基于不確定性理論的乳品降膜蒸發(fā)器設(shè)計

張 霞 田 瑋 朱傳琪 張安朝 吳海濱

(1.天津市輕工與食品工程機械裝備集成設(shè)計與在線監(jiān)控重點實驗室，天津 300222；2.天津科技大學機械工程學院，天津 300222)

乳品加工過程中，為了避免牛奶因為蒸發(fā)脫水導致其熱敏感性物質(zhì)遭到破壞，常采用降膜蒸發(fā)器進行乳品蒸發(fā)濃縮。降膜蒸發(fā)器具有較高的傳熱系數(shù)和較低的溫差，且物料停留時間短，適用于熱敏性物料的濃縮[1]。但同時降膜蒸發(fā)裝置也具有高能耗的特性，對環(huán)境有非常顯著的影響[2-3]，因而對蒸發(fā)器的傳熱性能、設(shè)計方法等進行研究有重大的現(xiàn)實意義。Gourdon等[4]研究了液體降膜的流動特性，發(fā)現(xiàn)干物質(zhì)含量、流速、蒸發(fā)溫度都會對其產(chǎn)生明顯影響，而且流量、氣泡和蒸發(fā)傳熱系數(shù)均與熱流密度相關(guān)。而且依據(jù)傳熱原理開發(fā)出牛奶降膜蒸發(fā)過程的計算工具，計算結(jié)果表明壓降通過對飽和溫度的影響[5]，從而影響蒸發(fā)器傳熱性能。Díaz-ovalle等[6]在研究食品熱處理過程中產(chǎn)生污垢現(xiàn)象時，發(fā)現(xiàn)污垢是牛奶熱處理過程中不可避免的。牛奶蒸發(fā)過程在非最佳操作條件下會產(chǎn)生積垢，對蒸發(fā)器的傳熱性能產(chǎn)生副作用。因此，建立了考慮污垢厚度、膜厚、溫度和干物質(zhì)含量等變量的降膜蒸發(fā)器結(jié)垢模型，用來預測污垢的形成。Zhang等[7]建立了降膜蒸發(fā)器的性能預測模型，并比較常規(guī)五效蒸發(fā)和機械蒸汽再壓縮三效蒸發(fā)的能耗情況。Madoumier等[8]利用化工過程模擬的流程模擬方法，提出了一種在化工過程模擬中模擬食品液體物性的方法，并將這種方法應(yīng)用于牛奶蒸發(fā)過程中的熱容、沸點升高、導熱系數(shù)、密度、黏度、表面張力等特性分析中。

國內(nèi)外學者的研究對深入了解乳品蒸發(fā)過程中的降膜流動和傳熱特性有很大作用，但對于牛奶蒸發(fā)過程中的傳熱不確定性和降膜蒸發(fā)器設(shè)計過程中的不確定性鮮有研究。牛奶蒸發(fā)器在設(shè)計和操作過程中都有非常大的不確定性，分為參數(shù)和模型兩類不確定性，參數(shù)不確定性指進料溫度、進料濃度、蒸發(fā)溫度等在合理波動范圍內(nèi)的變化；模型不確定性指計算蒸發(fā)傳熱時采用的不同傳熱關(guān)聯(lián)式導致的計算誤差。如果對于這些不確定性沒有充分考慮，將導致設(shè)計出的蒸發(fā)器不能正常地在實際操作條件中運行，進而導致產(chǎn)品質(zhì)量不合格或能耗過高。全面考慮這些不確定性的影響可以精確、合理地設(shè)計降膜蒸發(fā)器，降低制造成本，并提高設(shè)備操作可靠性。此外，分析乳品降膜蒸發(fā)器傳熱性能不確定性時所采用的研究思路和研究方法，對于合理分析其他類型換熱器性能的不確定性也有重要的理論借鑒意義。

