波利亞的解題思想在初中幾何命題教學(xué)中的實(shí)踐

[摘要]文章對三個版本教材進(jìn)行了對比分析，并結(jié)合從波利亞的解題思想得到的啟示，創(chuàng)造性地使用教材，對圓周角定理及推論的教材內(nèi)容進(jìn)行大膽地整合、重組，探索與圓周角有關(guān)的三個命題的產(chǎn)生和證明更加自然、順暢的教學(xué)設(shè)計(jì)

[關(guān)鍵詞]圓周角定理;波利亞解題思想;命題教學(xué)

基金項(xiàng)目：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度普教重點(diǎn)自籌課題“關(guān)注每一個的初中‘差異化遞進(jìn)教學(xué)”的實(shí)踐研究”（批準(zhǔn)號：B-b/2018/02/48）、江蘇省南京市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2018年度課題“波利亞解題思想在初中幾何命題教學(xué)中的實(shí)踐與延伸”（批準(zhǔn)號L/2018/251）和“基本圖形在初中幾何教學(xué)中的滲透策略研究”（批準(zhǔn)號：L/2018/250）的階段性成果之一.

作者簡介：陳靜（193-），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲南京市第二屆鼓樓區(qū)優(yōu)秀青年教師稱號

“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握知識，而且要使學(xué)生掌握思想方法，發(fā)展思維品質(zhì)”“教學(xué)要關(guān)注過程”，這些幾乎已經(jīng)被所有數(shù)學(xué)教師所接受，但在教學(xué)實(shí)踐中很難讓認(rèn)同的理念自覺地影響自己的教學(xué).在初中幾何命題教學(xué)中存在這樣兩種現(xiàn)象：第一，課堂中，新知探究和講例題、練習(xí)的比例不合理，有時放手讓學(xué)生思考、討論、探究，卻導(dǎo)致課堂頭重腳輕;第二，教學(xué)時費(fèi)盡心思引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)定理、證明定理，以為學(xué)生理解了，可是學(xué)生做題時依然不能靈活地運(yùn)用定理.與其抱怨學(xué)生不會解題，不如執(zhí)果索因，反思我們的教學(xué)是否出了問題：學(xué)生的探究體驗(yàn)是否真實(shí)？我們提出的問題是否給予了學(xué)生足夠的探究空間，抑或是一種假探索？我們是否為了趕進(jìn)度、做練習(xí)而出現(xiàn)了學(xué)生圓囧吞棗的教學(xué)？每節(jié)課的結(jié)論固然重要，但如何得到這個結(jié)論更重要;方法很重要，但如何掌握這個方法更重要.也就是獲取知識的知識、提煉方法的方法更有價值.

圓周角定理是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心定理，它是初中定理中史無前例、獨(dú)一無二的“位置不定，但數(shù)量確定”的例子，是第一次采用完全歸納法證明的定理.圓周角定理有兩層意思，一層是“同弧所對的圓周角相等另一層是“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”.圓周角定理的教學(xué)實(shí)質(zhì)就是自然、合理地挖掘和揭示這兩層意思的思維過程.在定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中，蘊(yùn)含了分類討論、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法

三個版本教材的對比及思考

人教版、蘇科版和北師大版教材都是直接給出圓周角的定義，但細(xì)節(jié)略有不同

顯然，北師大版教材的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)，考慮到了交點(diǎn)恰好在頂點(diǎn)的情況.接著，三個版本的教材依次得到了3個命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等;推論1，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑;推論2，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

1.人教版教材

人教版教材直接拋出研究問題：同弧所對的圓心角與圓周角存在什么關(guān)系？先引導(dǎo)學(xué)生測量一種情況，換一條弧，再測量，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并證明.證明時以直線AO與圓周角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)

2.蘇科版教材

蘇科版教材從一個包含了同弧所對的圓心角和三種不同位置的圓周角的圖中，給出圓周角的定義;接下來的操作與思考環(huán)節(jié)，從特殊的90°圓心角出發(fā)，通過度量得到三種位置的圓周角均為45°，同時發(fā)現(xiàn)特殊位置下的等腰直角三角形;接著給出60°的圓心角，又發(fā)現(xiàn)特殊位置下的等腰三角形，得到圓周角為30°;進(jìn)而猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.那如何證明呢？由前面的特殊化經(jīng)驗(yàn)，先研究特殊情形，即圓心在圓周角的一條邊上，由等腰三角形與外角的知識易證對于圓心分別在圓周角內(nèi)部和外部的情形，只要作出直徑，就可以轉(zhuǎn)化成兩種特殊情形的組合了.

