齊次可微函數(shù)的對角遞減性與一類不等式的證明

姚 勇，王挽瀾，秦小林

(1.中國科學(xué)院成都計算機應(yīng)用研究所，四川 成都 610041；2.成都大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610106)

首先來看一個不等式的例子

例1：設(shè)n是正整數(shù)，證明對任意兩兩不等的非負(fù)實數(shù)a，b，c都有

證明:考慮函數(shù)

引進參數(shù)t，從對稱性、兩兩不等且和非負(fù)，可設(shè)a＞b＞c≥t≥0.考慮t的函數(shù)

我們要證明g(t)是一個單調(diào)減函數(shù).對g(t)求導(dǎo)數(shù)(注意到g(t)的分母中不含有t，容易求導(dǎo)數(shù))，獲得

對g′(t)再求一次導(dǎo)數(shù)(這里求導(dǎo)依然是簡單的)，得到

因為a＞b＞c≥t≥0，我們有g(shù)″(t)≥0.因此，g′(t)是單調(diào)增函數(shù)。記顯然A＞0.于是得到

從g′(t)≤0推出g(t)是一個單調(diào)減函數(shù).因此，我們有

最后只需證明f(a-c，b-c，0)≥0.也就是要證f(a，b，0)≥0.換言之

這是一個熟知的不等式.它等價于

使用算術(shù)-幾何平均不等式有

兩式相加除以( 4n+1)即證得不等式(2).

這樣我們就完成了不等式(1)的證明.

上面的例子顯示了函數(shù)f的一個特性:它關(guān)于變元t是單調(diào)遞減的.這個特性我們稱之為對角遞減性.類似例1這樣的例子并不是罕見的，事實上有較大的一類函數(shù)具有這種屬性，可參考文獻[1-6].本文中我們將對這類函數(shù)作相對深入的研究.

注釋1例1中n=1的情況屬于四川師范大學(xué)李昌勇.

注釋2書[3]中闡述了與例1中類似的方法，稱為全導(dǎo)數(shù)方法.書中也僅僅是使用該方法去證明不等式，并未對方法本身加以研究.

現(xiàn)在，來正式引入對角遞減性的概念.

定義1：令x=(x1，…，xn)，實空間Rn中第一卦限記為(不含原點)，即

齊次函數(shù)f(x)如果滿足對任意的點x都有

其中0≤t≤min{x1，…，xn}，則稱函數(shù)f(x)在上具有對角遞減性.

對角遞減性有一個幾何解釋.在空間Rn中給定單位立方體In=[0，1]n，點P=(1，…，1)是立方體的一個頂點，連接立方體的對角線PO，獲得向量對每一個給定的點函數(shù)f(x)沿著平行于向量的方向趨向坐標(biāo)面，f(x)的值是單調(diào)減少的，見圖1.

圖1 對角遞減性的幾何解釋Fig.1 The geometrical interpretation of the diagonal decreasing property

定義2：齊次函數(shù)f(x)如果對任意的點都有f(x)≥0則稱為在上是非負(fù)的，簡稱非負(fù)的.如果滿足則稱為嚴(yán)格正的.對角遞減函數(shù)被應(yīng)用于證明許多的不等式.但對角遞減函數(shù)自身的研究甚少.本文將向這一方向前進一步，研究了對角遞減函數(shù)的初步性質(zhì).文中以下部分的內(nèi)容被組織為:第二節(jié)是對角遞減函數(shù)的基本性質(zhì).第三節(jié)研究了非負(fù)三元二次型中對角遞減函數(shù)出現(xiàn)的概率.它顯示了對角遞減函數(shù)的不足.為了彌補這一弱點，我們在第四節(jié)引入了分塊對角遞減函數(shù)的概念，理論結(jié)果是證明了嚴(yán)格正的齊次多項式函數(shù)，一定是分塊對角遞減函數(shù).也就是說分塊對角遞減函數(shù)在非負(fù)齊次多項式函數(shù)中是一個相當(dāng)大的類.最后是全文的總結(jié)以及未來工作的一些想法.

1 微分判別法與應(yīng)用基礎(chǔ)

下面的兩個簡單引理是定義1的直接結(jié)果.考慮到完整性，這里仍給出了證明.

