基于諧響應(yīng)分析的燃機(jī)壓氣機(jī)動(dòng)葉片尾流激振響應(yīng)預(yù)估方法

楊博宇 張 玲 文豐艾 文豐茜

(1.東方電氣集團(tuán)東方汽輪機(jī)有限公司產(chǎn)品研發(fā)中心，四川618000；2.二重(德陽(yáng))重型裝備有限公司，四川618000；3.中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川610000；4.西南技術(shù)物理研究院，四川610000)

燃機(jī)軸流式壓氣機(jī)在正常工況下穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，因?yàn)楦矫鎸右约叭~片尾緣對(duì)空氣流場(chǎng)的影響，會(huì)導(dǎo)致靜葉柵出口處的空氣流動(dòng)速度出現(xiàn)虧損，如圖1所示。近年來(lái)軸流式壓氣機(jī)設(shè)計(jì)不斷緊湊化，使壓氣機(jī)各級(jí)靜葉柵、動(dòng)葉柵之間的軸向間距非常小，導(dǎo)致壓氣機(jī)靜葉柵出口處的空氣流速虧損在其分布的流場(chǎng)空間中來(lái)不及復(fù)原，最終產(chǎn)生明顯的流場(chǎng)周向畸變[1]。

圖1 壓氣機(jī)靜葉柵尾流示意圖Figure 1 Wake flow of compressor static cascade

1 葉片在非定常周期下的分析

如果不考慮靜葉柵葉片在生產(chǎn)加工以及裝配過(guò)程中產(chǎn)生的各種誤差，即認(rèn)為靜葉柵是理想均勻分布的，那么由靜葉柵尾流導(dǎo)致并施加于本級(jí)動(dòng)葉片的激振力是以葉輪轉(zhuǎn)角為自變量的周期函數(shù)[2]，葉輪每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)靜葉柵節(jié)距所對(duì)應(yīng)的圓心角，動(dòng)葉片上各點(diǎn)的激振應(yīng)力便循環(huán)變化一次。設(shè)K為組成靜葉柵的葉片總數(shù)，那么葉輪每旋轉(zhuǎn)一周，每支動(dòng)葉片將受到K次循環(huán)變化的尾流激振作用。

顯然，此時(shí)動(dòng)葉片表面的非定常周期激振力在一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)，即滿足狄利克雷收斂定理，可以進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，分解為定常激振力和各階諧振力，即：

(1)

式中，F(xiàn)為尾流激振力；F0為定常激振力；Fj為第j階諧振力幅值；φj為第j階諧振力相位角；K為靜葉柵葉片數(shù)；ω為壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子角頻率。

此外，為方便后續(xù)表述，令各階諧振力的圓頻率為Ω，即：

Ω=jKω(j=1，2，3…)

(2)

將定常激振力和各階諧振力分別作用于動(dòng)葉片表面時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)進(jìn)行線性疊加，即可求得靜葉柵尾流場(chǎng)引起的本級(jí)動(dòng)葉片激振所產(chǎn)生的總響應(yīng)。

以上分析僅針對(duì)軸流式壓氣機(jī)靜葉柵為理想均勻分布的情況，僅討論在此種情況下動(dòng)葉片葉身局部微面承受尾流激振力時(shí)動(dòng)葉片模型響應(yīng)的預(yù)估方法，并給出動(dòng)葉片模型在均勻靜葉柵尾流場(chǎng)中承受尾流激振力時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)的求解方法。

2 壓氣機(jī)動(dòng)葉片簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)分析

將動(dòng)葉片所承受的尾流激振力分解為定常激振力和各階諧振力后，可以計(jì)算動(dòng)葉片在各階諧振力作用下的響應(yīng)值。

將動(dòng)葉片視為多自由度振動(dòng)模型，并考慮弱阻尼的影響，列出其在簡(jiǎn)諧載荷作用下的受迫振動(dòng)微分方程[3-4]：

(3)

使用正則振型矩陣[AN]對(duì)公式(3)進(jìn)行解耦，令

{X}=[AN]{XN}

(4)