1 研究方法

以全脂生牛奶作為流體物料，三效乳品降膜蒸發(fā)器為計算模型，采用蒙特卡洛隨機抽樣法，建立三效降膜蒸發(fā)器傳熱面積計算模型，分析研究參數(shù)和模型的不確定性對降膜蒸發(fā)器傳熱面積設(shè)計計算的影響。多效蒸發(fā)器是使用上一效的二次蒸汽作為下一效的加熱蒸汽，因其節(jié)能減耗的特點被廣泛用于乳制品的蒸發(fā)濃縮過程中。在降膜蒸發(fā)器中，料液通過分布器被均勻地分配到所有管道上，進入垂直管上部，在重力的作用下呈膜狀在管的內(nèi)表面向下流動[9]。根據(jù)傳熱方程，在降膜蒸發(fā)器的工藝設(shè)計中，總傳熱系數(shù)根據(jù)式(1)計算：

Q=UA(TV-TL)，

(1)

式中：

Q——傳熱量，W；

U——總傳熱系數(shù)，W/(m2·K)；

A——傳熱面積，m2；

TV——加熱蒸汽溫度，℃；

TL——蒸發(fā)溫度，℃。

三效乳品降膜蒸發(fā)器蒸發(fā)量為6 000 kg/h，三效的蒸發(fā)溫度依次為70，59，48 ℃，加熱源是81 ℃的生蒸汽，物料入口牛奶濃度11.5%，出料牛奶濃度46%。降膜蒸發(fā)器采用06Cr19Ni10不銹鋼換熱管，管徑Φ50 mm×1.5 mm，管長6 m，管壁導熱系數(shù)為46 W/(m·K)。在降膜蒸發(fā)器的設(shè)計計算過程中，需要計算物料的熱物理性質(zhì)，黏度、比熱容、密度和導熱系數(shù)是牛奶較為重要的4種物理性質(zhì)，其計算公式：

(2)[10]

ρ=1 042.01-0.37T+3.6×10-4T，

(3)[11]

Cp=3 833.194 1-0.280 083-1.758 6T-0.109 81×10-4X2+0.234 1×10-2XT+0.050 4T2，

(4)[12]

λ=(326.58+1.041 2T-3.37×10-3T2)(0.46+0.54X)×1.73×10-3，

(5)[8]

式中：

μ——黏度，Pa·s；

ρ——密度，kg/m3；

Cp——比熱容，J/(kg·℃)；

λ——導熱系數(shù)，W/(m·K)；

T——溫度，℃；

X——濃度，%。

1.1 定量化降膜蒸發(fā)器設(shè)計不確定性因素

為了定量化降膜器設(shè)計過程中蒸發(fā)傳熱因素，將主要影響因素分為參數(shù)不確定性和模型不確定性兩類。參數(shù)不確定性分為乳品進口濃度和蒸發(fā)溫度，模型不確定性分為管內(nèi)傳熱和管外傳熱關(guān)聯(lián)式。

1.1.1 參數(shù)不確定性 在降膜蒸發(fā)裝置中，濃縮將使牛奶的許多性質(zhì)發(fā)生變化，包括離子強度、pH以及熱物理性質(zhì)[13]。對蒸發(fā)傳熱影響最大的流體物性是黏度，其他較為重要的物理性質(zhì)有密度、比熱容和導熱系數(shù)[14]。蒸發(fā)過程中，牛奶的物理性質(zhì)會隨蒸發(fā)溫度和牛奶干物質(zhì)含量而改變。在蒸發(fā)器進料處，由于奶源不同，很難確保每一次蒸發(fā)時進口的牛奶干物質(zhì)含量相同，且蒸發(fā)過程中，由于測量及控制誤差，蒸發(fā)溫度存在浮動，那么不確定性參數(shù)牛奶濃度和蒸發(fā)溫度會對計算總傳熱系數(shù)產(chǎn)生影響，從而影響傳熱面積的計算。奶源不同，生牛乳濃度會有所不同，一般在11.5%～12.0%[15]。牛奶屬于熱敏性物料，蒸發(fā)溫度不宜過高，不超過72 ℃。因此，假設(shè)牛奶濃度和蒸發(fā)溫度均服從均勻分布，采用蒙特卡洛隨機抽樣方法，在牛奶濃度(11.5%～12.0%)和蒸發(fā)溫度(69～71 ℃)分布范圍內(nèi)抽取樣本進行計算。