3.北師大版教材

化比師大版教材以實(shí)際問題一射門游戲?yàn)閱栴}情境，圓上一點(diǎn)對著球門形成三個張角，由此給出圓周角的定義，接著提出問題：這三個角的大小有什么關(guān)系？先引導(dǎo)學(xué)生操作，給出一個80°的圓心角，畫出它所對的弧所對的圓周角，然后提出問題：它們有什么關(guān)系呢？這些圓周角與這個圓心角的大小有什么關(guān)系？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？改變圓心角的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？證明時以圓心角與圓周角的位置關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)，從特殊到一般，對三種情況分別進(jìn)行了討論.

4.三個版本教材的對比

在推論部分，三個版本的教材大同小異.推論1，當(dāng)圓心角為180°時，圓周角為90°，即直徑所對的圓周角是直角反之，90°的圓周角所對的弦是直徑.這樣的圓心角具備數(shù)量和位置雙重特殊性.推論2，當(dāng)四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上時，得到圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).對于推論2，蘇科版和北師大版都是先給出特殊情形，即一條對角線是直徑時，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和為360°，得到兩組對角分別互補(bǔ)，再推廣至一般情形;人教版則直接由一組對角所對的弧度數(shù)和為360°，得到圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

這三個版本的教材，幾乎都是直接拋出研究問題：同弧所對的圓周角與圓心角之間有什么關(guān)系或同弧所對的圓周角有什么關(guān)系？為什么要討論這個問題？在教學(xué)時，如何引導(dǎo)學(xué)生自己關(guān)注到圓周角與圓心角之間的關(guān)系？如果這個問題不能引起學(xué)生的共鳴，學(xué)生便無法理解研究它的必要性，這部分的教學(xué)將會很生硬、很別扭.另外，證明時為什么要分類？教材中的三種情況是怎么想出來

的？人教版中的折痕AO在證明過程中起到了輔助線的作用，但學(xué)生會想到嗎？另外兩個版本，如何想到以圓心與圓周角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)的？如何發(fā)現(xiàn)圓心在圓周角的一條邊上可作為特殊情形先行研究？這些是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)，如何突破它們成為教學(xué)成敗的關(guān)鍵.

從波利亞的解題思想中得到的啟示

從解題的角度看，本節(jié)課要解決的問題是如何探索與證明圓周角定理.波利亞的解題理論告訴我們，解決一個問題通常有如下四個步驟：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧反思

第一步，理解題目.我們要研究的是什么？這其實(shí)是命題教學(xué)最大的難點(diǎn)，即如何提出問題，我們?yōu)槭裁匆P(guān)注圓周角和圓心角的關(guān)系？北師大版教材的實(shí)際背景直接指向圓周角，實(shí)際上圓中的角不止這兩種，我們還可以關(guān)注同弧所對的圓內(nèi)角、圓外角和圓周角之間的關(guān)系.那如何讓研究對象出現(xiàn)得自然合理呢？學(xué)生首先要理解研究它們的必要性.另外，為什么是同弧？圓周角和圓心角也可以對同弦，這值得研究嗎？我們可以從哪些方面研究圓周角和圓心角的關(guān)系？你可以用什么方式把要研究的對象梳理清楚？先證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半還是先證明同弧所對的圓周角相等？第二步，擬訂方案，這是問題解決的關(guān)鍵步驟.明確了研究對象是圓周角后，如何猜想出圓周角與圓心角的大小關(guān)系呢？這個問題最大的難點(diǎn)在于研究的對象有無數(shù)個.那如何探究這無數(shù)個圓周角與唯一的圓心角之間的數(shù)量關(guān)系呢？人教版教材引導(dǎo)學(xué)生先畫出同弧所對的圓周角和圓心角，再借助量角器度量，猜想出規(guī)律，最后證明.為了化解這一難點(diǎn)，教材中還設(shè)計(jì)了操作：沿著直線AO折疊，直線AO是這個定理證明