式中，{X}為原物理坐標(biāo)系下振動(dòng)模型的響應(yīng)；{XN}為正則坐標(biāo)系下振動(dòng)模型的響應(yīng)。

(5)

將公式(4)代入公式(3)，等號(hào)兩邊再同時(shí)乘正則振型矩陣的轉(zhuǎn)置[AN]T，得：

+[AN]T[K][AN]{XN(t)}=[AN]T{F}sin(Ωt)

(6)

考慮到剛度矩陣[K]、質(zhì)量矩陣[M]為半正定或正定的對(duì)稱陣，以及正則振型矩陣[AN]的正交性，得出：[MN]=[AN]T[M][AN]=[I]，即正則質(zhì)量矩陣[MN]為單位陣；[RN]=[AN]T[R][AN]，這里采用比例阻尼假設(shè)，則[RN]為對(duì)角陣；[KN]=[AN]T[K][AN]，[KN]為對(duì)角陣，其對(duì)角線元素為各階固有頻率值的平方。

則公式(6)化簡(jiǎn)為：

=[AN]T{F}sin(Ωt)

(7)

再令 {FN}=[AN]T{F}

(8)

式中，{FN}為廣義激振力幅值列陣。

由于公式(7)已經(jīng)解耦，將公式(8)代入公式(7)，并將矩陣方程寫成分量的形式，即得：

(i=1,2,3,…,n)

(9)

式中，α，β為與比例阻尼有關(guān)的系數(shù)；fNi為{FN}的第i個(gè)元素；ωni為動(dòng)葉片振動(dòng)模型的第i階固有頻率。

采用求解單自由度振動(dòng)模型響應(yīng)的方法計(jì)算公式(9)，即可求得動(dòng)葉片多自由度有阻尼振動(dòng)模型在簡(jiǎn)諧載荷作用下于正則坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即：

(10)

式中，βi為放大因子；ψi為相位角。

再由公式(4)將正則坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值轉(zhuǎn)換回原物理坐標(biāo)系，即：

(11)

至此，完成壓氣機(jī)動(dòng)葉片多自由度有阻尼振動(dòng)模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)理論分析求解。

3 動(dòng)葉片尾流激振響應(yīng)預(yù)估

3.1 激振應(yīng)力周期延拓及傅氏級(jí)數(shù)擬合

已知壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)靜葉柵節(jié)距所對(duì)應(yīng)的圓心角時(shí)，動(dòng)葉片某型線T1壓力面測(cè)點(diǎn)A尾流激振應(yīng)力的變化情況[5]。靜葉柵由50支葉片組成，壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，此激振應(yīng)力將循環(huán)50次，使用MATLAB軟件對(duì)測(cè)點(diǎn)A的尾流激振應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行周期延拓，初始時(shí)刻的時(shí)間設(shè)置為零，并使用7階傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)測(cè)量離散點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到測(cè)點(diǎn)A尾流激振應(yīng)力載荷譜如圖2所示，這里拓展至16個(gè)周期。

圖2 動(dòng)葉片T1型線測(cè)點(diǎn)A尾流激振應(yīng)力載荷譜Figure 2 Wake flow vibration stress loading spectrum of dynamic blade T1 shaped line measuring point A

T1型線A點(diǎn)各測(cè)量離散值周期延拓后使用7階傅里葉級(jí)數(shù)擬合的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1，其函數(shù)表達(dá)式為：

(12)

表1 A點(diǎn)各測(cè)量離散值使用7階傅里葉級(jí)數(shù)擬合的相關(guān)參數(shù)Table 1 Related parameters of measuring discrete valueson point A by using 7 phase Fourier series fitting

圖3 建立動(dòng)葉片壓力面?zhèn)鹊耐队懊鍿Figure 3 Projective plane S setting of dynamic blade pressure plane side

圖4 投影面S施加各階諧振力Figure 4 Projective plane S loaded with various phase harmonic vibration force