1.1.2 模型不確定性 在降膜蒸發(fā)器傳熱面積設(shè)計計算過程中，總傳熱系數(shù)計算至關(guān)重要。在影響降膜蒸發(fā)器總傳熱系數(shù)的不確定因素中，模型的不確定性主要考慮物料側(cè)管內(nèi)與冷凝管外的分傳熱系數(shù)關(guān)聯(lián)式，總傳熱系統(tǒng)的計算公式：

(6)

式中：

hi——管內(nèi)分傳熱系數(shù)，W/(m2·K)；

ho——管外分傳熱系數(shù)，W/(m2·K)；

di——管內(nèi)徑，m；

do——管外徑，m；

dm——平均管徑，m；

Rdi——管內(nèi)污垢熱阻，m2·K/W；

Rdo——管外污垢熱阻，m2·K/W；

λ——管壁導熱系數(shù)，W/(m·K)。

蒸發(fā)過程中污垢熱阻的影響非常復雜[16]，管內(nèi)污垢熱阻選為1.76×10-4m2·K/W，管外污垢熱阻設(shè)為0。

不同學者總結(jié)出的管內(nèi)和管外試驗關(guān)聯(lián)式如式(7)～(14)所示。

料液側(cè)管內(nèi)分傳熱系數(shù)關(guān)聯(lián)式：

Nu=1.1Re-0.333，

(7)[17]

Nu=0.606Re-0.22，

(8)[17]

Nu=[(0.008 5Re0.2Pr0.65)2+1.43Re-0.3332]0.5，

(9)[5]

Nu=1.663 6Re-0.264 8Pr0.159 2，

(10)[18]

hi=2.65Re-0.158Ka0.056 3，

(11)[19]

式中：

Nu——努塞爾數(shù)；

Re——雷諾數(shù)；

Pr——普朗特數(shù)；

Ka——卡皮查數(shù)；

hi——管內(nèi)分傳熱系數(shù)，W/(m2·K)。

冷凝側(cè)管外分傳熱系數(shù)關(guān)聯(lián)式：

ho=λlρl0.333g0.667μl-0.667(Re-0.44+5.82×10-6Re0.8Pr0.667)0.5，

(12)[20]

(13)[21]

(14)[22]

式中：

μl——水黏度，Pa·s；

ρl——水密度，kg/m3；

ρv——水蒸氣密度，kg/m3；

λl——水導熱系數(shù)，W/(m·K)；

Re——雷諾數(shù)；

Pr——普朗特數(shù)；

ho——管外分傳熱系數(shù)，W/(m2·K)。

這些試驗關(guān)聯(lián)式用于研究傳熱模型對總傳熱系數(shù)的不確定性影響，同時也用于最終蒸發(fā)器傳熱面積計算。管內(nèi)乳品的分傳熱系數(shù)主要受牛奶流動特性、牛奶熱力學狀態(tài)、結(jié)垢等情況的影響。Adib等[23]總結(jié)和分析了不同的管內(nèi)試驗關(guān)聯(lián)式，比較了式(12)、(13)和(14)的管內(nèi)傳熱試驗關(guān)聯(lián)式在相同條件下的計算值。

管外的冷凝分傳熱系數(shù)主要受加熱蒸汽和管子排布等因素的影響。Broom[20]提供了一個在Chen等的試驗關(guān)聯(lián)式的基礎(chǔ)上精度更高的試驗關(guān)聯(lián)式。HTRI(Heat Transfer Research,Inc.)[21]根據(jù)工程經(jīng)驗數(shù)據(jù)，推薦了一個可用于管外冷凝的經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式，也可用于換熱器中管束冷凝的情況。林紀方等[22]依據(jù)前人試驗數(shù)據(jù)，推導出一個適用于高、低速冷凝氣流并層流與湍流區(qū)域都適用的普遍關(guān)聯(lián)式。這3個試驗關(guān)聯(lián)式的使用范圍各不相同，由于實際工程問題的使用條件很難與這些公式得出時的試驗條件準確對應(yīng)，研究中根據(jù)模型集成法聯(lián)合使用這些試驗關(guān)聯(lián)式，以提高模型預測可靠性。