引理1：設(shè)f(x)是定義在上的齊次可微函數(shù).記全導(dǎo)數(shù)

f(x)是對角遞減函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

證明：記

函數(shù)g(t)關(guān)于t單調(diào)減少是等價于

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t

作變量代換

并注意到0≤t≤min{x1，…，xn}，知

也就是

上面的過程是可逆的.所以我們同時證明了充分性和必要性.

引理1中沒有出現(xiàn)參數(shù)t，表明函數(shù)的對角遞減性是函數(shù)自身的屬性與參數(shù)t并沒有直接關(guān)系.對角遞減函數(shù)有如下的基本性質(zhì)，它是應(yīng)用的基礎(chǔ)

引理2：集合上的齊次函數(shù)f(x)是對角遞減函數(shù).則不等式

成立當(dāng)且僅當(dāng)

證明：必要性是明顯的.主要證明充分性

根據(jù)對角遞減函數(shù)的定義有

由于0≤t≤min{x1，…，xn}，不妨設(shè)x1=min{x1，…，xn}.于是

最后一個不等式是等價于

證明完成.

討論：f(x)|xi=0實際上只有n-1個變元.正如例1所顯示出的，要證明與對角遞減函數(shù)相關(guān)的不等式，將被歸結(jié)到證明至少有一個變量為0的情況，從而減少了變元數(shù)量.因此對角遞減函數(shù)可以起到降低維數(shù)的作用.

2 對角遞減的三元二次型

下面對最簡單的情況——三元二次型來估計對角遞減函數(shù)在非負(fù)三元二次型中所占的比例.令實二次型

其中A=(aij)是實對稱矩陣.計算f(x)的全導(dǎo)數(shù)得到

于是根據(jù)引理1，我們獲得

引理3：實二次型

f(x)是對角遞減函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對每一個i∈{1，2，…，n}都有

證明：由引理1和等式(4)立得.

下面來具體計算三元二次非負(fù)型集合中，對角遞減函數(shù)所占比例是多少.

第一步:規(guī)范化三階實對稱矩陣

對稱矩陣

所對應(yīng)的的三元二次型為

假定a11，a22，a33都是正實數(shù)(如果其中有一個是負(fù)數(shù)則三元二次型不是非負(fù)的)，考慮變換

于是

矩陣B具有如下形式

注意到

因此從矩陣A轉(zhuǎn)向矩陣B并沒有損失非負(fù)性.但是矩陣B要簡單很多.

引理4[7]:給定二次型

矩陣B具有(5)的形式.不等式

成立當(dāng)且僅當(dāng)

討論：注意到如果bij＞0，則條件bij+1≥0自然成立.因此我們只關(guān)注bij≤0的部分.于是假設(shè)

也就是將參數(shù)空間限制在一個立方體[-1，0]3中.

引理5：滿足不等式

的點(x，y，z)所圍成的立體的體積記為V1

證明:計算點集的邊界曲面，也就是解方程

求得(舍去立方體[-1，0]3外的一枝)

再解方程

得解(同樣舍去一個不合題意的解)

根據(jù)微積分方法，我們知道

引理6：給定二次型

矩陣B具有(5)的形式.并且假設(shè)

則g是對角遞減函數(shù)并且不等式

成立當(dāng)且僅當(dāng)

證明：直接由引理3和引理4得出.

引理7：滿足不等式

的點(x，y，z)所圍成的立體的體積記為V2

證明：由于條件都是線性約束，根據(jù)解析幾何的方法，滿足條件的點集(x，y，z)是一個凸多面體.求出它的頂點是

并且它是兩個四面體的并.這兩個四面體的頂點分別為

定理1：給定二次型

矩陣B具有(5)的形式.并且假設(shè)

則對角遞減函數(shù)在非負(fù)三元二次型中出現(xiàn)的概率是

證明：由引理5和引理7立得.

3 分塊對角遞減函數(shù)

從定理1可以看到對角遞減函數(shù)是相對較少的，在證明不等式時作用比較有限.我們將引入更強的分塊對角遞減函數(shù).

我們記標(biāo)準(zhǔn)單形

由點P1，…，Pk所張成的單形，記為[P1，…，Pk]

將標(biāo)準(zhǔn)單形分解為更小的單形，我們稱為單純剖分，如果小單形滿足下面兩個條件.

②任意兩個小單形內(nèi)部不相交，即j≠k時Int(Λj)∩Int(Λk)=φ.