時很重要的輔助線，但怎么想到的呢？教學(xué)時總覺得這里不夠自然.蘇科版教材在這個環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)更加用心，從兩個特殊的圓心角（即90°和60°）出發(fā)，找到了特殊的位置，即圓心在圓周角的邊上為后面的一般情況的證明先發(fā)現(xiàn)特殊位置提供可能.實(shí)際上，在度量和疊合的過程中，結(jié)果的指向性是比較明確的，這樣的活動其實(shí)學(xué)生的思維參與度是很低的.作為初三的學(xué)生，那除了這兩種方法而外，還有其他更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▎?？波利亞在《怎樣解題》一書中指出，如果你不能解決所提出的問題，可先去解決一個更特殊的問題，或者解決這個問題的一部分.第一個特殊位置下的研究成為整個證明的突破口（如圖1）;后兩種情況，只需要作出直徑就可以一分為二，轉(zhuǎn)化成兩種特殊情形的組合了（如圖2和圖3）

第三步，執(zhí)行方案.理清了證明思路，下面就用科學(xué)準(zhǔn)確的語言表達(dá)出來.在表達(dá)的過程中，要體會研究過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

第四步，回顧反思.從過程來看，這定理的證明是我們初中第一次使用完全歸納法，即把要研究的某類事物的所有情況先逐一加以討論，或分成幾類，對每類加以討論，再概括得出一般結(jié)論，體現(xiàn)了從無限向有限的轉(zhuǎn)化思想.如何找到分類標(biāo)準(zhǔn)是這個環(huán)節(jié)最大的難點(diǎn)明確了研究對象后，是先證明同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半呢還是先證明同弧所對的圓周角相等呢？實(shí)際上，這兩種思路都是可以的.如果先研究圓周角和圓心角之間的關(guān)系，需要先找到最特殊的情況，即圓心在圓周角的一條邊上，再實(shí)施轉(zhuǎn)化，這是本環(huán)節(jié)的另一個難點(diǎn).如果想直接研究同弧所對的圓周角相等，那應(yīng)如何設(shè)計(jì)問題串，使結(jié)論出來得自然而合理呢？

從結(jié)論來看，這與“兩直線垂直、平行”的本質(zhì)一樣，都揭示了“位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系”的辯證統(tǒng)一，體現(xiàn)了“形內(nèi)外”與“正負(fù)性”的辯證思想在研究“圓與圓的位置關(guān)系”時，當(dāng)兩個圓分別外切與內(nèi)切時，其圓心的距離等于兩圓的半徑之和與半徑之差，也體現(xiàn)了這一思想探索更自然、順暢的教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上對三個版本教材的對比分析和從波利亞解題理論中得到的啟示，筆者大膽突破教材的“權(quán)威”影響，對教材進(jìn)行重新整合、重組，建立新的邏輯體系，探索與圓周角有關(guān)的三個命題的產(chǎn)生和證明更加自然、順暢的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.引入

在八年級下冊中，我們研究過平行

四邊形.它是什么特殊？（形狀特殊）若添加一個條件，即其中一個內(nèi)角為90°，則平行四邊形成了矩形;若添加一組鄰邊相等，則平行四邊形成了菱形.我們研究了這些特殊的平行四邊形的性質(zhì)及判定方法.那是不是所有的四邊形都有外接圓呢？如果一個四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，這種特殊的位置，又會給四邊形帶來什么特殊的性質(zhì)呢？今天我們先來研究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，如圖4.