1.2 降膜蒸發(fā)器不確定性設(shè)計分析方法

蒙特卡洛模擬法是在自變量分布已知的情況下，求因變量分布的一種有效方法，是一種基于概率論和統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)方法。首先需要將所求問題與概率模型相關(guān)聯(lián)，再經(jīng)過模擬抽樣、數(shù)據(jù)分析來進行最后的求解。

圖1為研究降膜蒸發(fā)器不確定性設(shè)計的技術(shù)路線圖。如圖1所示，首先假設(shè)獨立變量蒸發(fā)溫度和入口濃度是均勻分布，采用蒙特卡洛隨機抽樣法在兩個設(shè)計參數(shù)分布范圍內(nèi)抽取1 000組樣本，代入計算模型進行蒸發(fā)傳熱計算。在每一次計算總傳熱系數(shù)與傳熱面積時，采用迭代計算的方法，首先假設(shè)不同效中的蒸發(fā)量和總傳熱系數(shù)值，然后將不同管內(nèi)與管外的試驗關(guān)聯(lián)式兩兩組合，每個關(guān)聯(lián)式賦予權(quán)重后進行計算，得到最終的總傳熱系數(shù)和傳熱面積分布，并與假設(shè)值比較，如果相對誤差小于4%，則認為所得結(jié)果符合要求。因此，每一個管內(nèi)和管外傳熱關(guān)聯(lián)式使用1 000個總傳熱系數(shù)，并得到1 000個傳熱面積數(shù)值，用于確定三效蒸發(fā)器設(shè)計面積的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

圖1 降膜蒸發(fā)器不確定性設(shè)計技術(shù)路線圖Figure 1 Technology roadmap for uncertainty design of falling film evaporation

考慮計算精度和計算成本后，確定抽樣次數(shù)為1 000。如圖2所示，隨著樣本數(shù)量的增加，三效傳熱面積的變化逐漸趨于平穩(wěn)。在抽樣次數(shù)達到400次后，三效蒸發(fā)器的中位數(shù)相對抽樣誤差都可以小于0.5%，對應(yīng)的傳熱面積約為0.4 m2，對于蒸發(fā)器設(shè)計而言已有足夠精度，可認為達到收斂。對于2.5%和97.5%分位數(shù)蒸發(fā)器設(shè)計面積，需要更多的抽樣次數(shù)達到收斂，在600次抽樣可達到相對誤差小于0.5%，為了確保結(jié)果可靠性，研究中選定1 000次為抽樣次數(shù)。

對于使用不同關(guān)聯(lián)式導致的模型不確定性，采用類似于機器學習理論中的集成學習法，能將多個不同的模型聚合從而提高模型性能。若在蒸發(fā)器信息模糊的情況下，可以通過每個模型權(quán)重相等的bagging方法計算總傳熱系數(shù)，從而避免在聯(lián)合使用多個試驗關(guān)聯(lián)式的情況下，造成設(shè)計傳熱面積不確定性過大的問題。如果蒸發(fā)器有更加完善的信息，且與文獻報道的試驗條件符合度高，也可以根據(jù)所設(shè)計蒸發(fā)器的具體應(yīng)用情況和文獻試驗數(shù)據(jù)的分布，運用類似boosting的機器學習算法賦予模型不同的權(quán)重。在這種情況下，計算權(quán)重的方法可以采用近似貝葉斯法反演不同的模型權(quán)重。此外，也可以采用主觀賦權(quán)法，即根據(jù)傳熱學專家投票決定屬性權(quán)重的方法[27-28]，將不同試驗關(guān)聯(lián)式模型賦予不同權(quán)重，進而提高總傳熱系數(shù)計算模型可靠性。在蒸發(fā)器工程設(shè)計中，通過采用如上所述的不同模型集成方法，降低模型方差和偏差，提高最終傳熱模型的預測精度[29-30]。

