色噪聲下基于差分聚焦的寬帶DOA估計(jì)方法

曹司磊，曾維貴，王 磊

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

波達(dá)方向(direction-of-arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的重要內(nèi)容，在雷達(dá)、通信及醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.空間譜方法是DOA估計(jì)的經(jīng)典方法，如多信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification,MUSIC)方法、旋轉(zhuǎn)子空間不變(estimating signal parameter via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法等.但是，傳統(tǒng)的空間譜方法一般假設(shè)空間噪聲為高斯均勻白噪聲.在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)陣列信號(hào)處理中面臨色噪聲環(huán)境.因此，有學(xué)者提出了色噪聲環(huán)境下的陣列DOA估計(jì)改進(jìn)方法，主要可分為3類(lèi)：參數(shù)化方法[1]、四階累積量算法[2-3]及協(xié)方差矩陣差分法[4-5].參數(shù)化方法一般需要預(yù)先知道噪聲協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)特征，以此來(lái)進(jìn)行預(yù)白化處理；四階累積量算法通過(guò)構(gòu)造觀測(cè)信號(hào)的四階累積量來(lái)消除非高斯色噪聲影響；協(xié)方差差分法一般假設(shè)色噪聲協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)，并通過(guò)將觀測(cè)信號(hào)協(xié)方差矩陣與線性變換后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分處理來(lái)消除色噪聲影響.

上述針對(duì)色噪聲環(huán)境下DOA估計(jì)算法的大多數(shù)只適用于窄帶陣列，在寬帶陣列中的使用受限.目前，寬帶DOA估計(jì)主要解決途徑有：基于頻率分解的非相干信號(hào)子空間方法[6-7](incoherent signal subspace method, ISSM)及基于頻率聚焦的相干信號(hào)子空間方法[8-10](coherent signal subspace method,CSSM).ISSM方法對(duì)信噪比要求較高，低信噪比條件下性能急劇下降；CSSM方法在低信噪比條件下性能優(yōu)于ISSM方法，但存在的問(wèn)題是需要預(yù)估或者假設(shè)信號(hào)角度，以此來(lái)構(gòu)建信號(hào)子空間，這種角度估計(jì)會(huì)導(dǎo)致聚焦矩陣出現(xiàn)偏差，最終導(dǎo)致DOA估計(jì)誤差.為避免CSSM方法中角度預(yù)估帶來(lái)的失配誤差，有學(xué)者提出了改進(jìn)算法.文獻(xiàn)[11]提出基于頻域時(shí)延補(bǔ)償?shù)腄OA估計(jì)方法(DCF)，避免了角度預(yù)估的問(wèn)題，但是算法復(fù)雜度較高，用于實(shí)時(shí)陣列信號(hào)處理難度較大.文獻(xiàn)[12]提出使用陣列自相關(guān)矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，避免了角度預(yù)估帶來(lái)的誤差，但是算法的估計(jì)性能有所下降.

結(jié)合來(lái)看，對(duì)于色噪聲下的寬帶陣列DOA估計(jì)問(wèn)題，研究者提出解決一些方法.文獻(xiàn)[13]提出一種低復(fù)雜度寬帶色噪聲DOA估計(jì)方法，利用空間差分技術(shù)去除Toeplitz結(jié)構(gòu)的色噪聲，然后通過(guò)RSS方法計(jì)算通用協(xié)方差矩陣，最后應(yīng)用低復(fù)雜度的PM算法估計(jì)信號(hào)DOA；但是該算法對(duì)信源數(shù)較為敏感.文獻(xiàn)[14]提出了一種基于數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣修正及TOPS算法相結(jié)合的寬帶DOA估計(jì)方法(data covariance matrix correction with TOPS algorithm for DOA estimation, DCT-DE)，利用特殊構(gòu)造矩陣將色噪聲協(xié)方差矩陣從數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中剔除，然后利用平方TOPS算法實(shí)現(xiàn)寬帶DOA估計(jì).文獻(xiàn)[15]提出基于FOCUSS的網(wǎng)格角度求解算法(MMV-FOCUSS)，通過(guò)差分算法去除色噪聲影響并構(gòu)建新觀測(cè)模型，采用分布優(yōu)化的方式進(jìn)行DOA估計(jì)，但是算法復(fù)雜度較高.

