基于算法視角的解析幾何例題教學(xué)
——橢圓中一類非對稱問題的處理策略*

張文海 (江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的定位:“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果. ”“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)能力；有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. ”

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體之一． 要正確解答圓錐曲線的綜合問題，除了要具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，還需要多一些思考，通過對條件及圖形的分析，合理設(shè)參，確定解題方向，規(guī)劃解題路線，往往能起到簡化運(yùn)算的效果．

圖1

1 明確運(yùn)算對象，探究運(yùn)算思路

例題教學(xué)首先應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起認(rèn)真閱讀題目，理解題意，把要解決的問題作為研究對象，對它進(jìn)行深入而全面的分析，找出題目直接表達(dá)出來的顯性條件和經(jīng)過思考分析合理轉(zhuǎn)化而來的隱性條件，探尋條件與結(jié)論的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，確定運(yùn)算思路． 在此基礎(chǔ)上還需要制定解題計(jì)劃，初步預(yù)設(shè)解題的各個(gè)環(huán)節(jié)：求解這個(gè)問題的第一步做什么？第二步做什么？解決問題的關(guān)鍵是哪一步？哪一步運(yùn)算量可能有點(diǎn)大?如此等等，做到心中有數(shù)．

策略1 直接求根，代入化簡

策略2 瞄準(zhǔn)減元，一減到底

評析 在得到kx1x2+(2k+2)x1+(4k-1)x2+6=0 ①后，抓住x1，x2是方程的兩個(gè)根，故可以通過根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2，x1x2與k的關(guān)系，從結(jié)構(gòu)上去構(gòu)造x1+x2，x1x2進(jìn)行整體代換. 由于是非對稱關(guān)系，所以不能完全用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行徹底的消元，需要再結(jié)合求根法進(jìn)行處理. 這種處理方法先從整體結(jié)構(gòu)上進(jìn)行把握，對于局部的地方再進(jìn)行個(gè)性化的處理，有助于優(yōu)化解題過程，提高解題速度.

2 辨析式子結(jié)構(gòu)，選擇運(yùn)算方法

數(shù)學(xué)運(yùn)算常常包括“數(shù)”的運(yùn)算和“式”的運(yùn)算. 對于“數(shù)”的運(yùn)算，學(xué)生從小到大、從數(shù)學(xué)到生活隨處可見，無形之中鍛煉了運(yùn)算的能力；而對于“式”的運(yùn)算，平時(shí)接觸不多，加上參數(shù)之多，學(xué)生普遍感到棘手. 解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，因而解析幾何題離不開代數(shù)運(yùn)算，這就使得運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生害怕繁難的運(yùn)算. 在解題教學(xué)中教師如能多加強(qiáng)運(yùn)算指導(dǎo)，還是能逐步提高學(xué)生運(yùn)算能力的． 其次，要加強(qiáng)“算理”分析，就是分析運(yùn)算規(guī)則，并形成合理的“算法”思維． 如幫助學(xué)生分析代數(shù)式子的結(jié)構(gòu)特征，展示式子變形中的結(jié)構(gòu)意識，強(qiáng)化觀察運(yùn)算方向的自覺性，強(qiáng)化關(guān)注運(yùn)算結(jié)構(gòu)的簡潔性，選擇合適的運(yùn)算方法.

策略3 瞄準(zhǔn)減元，一減到底

策略4 設(shè)斜求點(diǎn)，抓住共線

評析 遇到斜率問題時(shí)，可以先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示斜率；亦可先設(shè)出直線的斜率，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件處理. 兩種設(shè)法的不同之處在于，第一種設(shè)法斜率表示簡潔，但參數(shù)較多，消參不易；第二種設(shè)法參數(shù)較少，但運(yùn)算量大. 在設(shè)出直線AM，BN的直線后，先把它們和橢圓聯(lián)立求出點(diǎn)M，N坐標(biāo)，再根據(jù)M，N，C三點(diǎn)共線，建立關(guān)于k的方程，通過解方程即可得解.

3 理清問題本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生如何抓住問題中的“變”與“不變”的規(guī)律，以“不變”來應(yīng)“萬變”，直達(dá)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)題海中跳出來，站在更高的角度去看待問題、思考問題，從而達(dá)到提升學(xué)生分析、解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的目的.