表1中的R-square即可決定系數(shù)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于度量擬合優(yōu)度的一個(gè)參數(shù)，用于表現(xiàn)擬合模型中自變量因變量變動(dòng)百分?jǐn)?shù)的程度，其取值范圍是[0～1]，且取值越大該模型擬合優(yōu)度越佳[6]。動(dòng)葉片T1型線A點(diǎn)各測(cè)量離散值使用7階傅里葉級(jí)數(shù)擬合，其可確定系數(shù)為1，顯然取得很好的擬合效果。此外，低階諧振力對(duì)壓氣機(jī)葉片動(dòng)態(tài)特性的影響遠(yuǎn)高于高階諧振力，因此使用測(cè)點(diǎn)A的前幾階諧振力對(duì)葉片的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行仿真，能很好地接近其真實(shí)的響應(yīng)狀態(tài)。

3.2 局部激振力加載及動(dòng)葉片的響應(yīng)預(yù)估

先計(jì)算動(dòng)葉片T1型線測(cè)點(diǎn)A承受各階諧振力時(shí)動(dòng)葉片的響應(yīng)。由于A點(diǎn)的測(cè)量結(jié)果為壓應(yīng)力值，即力學(xué)概念中的壓強(qiáng)，而ANSYS Workbench諧響應(yīng)分析中的壓力分布載荷只能使用默認(rèn)的零值初相角，顯然與表1中各階諧振力的初相角不相符。

為了保證測(cè)點(diǎn)A的各階諧振力按照真實(shí)情況進(jìn)行加載，首先在A點(diǎn)的切平面上以A點(diǎn)為幾何形心，做一個(gè)長(zhǎng)、寬皆為5 mm的矩形，將此矩形沿切平面法向拉伸5 mm，成一立方體。再使用“投影工具”命令將立方體向動(dòng)葉片壓力面投影，獲得曲面S，見(jiàn)圖3，事實(shí)上，只要曲面S的面積足夠小，則可近似認(rèn)為S上各點(diǎn)的諧振力幅值和初相角相等[7]。設(shè)曲面S的面積為C，即C≈25 mm2，則曲面S承受的各階諧振力可表述為：

(j=1,2,3,…,7)

(13)

且各階諧振力方向?yàn)檠厍鍿的法向，如圖4所示。計(jì)算投影面S承受一階諧振力時(shí)動(dòng)葉片的響應(yīng)為：

(14)

進(jìn)入ANSYS Workbench諧響應(yīng)分析環(huán)境，首先抑制為獲得投影面S而建立的立方體，再對(duì)動(dòng)葉片進(jìn)行單元網(wǎng)格劃分，參考公式(14)和表1一階諧振力等相關(guān)數(shù)據(jù)設(shè)置待求解頻率域、待求解頻率間隔、簡(jiǎn)諧載荷幅值和初相角。注意在ANSYS Workbench諧響應(yīng)分析設(shè)置中使用的物理量是頻率，單位是Hz，而非理論分析中經(jīng)常使用的以rads為單位的圓頻率或角頻率，頻率和圓頻率相差2π倍，因此需要對(duì)公式(14)中的圓頻率值做相應(yīng)的轉(zhuǎn)化處理。參考公式(13)和表1中第二階至第七階諧振力的相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算動(dòng)葉片有限元模型在指定載荷頻率和初相角情況下的響應(yīng)值，如圖5所示。

(a)一階諧振力,等效應(yīng)力(b)一階諧振力,總變形(c)二階諧振力,等效應(yīng)力(d)二階諧振力,總變形(e)三階諧振力,等效應(yīng)力(f)三階諧振力,總變形(g)四階諧振力,等效應(yīng)力(h)四階諧振力,總變形(i)五階諧振力,等效應(yīng)力(j)五階諧振力,總變形(k)六階諧振力,等效應(yīng)力(l)六階諧振力,總變形(m)七階諧振力,等效應(yīng)力(n)七階諧振力,總變形

