合理引導(dǎo) 有效探究
——“直線與橢圓”復(fù)習(xí)課教學(xué)實錄與反思*

張 琥 (北京外國語大學(xué)附屬蘇州灣外國語學(xué)校 215200)

1 基本情況

1.1 授課對象

教學(xué)對象是省四星級學(xué)校高三理科班學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有一定的自學(xué)能力、推理能力及運算求解能力．

1.2 教材分析

直線與橢圓的綜合題是解析幾何中的重點問題，江蘇高考卷中必考的大題，學(xué)生對這類問題，常常是有解題思路，但是在運算時字母多、式子繁，很難找到合適的方法來處理，而且運算量較大，有的學(xué)生甚至一遇到這類問題就有畏懼感． 直線與橢圓所涉及的知識點較多，對解題能力的考查層次要求也較高，所研究的問題是直線與橢圓的位置關(guān)系、定點(定值)、最值以及參數(shù)取值范圍等． 解決這類問題一定要注重通性通法，不能簡單地尋找一個個的解題套路，要在審題和解題策略上下功夫，通過強(qiáng)化訓(xùn)練，不斷克服解題中的運算難關(guān)，以達(dá)到優(yōu)化解題過程的目的．

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)感知直線與橢圓的有關(guān)問題；明確直線與橢圓的常見問題及解題策略；運用直線與橢圓的定義、方程及性質(zhì)來解決直線與橢圓中的定點問題；鞏固解析法的基本思想．

(2)在解決問題的過程中，體會直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法，領(lǐng)悟函數(shù)與方程的思想方法；經(jīng)歷運用橢圓定義與性質(zhì)解決問題的探索活動，積累如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q具體問題的經(jīng)驗，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．

(3)感受數(shù)學(xué)活動是充滿探索性和創(chuàng)造性的，樹立運算的信心和耐心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力．

教學(xué)重點 如何將曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，根據(jù)圖形研究直線與橢圓中的定點問題．

教學(xué)難點 如何選擇合適的方法來解決直線與橢圓中的定點問題．

2 教學(xué)過程

2.1 提供資源，入境生趣

課前教師給出5道基礎(chǔ)題(引例)，通過問題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)直線、橢圓的基本知識和基本思想方法，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好心理和知識準(zhǔn)備．

1．將圓x2+y2=4上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏们€的方程，并說明它是什么曲線．(蘇教版選修2-1第29頁例2)

說明通過課本題和改編高考題的對比練習(xí)，讓學(xué)生及時查閱課本，尋找相關(guān)信息，從比較中明辨道理，引起學(xué)生積極地思考，使學(xué)生主動投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)情景中，對高考試題充滿期待，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊．

2.2 自學(xué)生疑，了解學(xué)情

師：同學(xué)們課前做的5道題，都是直線與橢圓有關(guān)的基本問題，而要解決這些問題，我們一定要具備直線與橢圓的相關(guān)知識，那么你能聯(lián)想到哪些基本知識和方法？把你想到的都寫出來． (教師巡視發(fā)現(xiàn)寫得比較好的在展臺上展示，并和學(xué)生一起補充完善)

生1：(1)直線方程的常見幾種設(shè)法：y-y0=k(x-x0),y=kx+b,x=my+n；(2)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)．

生3：弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達(dá)定理外，還可以運用“差分法”(也叫“點差法”)．

……

師：大家回顧、總結(jié)得比較全面，復(fù)習(xí)就是要建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，以自己的方式建立起對問題的理解，達(dá)到知識間的前后聯(lián)系、融會貫通．

2.3 學(xué)習(xí)釋疑，弄清疑難

師：請同學(xué)們回憶課本題的解法，并認(rèn)真思考，也可討論與交流，你能用幾種不同思路和方法解答如下的高考題？(引導(dǎo)學(xué)生思考、分析、解題，教師點撥)

圖1

生7：如圖2，設(shè)AF=m,BF=n，AB的傾斜角為α，由橢圓第一定義及余弦定理得

圖2

4c2+n2-4cncos(π-α)=(2a-n)2， ①

4c2+m2-4cmcosα=(2a-m)2． ②

師：請同學(xué)們總結(jié)、反思，每一種解法各有什么特點？

生8：第一、第三種方法是代數(shù)法，這是解決此類問題的通性通法，易想但運算量偏大，且運算過程中易出錯；第二種方法是幾何法，運用平面幾何知識和橢圓的第二定義，解題簡潔、運算量小，是4種方法中較好的解法；第四種方法是用余弦定理和橢圓第一定義來解的，解法也比較好．

師：評析得非常好． 請同學(xué)們評價一下，以上哪種解法更符合你的思維習(xí)慣？更容易想到？哪種解法你覺得思路比較難于發(fā)現(xiàn)？

(學(xué)生個人解題感受略)