策略5 轉(zhuǎn)化位置，巧用公式

4 教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，而解析幾何是落實(shí)這兩個(gè)素養(yǎng)最好的載體之一. 因此，在解析幾何教學(xué)中不僅要重視幾何問題代數(shù)化的思路分析，而且要重視解題過程中運(yùn)算的分析指導(dǎo)，對其中如何運(yùn)算以及如何優(yōu)化運(yùn)算進(jìn)行重點(diǎn)剖析，突破學(xué)生思維中的障礙節(jié)點(diǎn)，解決學(xué)生在解析幾何中常見的思路易得、運(yùn)算受阻的主要問題，使學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)得到真正的提升．

(1)選擇合適的例題，暴露思維的障礙

例題教學(xué)的主要任務(wù)是使學(xué)生通過具體例題的學(xué)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，掌握數(shù)學(xué)基本技能，在問題的分析和解決中形成自己的基本活動經(jīng)驗(yàn)，從而提升自己的數(shù)學(xué)能力. 好的例題可以喚起學(xué)生對舊知識的回憶，促進(jìn)對原有知識的溝通聯(lián)系，調(diào)整學(xué)生頭腦中原有知識的邏輯關(guān)系，借以開闊學(xué)生思路，促使學(xué)生思維向多向發(fā)散． 因此，例題的選擇要注重基礎(chǔ)性、針對性、思想性和拓展性，應(yīng)有利于學(xué)生在易錯(cuò)處、困惑處頓悟，在常規(guī)與平實(shí)中暴露學(xué)生的思維障礙，在不斷糾錯(cuò)和調(diào)整中促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展．

(2)重算法算理分析，優(yōu)化運(yùn)算的路徑

算理是指計(jì)算的原理和依據(jù)，即為什么這樣算；算法指計(jì)算的基本程序和方法，即怎樣算. 算理是算法的基礎(chǔ)，算法則是算理的抽象，因此教學(xué)中要做到算理和算法并重，使理解算理和掌握算法相互作用、共同促進(jìn). 由于一些教師對解析幾何的認(rèn)識定位不準(zhǔn)，平時(shí)的教學(xué)重思路分析、輕運(yùn)算指導(dǎo)，或?qū)⑵鋬H僅等同于運(yùn)算技能，往往只將注意力集中在對運(yùn)算技巧的訓(xùn)練上而缺少對算法背后隱藏算理的揭示，導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然． 案例研究表明，清晰的算法思想和對運(yùn)算過程的預(yù)判、調(diào)整是提高解析幾何解答題運(yùn)算求解能力的根本． 如果我們能從算法的角度預(yù)設(shè)幾個(gè)解題方案，先預(yù)判解法的優(yōu)劣，再確定解題方案，長此以往，就能在解決一道題的同時(shí)發(fā)散學(xué)生的思維，學(xué)生對題目的認(rèn)識就會更深刻． 堅(jiān)持從算法的角度思考問題，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣和認(rèn)知習(xí)慣，定能厚積薄發(fā)．

(3)建構(gòu)自己的理解，促進(jìn)素養(yǎng)的內(nèi)化

解析幾何中不同的解題路徑會產(chǎn)生解決問題的難與易、解題過程繁與簡的差距，而學(xué)生受自身思維的制約，往往不能靈活運(yùn)用已有的知識和解題經(jīng)驗(yàn)對新的問題進(jìn)行巧妙的處理，從而產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)算操作，最終半途而廢，導(dǎo)致解題失敗，久而久之對解析幾何失去信心. 因此，教師要基于學(xué)生的學(xué)情選擇恰當(dāng)?shù)睦}，對學(xué)生進(jìn)行代數(shù)式觀察、運(yùn)算方向監(jiān)控、運(yùn)算長度預(yù)估等多重的思維訓(xùn)練，探索降低運(yùn)算復(fù)雜度的方法和技巧，讓學(xué)生建構(gòu)自己的理解，并激發(fā)出學(xué)生思考的熱情. 在這樣的過程中，學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)都將得到相應(yīng)的提升．

總之，我們只有在解析幾何的教學(xué)中讓學(xué)生多實(shí)踐、多反思、多總結(jié)，方能以簡馭繁，事半功倍. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提高不是一蹴而就的，而是一個(gè)漸進(jìn)的、螺旋式上升的過程. 我們的教學(xué)站位要高、措施要細(xì)、訓(xùn)練要實(shí)，使解題建構(gòu)在高層次的思維面上，讓教學(xué)的每一步都能引導(dǎo)學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).