設(shè)計(jì)意圖在“2.3確定圓的條件”中，學(xué)生知道了“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個圓”，也了解了三角形的外接圓、圓的內(nèi)接三角形的概念，本節(jié)課順勢提出兩個研究問題：是不是所有的四邊形都有外接圓？圓的內(nèi)接四邊形作為一種特殊位置的四邊形，有什么特殊性質(zhì)？從三角形過渡到四邊形，自然、合理、不突元，既與前一節(jié)內(nèi)容關(guān)系緊密，又與平行四邊形的內(nèi)容聯(lián)系緊密體現(xiàn)了知識的整體性和研究方法的前后一致性

2.活動一：圓的內(nèi)接四邊形有什么特殊的性質(zhì)四邊形的內(nèi)角和為360°，當(dāng)四個頂點(diǎn)在同一個圓上時，如圖5，點(diǎn)O在四邊形內(nèi)部，連接四條半徑就可以得到四個等腰三角形，于是四對底角分別相等.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，一組對角處的四個底角之和正好占了四邊形ABCD的內(nèi)角和的一半，即180。

當(dāng)然，還應(yīng)該考慮一種情形，即點(diǎn)O在四邊形外部的情形，如圖6此時∠DAB+∠BCD=∠DAO-∠BAO+∠BCO+∠OCD=∠ODAー∠OBA+∠OBC+∠ODC=∠OBC-∠OBA+∠ODA+∠ODC=∠ABC+∠CDA.所以∠DAB+∠BCD=∠ABC+∠CDA=180°.于是圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

設(shè)計(jì)意圖圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，可以直接通過連接半徑，轉(zhuǎn)化為四個等腰三角形來解決，這回歸到了本源性的知識解決問題上.同時，這一發(fā)現(xiàn)中的180°為接下來關(guān)注圓周角與孤的關(guān)系提供了可能

在這里，類比圓心角的定義，給出圓周角的定義.在剛才的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考：180°是什么？360除了是四邊形的內(nèi)角和而外，還可以是什么？這一組對角在圓上的位置又有何特殊？不難發(fā)現(xiàn)，這組對角所對的圓弧正好組成完整的圓周，而周角正好也是360°，于是猜想：圓周角與其所對的弧之間是否存在某種關(guān)系？

3.活動二：同弧所對的圓周角有什么關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生觀察圖7，保持∠A所對的弧不變，改變∠A的位置，可以發(fā)現(xiàn)∠A和∠E同為∠C的補(bǔ)角，所以∠A=∠E，即在同弧或等弧的條件下，角的頂點(diǎn)在圓周上的位置發(fā)生變化，但其度數(shù)不變，體現(xiàn)了“變中不變”的數(shù)學(xué)思想.

由此，我們可以得到圓周角定理的一部分：同弧所對的圓周角有無數(shù)個它們都相等.

設(shè)計(jì)意圖同孤所對的圓周角有無數(shù)個，它們都相等，這就意味著它們都等于一個確定的值.這里蘊(yùn)含著“變中不變”的圖形規(guī)律，必然存在某種特定的數(shù)量規(guī)律，那這個值是什么呢？一定跟這個唯一的孤有關(guān)系在2.2節(jié)我們已經(jīng)知道，弧有確定的度數(shù)，并且弧的度數(shù)就等于它所對的圓心角的度數(shù).我們不便于研究圓周角與弧的關(guān)系，可以將問題轉(zhuǎn)化為研究角與角之間的關(guān)系，于是我們把問題轉(zhuǎn)化成研究同弧所對的圓周角和圓心角之間的關(guān)系.

4.活動三：同弧所對的圓周角與圓心角之間有什么關(guān)系

研究的對象——圓周角有無數(shù)個，而圓心角只有一個.分類可以將“無限型”問題轉(zhuǎn)化成“有限型”問題.那如何分類呢？一般的思考方法是化一般為特殊，化復(fù)雜為簡單.我們可以從特殊的數(shù)量著手，如畫出90°或60°的圓心角，量出它們所對的弧所對的圓周角的度數(shù)，猜想規(guī)律.那如何證明呢？我們可以再從特殊的位置著手，多畫一些，如圖8～圖10，可以發(fā)現(xiàn)圓心正好在圓周角的一條邊上的情形很特殊（圖8），于是先行研究觀察圖8，連接OC和BC，得到圖11

發(fā)現(xiàn)兩對同弧所對的圓心角和圓周角，∠BOC和∠BAC，∠AOC和∠ABC.利用等腰三角形和外角的性質(zhì)，易得∠BOC=2∠BAC.∠AOC=2∠ABC.