由圖5可知投影面S承受各階諧振力作用時(shí)動(dòng)葉片模型各階的等效應(yīng)力極值和總變形極值，其分布情況如圖6(a)和圖6(b)所示，可以看出一階諧振力引發(fā)的響應(yīng)極值遠(yuǎn)高于其余各階，一階等效應(yīng)力極值達(dá)二階的23倍，一階總變形極值更是達(dá)到了二階的32倍，由此可見(jiàn)，僅取前幾階低階諧振力進(jìn)行葉片的動(dòng)力學(xué)仿真是可以滿足工程需要的。

(a)(b)

(a)等效應(yīng)力(b)總變形

其次，計(jì)算投影面S承受定常激振力時(shí)動(dòng)葉片模型的響應(yīng)。此時(shí)，S面內(nèi)分布的定常激振力為：

FS0=σA0C

(15)

將表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式(15)，計(jì)算投影面S承受定常激振力作用時(shí)動(dòng)葉片模型的等效應(yīng)力和總變形，如圖7(a)和圖7(b)所示。

由于壓氣機(jī)動(dòng)葉片尾流激振的響應(yīng)分析是采用公式(3)偏微分矩陣方程進(jìn)行的，該方程滿足線性疊加原理，即如果{X1(t)}和{X2(t)}分別是動(dòng)葉片模型在兩個(gè)不同的激振力作用下的響應(yīng)，那么它們的線性組合即{X1(t)+X2(t)}就是動(dòng)葉片模型在這兩個(gè)激振力共同作用下的響應(yīng)。

因此，將投影面S承受各階諧振力和定常激振力時(shí)動(dòng)葉片的等效應(yīng)力進(jìn)行線性疊加，即將圖5以及圖7的等效應(yīng)力分布進(jìn)行線性疊加，即可求得投影面S承受尾流激振力時(shí)動(dòng)葉片模型的等效應(yīng)力分布。類似地可求得投影面S承受尾流激振力時(shí)動(dòng)葉片模型的總變形。

3.3 動(dòng)葉片尾流激振響應(yīng)計(jì)算方法

整個(gè)動(dòng)葉片在均勻靜葉柵尾流場(chǎng)中承受尾流激振力時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)問(wèn)題，也可按上述方法計(jì)算：

(1)在動(dòng)葉片葉身表面覆蓋一層曲面，參考葉身表面各測(cè)點(diǎn)的幾何位置對(duì)該曲面進(jìn)行面網(wǎng)格單元?jiǎng)澐?，例如以葉身表面各測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為面單元的形心坐標(biāo)進(jìn)行面網(wǎng)格單元的劃分。面網(wǎng)格單元?jiǎng)澐值迷郊?xì)，計(jì)算效果越佳。

(2)使用計(jì)算局部微面S承受尾流激振力時(shí)動(dòng)葉片模型響應(yīng)的方法，分別計(jì)算各面單元承受尾流激振力時(shí)動(dòng)葉片的響應(yīng)。

(3)由于計(jì)算采用偏微分矩陣方程進(jìn)行，仍符合線性疊加原理，因此將第二步中各面單元受力產(chǎn)生的響應(yīng)進(jìn)行疊加，即可求出動(dòng)葉片在均勻靜葉柵尾流場(chǎng)中承受尾流激振力時(shí)產(chǎn)生的總響應(yīng)。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)研究燃機(jī)壓氣機(jī)均勻靜葉柵尾流對(duì)下游動(dòng)葉片產(chǎn)生的影響，用傅里葉級(jí)數(shù)將周期激振力展開(kāi)為定常項(xiàng)和各階諧振力，分析了各階諧振力作用下燃機(jī)壓氣機(jī)動(dòng)葉片多自由度有阻尼振動(dòng)模型的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以及將各階諧振力與定常激振力作用下的響應(yīng)線性疊加求解總響應(yīng)的計(jì)算方法。此方法便于對(duì)壓氣機(jī)動(dòng)葉片尾流激振響應(yīng)進(jìn)行有效預(yù)估，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。