如果將空間Rn的點用列向量表示，則小單形Λj的頂點坐標(biāo)對應(yīng)了一個列隨機矩陣，記為[Λj].矩陣[Λj]是不唯一的，它們相差一個列的置換.

這里要區(qū)別記號[P1，…，Pk]和[P1…Pk]

⊙[P1，…，Pk]表示由點P1，…，Pk所張成的單形.

⊙[P1…Pk]表示以P1，…，Pk為列的矩陣.

定義3：在Rn*+上的齊次可微函數(shù)f(x)，如果存在標(biāo)準(zhǔn)單形的單純剖分

使得對每個小單形Λj，f([Λj]x)都是對角遞減函數(shù)，則稱f(x)稱為分塊對角遞減函數(shù).

分塊對角遞減函數(shù)包含了較多的函數(shù).比如我們將證明下面兩個結(jié)果.

定理2：二元型

證明:根據(jù)實數(shù)域上單變量多項式的唯一因子分解定理，齊次多項式f(u，v)的不可約因子是一次或二次的.于是要證的結(jié)論明顯是下面引理8的推論.

引理8：二元二次型

證明：分兩種情況b≥0和b＜0.

1.如果b≥0，則根據(jù)引理1有r(u，v)是對角遞減函數(shù)，因為r(u，v)的全導(dǎo)數(shù)顯然是非負(fù)的.

2.如果b＜0，則其判別式需要滿足

我們將標(biāo)準(zhǔn)單形Δ2分解為兩個小單形Λ1和Λ2

定理3：齊次多項式f∈R[x]，如果

則f是分塊對角遞減函數(shù).

定理3的證明需要的一個關(guān)鍵引理.它來自文獻[8].

引理9[8]：齊次多項式f∈R[x]，如果

則存在正數(shù)ε，使得對任意直徑小于ε的單形Λ滿足f([Λ]x)的系數(shù)都是正數(shù).

證明：見文獻[8].

定理3的證明：一方面，如果多項式g的系數(shù)都是正實數(shù)，則顯然有

因為

的系數(shù)也都是正實數(shù).所以g是對角遞減函數(shù).

另一方面，根據(jù)引理9，存在正數(shù)ε，使得對任意直徑小于ε的單形Λ滿足f([Λ]x)的系數(shù)都是正數(shù).于是只需將標(biāo)準(zhǔn)單形Δn分解為直徑充分小的單形就可以了.也就是說只需證明存在Δn的單純剖分

滿足Λj的直徑都小于ε.這是可以做到的，比如使用重心剖分[9-10].

綜合上述兩方面，我們便證明了定理3.

討論：注意到在非負(fù)齊次多項式函數(shù)中嚴(yán)格正的齊次多項式函數(shù)出現(xiàn)的概率是1.這是因為非負(fù)齊次多項式在齊次多項式中是一個錐.這個錐被分為兩部分——邊界和內(nèi)部，內(nèi)部代表嚴(yán)格正的，而邊界則代表非負(fù)且非嚴(yán)格正的.熟知邊界的維數(shù)要低于內(nèi)部的維數(shù).于是隨機的取一個非負(fù)齊次多項式，它是嚴(yán)格正的齊次多項式的概率是1，也就是說它是分塊對角遞減函數(shù).這可以粗略地看到分塊對角遞減函數(shù)是相當(dāng)大的類.

4 總結(jié)與未來工作

本文中研究了對角遞減函數(shù)的基本性質(zhì)，計算出了非負(fù)三元二次型中對角遞減函數(shù)所占的比例.由此分析了對角遞減函數(shù)的不足.進一步引入了分塊對角遞減函數(shù)的新概念，并證明了齊次多項式如果是嚴(yán)格正的，則它一定是分塊對角遞減的.也就是分塊對角遞減函數(shù)是一個大類在非負(fù)齊次多項式集合當(dāng)中.

作為本文的結(jié)束，給出兩個自然的猜測.我們將在未來繼續(xù)研究.

猜想1：所有的在Δn上非負(fù)的二次型[11]都是分塊對角遞減函數(shù).

猜想2：所有的在Δn上嚴(yán)格正的齊次可微函數(shù)也都是分塊對角遞減函數(shù).

定理3是猜想2的特殊情況(齊次多項式).與對角遞減性相關(guān)的研究與應(yīng)用還可參考文獻[12-15].