針對(duì)色噪聲背景下寬帶DOA估計(jì)存在的上述問(wèn)題，本文提出基于差分聚焦的寬帶陣列DOA估計(jì)方法.算法首先對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分處理，消除色噪聲影響；然后對(duì)差分矩陣進(jìn)行特征分解，以差分矩陣正特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間為基礎(chǔ)重構(gòu)觀測(cè)信號(hào)模型；在此基礎(chǔ)上，分析了無(wú)需角度預(yù)估的特征向量空間聚焦DOA估計(jì)原理，并對(duì)特征向量矩陣進(jìn)行重新分塊排列，簡(jiǎn)化重構(gòu)聚焦矩陣.理論分析及仿真結(jié)果表明，本文算法估計(jì)精度及穩(wěn)健性較好，且不需角度預(yù)估、復(fù)雜度低.

1 陣列信號(hào)模型

陣列排布為一維線陣，陣元數(shù)為K，陣元間距為d.空間中有I個(gè)寬帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)s(t)=[s1(t),…,sI(t)]入射至陣列，且信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立，入射角為θ=[θ1,…,θI]，則第k個(gè)陣元輸出信號(hào)xk(t)可以表征為

式中,τk,i為信號(hào)si(t)在第k個(gè)陣元相對(duì)于首個(gè)陣元的接收時(shí)延；nk(t)為第k個(gè)陣元接收非均勻噪聲矢量，并假設(shè)空間噪聲場(chǎng)為各向同性圓形或柱形場(chǎng).

將足夠長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)陣列接收到的信號(hào)分割成若干獨(dú)立快拍，對(duì)每個(gè)快拍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)，得到J個(gè)頻域窄帶信號(hào).寬帶陣列接收信號(hào)的頻域表示形式如下:

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,…,J;

X(fj)=[Xk(fj),…,XK(fj)];

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),…,a(fj,θI)];

S(fj)=[Si(fj),…,SI(fj)];

N(fj)=[Nk(fj),…,NK(fj)].

式中,A(fj,θ)為頻點(diǎn)fj處的陣列流形；a(fj,θi)為入射角為θi的信號(hào)在頻點(diǎn)fj的方位導(dǎo)向矢量.

頻點(diǎn)fj處的陣列輸出信號(hào)自相關(guān)矩陣可表示為

R(fj,θ)=E[X(fj,θ)XH(fj,θ)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+
E[N(fj)NH(fj)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+QN.

式中QN表示噪聲信號(hào)協(xié)方差矩陣.高斯相關(guān)色噪聲協(xié)方差矩陣QN的第(n1,n2)個(gè)元素為[16]

QN(n1,n2)=σ2γ|n1-n2|e|jpi(n1-n2)/2|.

式中σ2為噪聲功率，用于調(diào)整信噪比參數(shù)；γ為回歸系數(shù)，用于調(diào)整噪聲相干性.

2 協(xié)方差矩陣差分理論

由于假設(shè)空間噪聲場(chǎng)為同性圓形或柱形場(chǎng)，因此色噪聲信號(hào)協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)[4].可知，噪聲協(xié)方差矩陣分量旋轉(zhuǎn)不變，有

QN=ΦQNΦ.

式中Φ表示轉(zhuǎn)置矩陣.

對(duì)協(xié)方差矩陣變化前后求差得到

(1)

從上式可以看出，在差分協(xié)方差矩陣ΔR中，噪聲分量已被消除.對(duì)[A,ΦA(chǔ)]進(jìn)行分解，有

(2)

其中(·)*表示矩陣共軛.將式(2)代入式(1)中，可得

從上式可以看出，A對(duì)應(yīng)信源入射真實(shí)角度，而A*則對(duì)應(yīng)信源入射負(fù)角度.因此，利用ΔR進(jìn)行DOA估計(jì)的過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)偽峰.