師：此高考題的求解思路是源于課本題的，所以我們在復(fù)習(xí)過程中一定要重視課本例習(xí)題． 我們知道，在圓中有如下結(jié)論：已知AB為圓x2+y2=a2的直徑，P為圓上任意一點，若PA,PB的斜率均存在且不為零，則kPAkPB=-1．

由此，我們可以聯(lián)想到橢圓，在橢圓中有類似的結(jié)論嗎？如有，那結(jié)論又是什么？

圖3

師：我們利用變換(*)將圓中的結(jié)論遷移到橢圓中，此方法是發(fā)現(xiàn)橢圓中結(jié)論的一個重要途徑． 其實，這是圓中的結(jié)論在橢圓中的推廣，它揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，是一個重要結(jié)論，利用此結(jié)論還可以解決一些其他問題．請同學(xué)們看例2：

圖4

學(xué)生思考、解答，教師巡視，然后展示學(xué)生的解法．

師：這兩個同學(xué)積極思考，靈活運用所學(xué)知識，將原有問題進(jìn)行變式和推廣，提出新問題，這種學(xué)習(xí)方法值得大家學(xué)習(xí)． 那么，他們倆得出的結(jié)論是否成立？若成立，大家能證明嗎？(學(xué)生討論、交流，教師巡視、點撥． )

生12：第一個結(jié)論成立，直線AB是經(jīng)過原點的，對于第二個結(jié)論我還沒有解出來．

師：大家討論得很好，計算的結(jié)果是正確的．

2.4 引導(dǎo)實踐，遷移創(chuàng)新

師：大家討論、探究的學(xué)習(xí)熱情非常高漲，老師很高興． 下面我們再看一道高考題：

圖5

(1)設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

(3)設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

圖6

師：以上幾個問題都與定點有關(guān)，題與題之間相互關(guān)聯(lián)，可拓展引申． 這給我們的啟示是學(xué)習(xí)要學(xué)會舉一反三，由表及里，融會貫通，這樣才能抓住問題的本質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題和提出新問題，提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力．

2.5 點難撥疑，練習(xí)解難

師：請同學(xué)們看課堂練習(xí)，并思考、分析、求解．

圖7

師：同學(xué)們都做好了，請大家說說自己的解題思路和結(jié)果(過程略)．

師(追問)：如果把橢圓改為雙曲線，則在雙曲線中的結(jié)論又是怎樣的？

師：同學(xué)們分析得太好了，值得表揚． 請大家課后完成證明． 練習(xí)1是由特殊到一般的解題過程，我們利用橢圓定義來處理焦點三角形的方法不斷強(qiáng)化，以此推出一般情形的三角形面積表達(dá)式，進(jìn)而由橢圓到雙曲線，由定義類比到算式，由圖形特征到嚴(yán)密的求解． 通過計算和類比，達(dá)到鞏固本節(jié)課的核心內(nèi)容． 練習(xí)2與課前練習(xí)第5題的結(jié)論，形變神不變，大家課后再好好體會其中的關(guān)聯(lián)．

2.6 反思學(xué)習(xí)，反思教學(xué)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

生17：(讓學(xué)生自己談本節(jié)課學(xué)習(xí)收獲與體會，并相互交流，教師點評)解決直線與橢圓中的定點問題，可分成三個步驟：首先聯(lián)立直線和橢圓兩個方程，消元后所得一元二次方程的判別式和韋達(dá)定理正確列出；其次用兩個交點的同一類坐標(biāo)的和與積，來表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；再次把前面兩步得到的結(jié)果綜合起來，解轉(zhuǎn)化而來的純粹代數(shù)運算問題，并將結(jié)果化歸到原來解析幾何問題．

師：今天我們主要學(xué)習(xí)的是直線與橢圓中的定點問題． 通過對問題適當(dāng)挖掘與變式、拓展與引申，加深對直線過定點問題的理解，在解后反思中提煉數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的策略，在變式訓(xùn)練中發(fā)展合理運用數(shù)學(xué)思想方法的能力，實現(xiàn)解題策略和解題方法的遷移，提高我們的解題能力．

布置作業(yè)(略).

