǎo)過程可知,聚焦矩陣Gj能夠有效地將帶寬內(nèi)的信號能量聚焦至參考頻率處的子空間上,實現(xiàn)完美聚焦。

以特征向量空間過渡矩陣為基礎(chǔ)構(gòu)造聚焦矩陣,參考聚焦矩陣為參考頻點處的無噪聲信號自相關(guān)矩陣,從實質(zhì)上講,是對特征向量空間的聚焦。由于信號自相關(guān)矩陣與無噪聲信號自相關(guān)矩陣具備相同的特征向量空間,因此聚焦矩陣的求取過程中只需要對接收信號自相關(guān)矩陣進行特征分解即可。

經(jīng)過聚焦及平滑處理后的信號自相關(guān)矩陣如下：

(28)

(29)

式中,Un為噪聲子空間。

因此,算法實現(xiàn)步驟如下:

步驟 1對采集到的陣列輸出信號快拍數(shù)據(jù)進行DFT處理,求取R(fj,θ);

步驟 5按照式(29)求取空間譜函數(shù),搜索空間譜峰值估計DOA。

3 仿真分析

本節(jié)將本文提出的基于特征向量空間聚焦的寬帶DOA估計(簡記為DEESF)算法與TCT算法、文獻[18]算法和DCF算法進行比較分析,對比各種算法測向精度、分辨能力、穩(wěn)健性及復(fù)雜度特性。文獻[18]算法中約束參數(shù)取值范圍為1.3～1.7,約束經(jīng)驗值取0.5。

3.1 基本仿真參數(shù)

陣列雷達采用一維均勻線陣,陣元數(shù)為8,工作帶寬覆蓋X波段(8～12 GHz),信號帶寬為500 MHz,采樣頻率為2.4 GHz,陣元間距為2.5 cm,噪聲為不相關(guān)的空間白噪聲。TCT算法需要對采樣數(shù)據(jù)進行分段,將采樣數(shù)據(jù)分為25段,每段包含28次數(shù)據(jù)快拍。

3.2 算法測向精度比較

仿真條件:信號環(huán)境設(shè)定兩個相干信號入射至陣列,入射角度θ=[-10°,20°]。信噪比范圍設(shè)定為-15～10 dB。對4種DOA估計方法進行500次蒙特卡羅仿真,統(tǒng)計其空間譜特性進行比較分析,仿真結(jié)果如1所示。

圖1 算法空間譜分析Fig.1 Analysis of algorithm spatial spectrum

圖1是其中一次運算得到的歸一化結(jié)果。從圖1可以看出,入射信號相干條件下,TCT算法受方位預(yù)估精度影響較大,測向精度較差;文獻[18]算法及DCF算法測向精度稍高;DEESF算法較優(yōu),測向精度較好。

3.3 算法分辨能力比較

仿真條件:空間環(huán)境中設(shè)定兩個相干信號入射至陣列,信噪比為-15 dB。輻射源信號入射角度間隔分別設(shè)為Δθ=[2°,5°,10°,20°],即入射角θ為

θ={(θ1,θ2)}=
{(-1°,1°),(-3°,2°),(-5°,5°),(-10°,10°)}

(30)

對4種DOA估計方法分別進行200次蒙特卡羅仿真實驗,統(tǒng)計4種算法的平均分辨率η。本節(jié)仿真對分辨率η的定義如下：

(31)

η值越大,說明算法的分辨率越高。其中,Qmin的計算式如下：

Qmin=min[Q(θ)],θ∈[θ1,θ2]

(32)

對算法進行200次蒙特卡羅實驗,統(tǒng)計平均值如表1所示。

表1 算法分辨能力比較

橫向比較表格數(shù)據(jù),兩輻射源信號入射角度的間隔越大,則各算法的角度分辨率越高;縱向比較發(fā)現(xiàn),相同的入射信號環(huán)境下,TCT算法與DCF算法的分辨率相對較低;文獻[18]算法的分辨率相較DCF算法及TCT算法稍好,DEESF算法的分辨率最高。