設(shè)計(jì)意圖這個問題解決的是圓周角定理的核心問題，即如何分類，這是難點(diǎn)，突破的方法是尋找特殊情況.這里有兩個思考方向：數(shù)量和位置.特殊的數(shù)量只能提供猜想，但不能解決一般情形.如何從特殊到一般，需要動手操作，多畫一些圖，才能發(fā)現(xiàn)共三種不同的位置，研究角與角之間的關(guān)系時，我們?nèi)菀紫氲降氖抢萌切谓鉀Q，而圓中又蘊(yùn)含著很多等腰三角形，所以將問題聚焦到三角形是明智的選擇.

5.活動四：再觀察圖11，你還可以發(fā)現(xiàn)什么如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，可以推出這個三角形是直角三角形，因此，圖中∠BCA=90.于是可推出直徑所對的圓周角是直角.反之，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在圖11中，當(dāng)以AB為直徑作圓時，由于OC=OA=OB，所以點(diǎn)C在OO上，這就得到90°的圓周角所對的弦是直徑.

設(shè)計(jì)意圖在特殊位置下，必然蘊(yùn)含著特殊的數(shù)量.

這個圖可以說是一圖三用，既解決了特殊情形，又是圓周角定理的突破口，還能得到推論1.實(shí)際上，這個直角三角形仍然可以看成是兩個等腰三角形，所以等腰三角形才是“本源”

最后，回到一般情形，當(dāng)A4，O，B點(diǎn)不共線時，還有點(diǎn)O在圓周角內(nèi)部和外部兩種情形.利用剛才的經(jīng)驗(yàn)，連接AO并延長，就會出現(xiàn)兩種特殊情形的組合圖（如圖12和圖13）

本節(jié)課結(jié)束時，學(xué)生可以繼續(xù)探究同弧所對的圓周角、圓內(nèi)角和圓外角之間的大小關(guān)系”，這有利于構(gòu)建與圓有關(guān)的角的整體結(jié)構(gòu)，進(jìn)而再研究“四點(diǎn)共圓的條件”雖然《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“圓內(nèi)角、圓外角、四點(diǎn)共圓”等內(nèi)容的教學(xué)已不作要求，但這樣的探究活動是很有價值的，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和探究素養(yǎng).

命題學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的優(yōu)質(zhì)素材，教師要在專業(yè)的引領(lǐng)下，挖掘思維因素，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間，將思維能力的培養(yǎng)自然融合到教師的教學(xué)行為中.在概念教學(xué)中，概念的引出要解決必要性的問題，在命題教學(xué)中也要解決如何讓學(xué)生關(guān)注到命題的“探索與證明”的問題，而不是學(xué)生直接解決教師拋出的問題.這對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力起著至關(guān)重要的作用.波利亞在《怎樣解題》一書中有這樣一段話，數(shù)學(xué)的趣味性就在于它需要我們推理和創(chuàng)造能力的充分發(fā)揮.但如果最為引人注目的步驟，其動機(jī)和目的仍不可理解，那么我們在推理和創(chuàng)造方面就學(xué)不到任何東西.

教學(xué)是否真正為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了思維參與的空間，取決于教師對數(shù)學(xué)教育教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識和教育視野的寬度、高度.新課程倡導(dǎo)教師要創(chuàng)造性地使用教材，要在使用教材的過程中融入自己的科學(xué)精神和智慧，對教材進(jìn)行深加工.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，緊扣等腰三角形和直角三角形，實(shí)現(xiàn)了三角形向四邊形的自然過渡，回歸本源，也體現(xiàn)了問題研究的前后一致、邏輯連貫.數(shù)學(xué)知識本身就有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，我們的教學(xué)要站在系統(tǒng)的高度，注重?cái)?shù)學(xué)知識的整體性，幫助學(xué)生理解和領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，這樣才能真正把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).