3 DOA估計(jì)方法

3.1 差分協(xié)方差矩陣特征分解

針對(duì)協(xié)方差矩陣差分過(guò)程導(dǎo)致的偽峰問(wèn)題，本文對(duì)差分矩陣ΔR進(jìn)行特征分解，取正特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間作為DOA估計(jì)基礎(chǔ)，有

ΔR=UΛUH=[U+,Un,U-]Λ[U+,Un,U-].

式中：U+是由I個(gè)正特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的特征矩陣；Un對(duì)應(yīng)噪聲子空間；U-是由N個(gè)負(fù)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的特征矩陣；Λ可分別表示為

從上述分析知，U+可張成導(dǎo)向矢量A，因此可建立新的觀測(cè)模型如下：

U+=Aq+ε.

式中：q為新觀測(cè)模型對(duì)應(yīng)的信號(hào)矩陣；ε為新觀測(cè)模型對(duì)應(yīng)的噪聲分量.新的觀測(cè)模型經(jīng)過(guò)差分分解處理后，不再含有色噪聲分量，同時(shí)包含了全部目標(biāo)方位信息，可較好用于寬帶DOA估計(jì).

3.2 DOA估計(jì)方法

3.2.1 DOA估計(jì)基本原理

在構(gòu)建新的觀測(cè)模型基礎(chǔ)上，本文提出特征向量信號(hào)子空間聚焦的方法進(jìn)行寬帶DOA估計(jì).

首先，對(duì)于新的觀測(cè)模型，信號(hào)自相關(guān)矩陣R+可表示為

(3)

其中P表示無(wú)噪聲信號(hào)自相關(guān)矩陣.P為Hermitian矩陣，因此可酉相似于對(duì)角矩陣，表示為

P=VMVH.

本文以子空間Γj為聚焦空間，設(shè)定參考聚焦矩陣Ψ0，則有

(4)

式中Ω為參考聚焦矩陣Ψ0在聚焦空間Γj中的系數(shù)矩陣.聚焦矩陣為T(mén)，則T滿足

按照文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)，有

(5)

式中ξ為參考聚焦矩陣Ψ0的特征向量矩陣.若要實(shí)現(xiàn)完美聚焦，則應(yīng)有

上式可化為

(6)

式中,V0及Vj分別為頻點(diǎn)f0及fj處的特征向量矩陣.觀察式(6)，為了方便計(jì)算合并，令

式中W為未知矩陣.則式(6)可進(jìn)一步化為

式中B=Ω-WMjWH.由矩陣的范數(shù)特性可將上式進(jìn)一步化為

(7)

可知，W為酉矩陣，Mj為對(duì)角矩陣，則WMjWH亦為對(duì)角矩陣.因此，若要式(7)為0，可行解之一為

式中Ω為對(duì)角矩陣.對(duì)照式(4)，可知V0即為參考聚焦矩陣Ψ0的特征向量矩陣.因此，根據(jù)式(5)，有

3.2.2 聚焦矩陣重構(gòu)

為避免特征分解過(guò)程中零特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)分辨門(mén)限的影響，對(duì)聚焦矩陣進(jìn)行重構(gòu).目標(biāo)信號(hào)的方位區(qū)間為β，對(duì)區(qū)間范圍內(nèi)按角度間隔進(jìn)行功率譜積分可得

(8)

對(duì)Π(fj)進(jìn)行特征值分解，得出其顯著特征值個(gè)數(shù)ρ(即為信號(hào)數(shù)).

將V0及Vj按照對(duì)應(yīng)特征值遞減的順序進(jìn)行重新排列，表示為

式中V′0、V′j為K*ρ矩陣，即是由信號(hào)協(xié)方差矩陣特征分解后前ρ個(gè)顯著特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成.Vj為酉矩陣，則可知

(V″j)HA(fj)=AH(fj)V″j=0.