3.4 算法穩(wěn)健性分析

本節(jié)對各算法性能的穩(wěn)健性比較分析,主要包括估計成功率、估計方差、快拍數(shù)等。

仿真條件:參數(shù)設(shè)置同第3.2節(jié)。估計成功的標準為單次估計誤差小于1.5°;在估計成功率與估計方差的分析中,在快拍數(shù)取500;在快拍數(shù)影響分析中,信噪比取-5 dB;仿真結(jié)果均為取500次蒙特卡羅實驗的平均值。其中,估計方差是對所有估計成功實驗的統(tǒng)計。仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。從圖2可以看出,文獻[18]算法估計成功率高于DCF算法及TCT算法,但均不及DEESF算法;低信噪比條件下,DCF算法及TCT算法估計成功率較差,DEESF算法表現(xiàn)較好。從圖3可以看出,TCT算法的整體估計誤差較大,DEESF算法的估計誤差最小。從圖4看出,同樣快拍數(shù)條件下,TCT算法性能低于其他3種算法;低快拍數(shù)條件下,文獻[18]算法與DEESF算法表現(xiàn)較好。因此,相同的信噪比與快拍數(shù)條件下,DEESF算法能夠獲得更高的估計精度。

圖2 不同算法DOA估計成功率比較Fig.2 Comparison of DOA estimation success rate of different algorithms

圖3 不同算法DOA估計方差比較Fig.3 Comparison of DOA estimation variance of different algorithms

圖4 快拍數(shù)對不同算法估計精度的影響Fig.4 Influence of snapshots number on the estimation accuracy of different algorithms

3.5 算法復(fù)雜度分析

仿真環(huán)境設(shè)置為:信噪比為-5 dB,快拍數(shù)取300,設(shè)定兩種仿真情形,即θ=[0°,15°]和θ=[-17°,0°,20°]。仿真平臺為Matlab 2014a,運行于聯(lián)想P1移動工作站,進行500次蒙特卡羅實驗,求取算法平均運行時間,結(jié)果如表2所示。從表2數(shù)據(jù)可以看出,DEESF算法的運算時間最低,算法復(fù)雜度較低,實用性較好。

表2 算法運行時間比較

4 樣機試驗

外場試驗采用平臺為一維數(shù)字陣列雷達,天線陣元數(shù)為8,數(shù)字采樣頻率為1.2 GHz,接收通道數(shù)為8。外場試驗場地在青島靈山島。

試驗條件:外場放置兩個寬帶輻射源,以靜態(tài)天線軸向為中心線,輻射源方位部署為-2°及7.5°。單次采集試驗結(jié)果如表3所示。

表3 單次采集試驗結(jié)果

從試驗結(jié)果看,數(shù)字陣列雷達平臺對于-2°方向輻射源的DOA測量數(shù)據(jù)為-2.2°,偏差0.2°的測量結(jié)果較為準確;對于7.5°方向輻射源的DOA測量數(shù)據(jù)為7.54°,偏差0.04°。因此,總體來看,DEESF算法的DOA分辨能力較好,實用性較強。

5 結(jié) 論

針對寬帶DOA估計需要預(yù)估方位角、實際應(yīng)用精度受多徑干擾等影響的問題,本文提出基于特征向量空間聚焦的DEESF寬帶陣列DOA估計方法。算法的基本思想是以平滑自相關(guān)矩陣替代陣列接收信號自相關(guān)矩陣,對自相關(guān)矩陣進行特征分解,選取參考頻點處的無噪聲自相關(guān)矩陣作為聚焦參考,以特征向量空間之間的過渡性為基礎(chǔ)構(gòu)造聚焦矩陣,證明其完美聚焦性,以此得到寬帶陣列平均自相關(guān)矩陣,并采用子空間類方法進行DOA估計。DEESF算法克服了傳統(tǒng)寬帶陣列DOA估計方法需要估計DOA初值的缺點，并考慮了實際應(yīng)用中多徑效應(yīng)的影響。仿真結(jié)果表明,與TCT算法、文獻[18]算法及DCF算法相比,DEESF算法分辨率高、復(fù)雜度低、實用性較好。但DEESF算法主要針對陣列噪聲為高斯白噪聲場景,后續(xù)工作重點將是色噪聲下的算法改進及應(yīng)用研究。