3 回顧與反思

本節(jié)課遵循“知識問題化，問題情境化”的教學(xué)理念，運用“引導(dǎo)—探究”式進(jìn)行教學(xué)． 教學(xué)立足于“四基”，學(xué)生在學(xué)習(xí)了直線和橢圓的基礎(chǔ)知識，掌握了研究問題的基本方法的前提下，以直線與橢圓的重點知識為載體，聚焦解析幾何的核心思想與方法，進(jìn)一步探究直線與橢圓中的定點(值)問題． 設(shè)計一個核心，多個層次，多種選擇． 從引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，抓住核心問題，到經(jīng)歷動手實踐、討論交流、總結(jié)歸納等活動，分析解題思路，完善解題過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

3.1 問題引領(lǐng)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

從課本例習(xí)題出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，不但有利于引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)中重視課本的再學(xué)習(xí)，而且讓學(xué)生了解課本題與高考題之間內(nèi)在的聯(lián)系，消除學(xué)生對高考題的神秘感，幫助學(xué)生學(xué)會思考，看清問題的本質(zhì)． 本設(shè)計對例題的處理用“概念+問題+數(shù)學(xué)思想方法”引領(lǐng)解題方法和技巧，不僅讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟“幾何問題代數(shù)化”的解析幾何核心思想方法，而且還通過探究使學(xué)生充分體會函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．

例1的四種方法，看似是不同的解法，但其實質(zhì)均是對題目中幾何條件的認(rèn)識，對幾何構(gòu)圖的分析． 代數(shù)工具的使用，一定是建立在對幾何問題充分認(rèn)識的基礎(chǔ)上的，只有對幾何問題自身認(rèn)識清楚，理解到位，才能將其準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，才能選用簡潔合理的代數(shù)方法進(jìn)行求解，并在其基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的認(rèn)知和理解、拓展與延伸，在方法研究中提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．

3.2 引導(dǎo)探究，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生激活進(jìn)一步探究所需要的先前經(jīng)驗． 教學(xué)時要善于引導(dǎo)學(xué)生回顧先前經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生對先前經(jīng)驗的重新組織、歸納和深化，最終達(dá)成學(xué)習(xí)結(jié)果. 在教學(xué)中，教師要著重設(shè)計出適合的數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生變“聽數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變“看示范”為“動手操作”，變“機(jī)械接受”為“主動探究”，使學(xué)生在探究活動中加深對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的理解與掌握，感悟和運用數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高他們的解題能力．

在研究解析幾何問題時，要用運動變化的眼光審視圖形，關(guān)注運動變化中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系． 也就是說運動變化是解析幾何思維的起點，抓住運動變化中的不變關(guān)系是解析幾何思維的落腳點，而這正是以準(zhǔn)確分析幾何構(gòu)圖為基礎(chǔ)． 例如，將直線與圓中的相關(guān)結(jié)論，通過壓縮變換，進(jìn)而聯(lián)想、類比到直線與橢圓中的結(jié)論，再進(jìn)行變式、拓展. 從這些操作和探究的表象中深刻思考，挖掘和感悟探究活動背后隱含的數(shù)學(xué)方法和原理，探究活動的核心是思維．

3.3 拓展引申，提升關(guān)鍵能力

例2、例3從不同的視角加以分析、引申和拓展，既考查了思維的過程與方法，又考查學(xué)生的運算求解能力，凸顯思維的靈活性和深刻性. 復(fù)習(xí)教學(xué)就要對問題的“源”與“流”進(jìn)行剖析，本課的三個層次的問題(課本題、變式題、拓展引申題)，各題目之間既相對獨立，又有緊密聯(lián)系，形成相對完整的知識網(wǎng)絡(luò)，不同層次的學(xué)生學(xué)有所得．

所選例題都是在課本題的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，環(huán)環(huán)相扣，層次遞進(jìn)，知識間聯(lián)系緊密，思想上一脈相承，方法上各有不同． 課堂練習(xí)是對開始問題情境的呼應(yīng)，又為接下來研究直線與圓錐曲線的最值和軌跡問題埋下伏筆，起到承上啟下的作用． 教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對原問題的變式拓展的探究和創(chuàng)新能力，通過變式研究深化對問題的理解，揭示問題的本質(zhì)． 通過多層次、多角度地提出問題和研究問題，才能不斷地獲得新的發(fā)現(xiàn)，積累新的解題經(jīng)驗，提高解題水平，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．

3.4 不足與改進(jìn)

本節(jié)課還有一些缺憾和需要改進(jìn)的地方，如合理運用信息技術(shù)，以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，這方面做得不到位，課上僅是PPT的靜態(tài)展示，而幾何圖形的動態(tài)化、直觀可感，以及解析幾何中蘊含的動中有靜的幾何特征體現(xiàn)不夠． 小結(jié)是一節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié)，如果能把一節(jié)課的知識、技能和方法總結(jié)歸納出既有思想又有文化的小結(jié)，則是完美收官，本節(jié)課由于留給學(xué)生交流、探究的時間較多，課堂小結(jié)很倉促． 如果前面的時間安排緊湊點，小結(jié)就更豐富了．