因此，

V′0(V′j)HPjV′j(V′0)H.

可得重構(gòu)后的聚焦矩陣

(9)

從上式看出，重構(gòu)后的聚焦矩陣避免了協(xié)方差分解過(guò)程中非顯著特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，提高了算法在整個(gè)信噪比范圍內(nèi)的適應(yīng)能力及分辨性能.

(10)

3.3 算法實(shí)現(xiàn)步驟

綜上，本文算法步驟總結(jié)為：

1)將陣列接收信號(hào)分割為獨(dú)立快拍片段，進(jìn)行DFT處理，計(jì)算各頻點(diǎn)處的陣列輸出信號(hào)自相關(guān)矩陣R(fj,θ)；

2)根據(jù)式(1)計(jì)算差分協(xié)方差矩陣ΔR(fj,θ)，并對(duì)其進(jìn)行特征分解得U+；

3)按照式(3) 求取R+(fj)，對(duì)R+(fj)進(jìn)行特征分解，得V0與Vj；

4)按照式(8)求取Π(fj)，對(duì)Π(fj)進(jìn)行特征分解，得ρ；

4 仿真分析

本小節(jié)通過(guò)仿真比較實(shí)驗(yàn)，分析本文所提算法的測(cè)向準(zhǔn)確性、角分辨能力、算法穩(wěn)健性及復(fù)雜度特性.基本仿真參數(shù)為：陣元數(shù)為8，工作帶寬覆蓋X波段(8～12 GHz)，信號(hào)帶寬500 MHz，采樣頻率為2.4 GHz，陣元間距為2.5 cm.仿真實(shí)驗(yàn)將本文算法與DCT-DE算法、MMV-FOCUSS算法及文獻(xiàn)[13]算法進(jìn)行比較分析.其中，MMV-FOCUSS算法的網(wǎng)格間距取1°.

4.1 噪聲背景下算法的測(cè)向精確性比較

在高斯白噪聲與高斯色噪聲背景下，仿真比較本文算法與另外3種算法在不同噪聲背景下的測(cè)向準(zhǔn)確性.仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定2個(gè)獨(dú)立的寬帶輻射源，入射角度分別為-10°及20°，算法采用快拍數(shù)為200，白噪聲信噪比設(shè)定為5 dB，色噪聲信噪比設(shè)定為5 dB.4種算法的空間譜見(jiàn)圖1、2.

圖1 高斯白噪聲下空間譜

圖2 高斯色噪聲下空間譜

從圖1看出，白噪聲背景下本文算法、MMV-FOCUSS算法、DCT-DE算法及文獻(xiàn)[13]算法均具備較好的DOA估計(jì)性能.從圖2看出，高斯色噪聲背景下，文獻(xiàn)[13]算法及DCT-DE算法譜峰出現(xiàn)較大偏差，MMV-FOCUSS算法測(cè)向精度稍好，但估計(jì)方差仍在2°以上，而本文算法保持較好的估計(jì)性能，測(cè)向精度較高.

4.2 噪聲背景下算法的分辨能力比較

本次仿真實(shí)驗(yàn)主要比較本文算法與其他3種算法在高斯色噪聲背景下的角度分辨能力.仿真條件為：空間環(huán)境中設(shè)定兩個(gè)獨(dú)立的等功率輻射源，快拍數(shù)為500，噪聲參數(shù)同上.入射角度間隔Δθ分別設(shè)定為Δθ=[2°,4°,8°,15°]，即入射角度θ為

θ=[(θ1,θ2)]=

[(-1°,1°),(-2°,2°),(-4°,4°),(-7°,8°)].

仿真實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)200次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)各類(lèi)算法的平均分辨能力，比較分析4種算法在色噪聲背景下的角度分辨性能.本文對(duì)角度分辨率η的定義為

Qmin=min[Q(θ)],θ∈[θ1,θ2].