圖2 樣本數(shù)量對傳熱面積分布的影響Figure 2 Effects of different size of the sample on heat transfer area distribution

2 結(jié)果與討論

2.1 蒸發(fā)器總傳熱系數(shù)不確定性的結(jié)果分析

當參數(shù)不變時，即固定三效的入口濃度和蒸發(fā)溫度，選取5個不同管內(nèi)分傳熱系數(shù)和3個管外分傳熱系數(shù)的試驗關(guān)聯(lián)式，研究模型不確定性對傳熱性能的影響。圖3為不同的管內(nèi)試驗關(guān)聯(lián)式與管外試驗關(guān)聯(lián)式模型計算對比圖。圖3(a)是三效蒸發(fā)溫度依次為70，59，48 ℃，第一效入口濃度為11.5%的情況下，選取式(7)～(14)的管內(nèi)分傳熱系數(shù)試驗關(guān)聯(lián)式進行建模研究，隨著牛奶從前一效逐效流向后面各效，其濃度增高，蒸發(fā)溫度降低，致使溶液的黏度增加，降膜蒸發(fā)器的傳熱系數(shù)下降。以第一效為例，這5個管內(nèi)試驗關(guān)聯(lián)式計算數(shù)值最高值6 055.656 W/(m2·K)，最低值為2 146.201 W/(m2·K)，相差64.5%。由于式(7)推導過程假設(shè)過多，而且有些假設(shè)與實際情況誤差很大，因此其理論值較低，而且采用純工質(zhì)進行試驗推導試驗關(guān)聯(lián)式——式(8)的理論值也較低[17]。圖3(b)是第一效蒸汽溫度為81 ℃時，選取式(12)、(13)和(14)的管外分傳熱系數(shù)試驗關(guān)聯(lián)式進行對比研究，其最高值為7 497.301 W/(m2·K)，最低值為4 059.379 W/(m2·K)，相差約45.8%?？梢钥闯觯瑓?shù)確定時不同管內(nèi)與管外試驗關(guān)聯(lián)式的計算結(jié)果相差較大，在設(shè)計計算時使用不同關(guān)聯(lián)式計算會產(chǎn)生較大誤差。

降膜蒸發(fā)器計算中將5種管內(nèi)與3種管外試驗關(guān)聯(lián)式兩兩組合得15種組合模型，其計算得到的第一效總傳熱系數(shù)如表1所示。15種模型組合中總傳熱系數(shù)的中位數(shù)最小為1 104.33 W/(m2·K)，最大為2 006.80 W/(m2·K)，相差902.47 W/(m2·K)。圖4為蒸發(fā)溫度和進料濃度均變化時降膜蒸發(fā)器三效總傳熱系數(shù)的分布。由圖4可知，三效的總傳熱系數(shù)的概率密度均為先增大后減小，在中位數(shù)處密度最大。對比三效的總傳熱系數(shù)小提琴圖，第一效的總傳熱系數(shù)分布最為集中，第三效的總傳熱系數(shù)分布最為分散。采用模型集成的方法計算出的三效總傳熱數(shù)的中位數(shù)分別為1 472.65，1 435.61，1 363.73 W/(m2·K)，變異系數(shù)分別為0.009 83，0.011 4，0.013 4。由此可知，第三效蒸發(fā)器總傳熱系數(shù)的離散程度最大，第一效的總傳熱系數(shù)離散程度最小?？倐鳠嵯禂?shù)的計算是降膜蒸發(fā)器設(shè)計計算的關(guān)鍵，因此總傳熱系數(shù)的不確定性會對最終傳熱面積的確定產(chǎn)生很大影響。

