Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的緊性及譜

林慶澤

（中山大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

用H(Δ)表示復(fù)平面單位圓盤(pán)Δ:={z:|z|＜1}上所有解析函數(shù)f所組成的函數(shù)空間。當(dāng)1 ≤p＜∞時(shí)，用Hp表示復(fù)平面單位圓盤(pán)Δ上所有滿足

當(dāng)g(z)≡z時(shí)，左邊的廣義積分算子就成為經(jīng)典Volterra積分算子Tz，這個(gè)廣義積分算子是在積分方程的研究過(guò)程中引進(jìn)的一個(gè)非常重要的線性算子。Pommerenke在70年代左右研究BMOA函數(shù)的增長(zhǎng)性時(shí)首次引進(jìn)了本文所要研究的一般型的算子Tg，同時(shí)證明了Tg算子在H2空間上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)g∈BMOA，即g是Δ上的具有有界均值振蕩的解析函數(shù)[2]。在Pommerenke的工作的基礎(chǔ)上，Aleman等人將其結(jié)論推廣至覆蓋0 ＜p＜∞范圍的Hardy 空間Hp(0 ＜p＜∞)以及Bergman 空間Ap(0 ＜p＜∞)上，同時(shí)考慮了緊性等相關(guān)的一些問(wèn)題[3-5]。之后，關(guān)于Tg和Sg算子的有界性和緊性等問(wèn)題的研究一直是算子理論與復(fù)分析交叉方向的一個(gè)非常重要的研究?jī)?nèi)容，其中，文獻(xiàn)[6]在深入地研究了新型Qp函數(shù)空間上的Carleson測(cè)度問(wèn)題的同時(shí)，刻畫(huà)了該空間上的Tg算子的有界性等一些相關(guān)的基本性質(zhì)，是一件非常值得注意的研究工作。

1 Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的緊性

由泛函分析中的基本定義[9]可知，線性算子T從Banach 空間X到Banach 空間Y上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于Banach空間X中的任一有界集E，T(E)?Y也是一個(gè)有界集，此時(shí)，記T∈B(X→Y)；另一方面，線性算子T從Banach空間X到Banach空間Y上是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于Banach空間X中的任一有界集E，T(E)?Y在空間Y內(nèi)的閉包是緊的，同樣地，記X到Y(jié)上的所有緊算子的集合為B0(X→Y)。

引理1[8]若1 ≤p＜∞，Tg∈B(Sp→Sp)當(dāng)且僅當(dāng)g∈Sp。

引理2[8]若1 ≤p＜∞，Sg∈B(Sp→Sp)當(dāng)且僅當(dāng)g∈H∞。

定理1 若1 ≤p＜∞，Tg∈B0(Sp→Sp)當(dāng)且僅當(dāng)g∈Sp。

證明 若g∈Sp，則由引理1 可知，Tg∈B(Sp→Sp)。 因?yàn)間∈Sp，所以g'∈Hp，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知Mg':Sp→Hp是緊的。由于Tz是Hp空間到Sp空間上的有界線性算子且Tg=TzMg'，因此Tg∈B0(Sp→Sp)。

反過(guò)來(lái)，若Tg∈B0(Sp→Sp)，則Tg∈B(Sp→Sp)，因此由引理1可知g∈Sp，證畢。

由引理1和定理1可知，當(dāng)1 ≤p＜∞時(shí)，Tg∈B(Sp→Sp)與Tg∈B0(Sp→Sp)是等價(jià)的。

定理2 若1 ≤p＜∞，則Sg∈B0(Sp→Sp)當(dāng)且僅當(dāng)g= 0。

故g= 0，證畢。

2 Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的譜

這一節(jié)主要刻畫(huà)Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的譜，關(guān)于譜的相關(guān)基本知識(shí)可參考文獻(xiàn)[9]。

定理3 令1 ≤p＜∞，若Tg∈B(Sp→Sp)，則Tg的譜是σ(Tg)={0}。

證明 由引理1和定理1可知，Tg∈B(Sp→Sp)與Tg∈B0(Sp→Sp)是等價(jià)的，由Tg的定義可知，Tg不存在非零的特征值，因此由緊算子的譜定理[9]可知，σ(Tg)={0}，證畢。