可知，η代表兩譜峰與峰間谷值之間的平均差，η越高，表示分辨能力越強(qiáng).統(tǒng)計(jì)4種算法的平均分辨率見(jiàn)表1.

表1 算法分辨能力比較

從表1看出，橫向比較表格數(shù)據(jù)，兩輻射源信號(hào)入射角度的間隔越大，則各算法的角度分辨率越高；縱向比較發(fā)現(xiàn)，相同的空間色噪聲環(huán)境下，本文算法的角度分辨能力相較于MMV-FOCUSS及DCT-DE等算法更好.

4.3 算法穩(wěn)健性分析

本節(jié)對(duì)4種算法的穩(wěn)健性進(jìn)行仿真分析，主要包括估計(jì)方差及快拍數(shù)影響等.仿真實(shí)驗(yàn)中，單次估計(jì)誤差<3°認(rèn)為是有效實(shí)驗(yàn)，而估計(jì)方差及快拍數(shù)影響是對(duì)所有有效實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì).快拍數(shù)影響分析實(shí)驗(yàn)中，信噪比取5 dB.背景噪聲為高斯色噪聲，參數(shù)不變.仿真結(jié)果為200次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)平均.

從圖3看出，色噪聲背景下，隨著輸入信噪比的不斷提高，本文算法與MMV-FOCUSS始終保持較好的估計(jì)性能；而文獻(xiàn)[13]算法在低信噪比條件下的估計(jì)性能較差.從圖4看出，隨著快拍數(shù)的提升，文獻(xiàn)[13]算法的性能提升較大，但總體性能差于本文算法及MMV-FOCUSS算法；在仿真所取的快拍數(shù)范圍內(nèi)，本文算法性能始終優(yōu)于其他算法.

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖4 均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

4.4 算法復(fù)雜度分析

仿真條件設(shè)置為：設(shè)定兩輻射源入射場(chǎng)景及三輻射源入射場(chǎng)景，入射角度分別為θ=[0°,10°]及θ=[-10°,0°,10°]，快拍數(shù)取200，信噪比取5 dB.仿真平臺(tái)為MATLAB 2014a，運(yùn)行于聯(lián)想P1移動(dòng)工作站，進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，求取算法平均運(yùn)行時(shí)間，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 算法運(yùn)行時(shí)間比較

分析表2，本文算法的運(yùn)行時(shí)間最短，MMV-FOCUSS算法的運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，而文獻(xiàn)[13]算法與DCT_DE算法運(yùn)行時(shí)間相當(dāng).從算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程看，MMV-FOCUSS算法需要在每個(gè)角度間隔內(nèi)進(jìn)行迭代運(yùn)算，造成的計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[13]算法在估計(jì)單頻點(diǎn)參考聚焦矩陣的過(guò)程中，需要進(jìn)行2次矩陣逆運(yùn)算及4次矩陣乘法；DCT-DE算法需要進(jìn)行3次特征值分解及2次矩陣乘法；本文算法需要進(jìn)行3次特征值分解及1次矩陣乘法.因此，本文算法的運(yùn)算復(fù)雜度相對(duì)較小.

5 結(jié) 論

針對(duì)色噪聲背景下寬帶陣列DOA估計(jì)精度差及穩(wěn)健性不足的問(wèn)題，本文提出基于差分聚焦的寬帶陣列DOA估計(jì)方法.利用信號(hào)自相關(guān)矩陣差分去除色噪聲影響并以其正特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間為基礎(chǔ)構(gòu)建新的觀測(cè)模型；通過(guò)對(duì)新模型信號(hào)協(xié)方差矩陣特征向量子空間的分析，提出無(wú)需角度預(yù)估的聚焦矩陣計(jì)算方法.理論分析及仿真實(shí)驗(yàn)證明，色噪聲背景下，本文方法相較于對(duì)比算法具有更好的估計(jì)精度及分辨率，且算法穩(wěn)健性好、復(fù)雜度低.