2.2 基于概率和模型平均蒸發(fā)器傳熱面積的結(jié)果分析

降膜蒸發(fā)器三效傳熱面積的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)圖如圖5所示，3個圖可用于確定滿足不同概率情況下所需的蒸發(fā)器設(shè)計面積。如果第一效面積取77 m2時，則只有5%可能性滿足設(shè)計條件不確定性；如果面積提高到82 m2時，則有50%可能性滿足設(shè)計條件不確定性；如果需要將設(shè)計概率提高到95%，則需要將面積提高到88 m2。對于第二效蒸發(fā)器，如果將設(shè)計滿足概率由50%提高到95%，則換熱面積需要從82 m2增加到92 m2，面積需要提高10.87%。對于第三效蒸發(fā)器，如果將設(shè)計滿足概率由50%提高到95%，則換熱面積需要從88 m2增加到100 m2，面積需要提高12%。因此，研究所得的傳熱面積概率分布圖可根據(jù)不同概率設(shè)計要求，定量確定所需的蒸發(fā)器面積。在蒸發(fā)器設(shè)計計算過程中，確定蒸發(fā)器的生產(chǎn)任務(wù)和操作條件后，通過考慮參數(shù)和模型不確定性合理設(shè)計蒸發(fā)器傳熱面積，有助于提高蒸發(fā)器設(shè)計可靠性。若根據(jù)使用單位要求蒸發(fā)器操作彈性較小，可以選擇比較保守的設(shè)計概率(如60%)用于工程設(shè)計；若使用單位希望蒸發(fā)器操作彈性較大，可以將概率提高(如90%)以增加蒸發(fā)器面積。定量化蒸發(fā)器的操作彈性范圍，可看作選定蒸發(fā)器后的校核性問題，同樣可以采用文中的不確定性方法，將蒸發(fā)器面積設(shè)為定值，計算得到符合最終濃度要求的蒸發(fā)器操作條件(即操作參數(shù)的不確定性)。

圖3 三效蒸發(fā)器中不同管內(nèi)和管外試驗關(guān)聯(lián)式所得分傳熱系數(shù)的對比Figure 3 Comparison of heat transfer coefficients scored by different experimental correlations in and outside the tube in a three-effect evaporator

表1 降膜蒸發(fā)器第一效5種管內(nèi)和3種管外傳熱模型共15組總傳熱系數(shù)中位數(shù)Table 1 Median of the total heat transfer coefficient of dairy first-effect falling film evaporator from 5 inside and 3 outside heat transfer coefficients W/(m2·K)

圖4 蒸發(fā)溫度和進料濃度變化時蒸發(fā)器三效總傳熱系數(shù)分布圖Figure 4 Distribution of the total heat transfer coefficient of the three-effect evaporator for the evaporation temperature and feed concentration change

虛線分別為5%，50%，95%的傳熱面積數(shù)據(jù)圖5 三效傳熱面積累積分布函數(shù)圖Figure 5 Cumulative distribution function diagram of three-effect heat transfer area

3 結(jié)論

(1) 提出基于概率和模型集成的乳品降膜蒸發(fā)器設(shè)計方法，充分考慮降膜蒸發(fā)器設(shè)計和操作過程中不同類型不確定性，以設(shè)計出高可靠性低能耗的降膜蒸發(fā)器，這種基于不確定性理論的設(shè)計方法也適用于食品工業(yè)中其他類型蒸發(fā)器。

(2) 與蒸發(fā)器設(shè)計中的參數(shù)不確定性相比，由于模型不確定性導致乳品降膜蒸發(fā)性能的變化更加顯著，所以提出可調(diào)節(jié)模型權(quán)重的模型集成法，提高蒸發(fā)器傳熱模型預測可靠性。

(3) 降膜蒸發(fā)器設(shè)計中管內(nèi)和管外的不同傳熱系數(shù)關(guān)聯(lián)式，導致蒸發(fā)器傳熱性能不確定性，管內(nèi)分傳熱系數(shù)最大相差63%，管外分傳熱系數(shù)最大相差45%，管內(nèi)傳熱性能不確定性更為顯著，需要在降膜蒸發(fā)設(shè)計過程中認真考慮處理方法。

(4) 更多降膜蒸發(fā)傳熱試驗關(guān)聯(lián)式的不確定性集成問題，以及其他蒸發(fā)器設(shè)計參數(shù)(例如管厚度、材料導熱系數(shù)等)同樣具有不確定性，尚需深入研究。