基于SOLO分類理論，探析高三數(shù)學概念復習的學習進階路徑*

劉綠芹 (江蘇省鹽城市教師發(fā)展學院 224000)

高三數(shù)學的教學過程中，往往忽視概念復習，以致部分學生對概念的理解還停留于高一高二時的狀態(tài)． 高考試卷中的大部分問題都需要學生對概念的理解達到一定的層次，不同難度的問題需要不同的概念理解水平，這就需要學生通過復習，將概念的理解水平提升到更高層次． 本文將基于SOLO分類理論，結(jié)合學習進階理念，以函數(shù)為例，構建高三數(shù)學概念復習的學習進階路徑，并提出教學建議．

1 核心概念的概述

1.1 SOLO分類理論

SOLO分類理論是比格斯在皮亞杰認知發(fā)展階段論的基礎上提出的一種學生學業(yè)評價方法． “SOLO”是英文“Strucre of the Observed Learning Outcome”的縮寫，其意為可觀察的學習結(jié)果的結(jié)構． 該理論是一種以等級描述為特征的質(zhì)性評價方法．[1]比格斯認為，任何學習結(jié)果的數(shù)量和質(zhì)量都是從具體到抽象，從單維到多維，從無序到有序． 他把學生對某個問題的學習結(jié)果和思維水平由低到高劃分為5個層次：前結(jié)構水平、單一結(jié)構水平、多元結(jié)構水平、關聯(lián)結(jié)構水平、擴展抽象水平．

1.2 學習進階理念

美國國家研究委員會(National Research Council，NRC)2005年的報告《國家科學評價體系》，鮮明地提出了學習進階理念，其認為學習進階是“促進課程標準、課堂教學與考試評價三者一致性的有效工具[2]”，包含五個要素：進階終點、進階變量、進階層級、學習表現(xiàn)、評價．

學習進階理念認為，學習是一個逐漸累積、不斷演進的過程，學生對某一內(nèi)容主題的理解存在多個不同的中間水平[3]． 規(guī)劃合理的學習進階過程可作為課程的框架，為課程目標的達成提供進階導航圖，同時，通過及時合理的測量跟蹤學生的進階情況[4]．

1.3 相互關系

實現(xiàn)概念的學習進階，需要解決的主要問題是如何劃分和評價學生的理解水平，即如何測量學生是否達到了進階水平． SOLO分類理論是一種方法論，正好能夠解決該問題，它能夠劃分概念學習的階段，明晰進階路徑和發(fā)展目標，相互關系如圖1． 在學習進階的過程中，SOLO分類理論能夠較為客觀地將學生的理解劃分為五個層次水平，跟蹤學生的進階情況，為學生學習進階提供“臺階”．

圖1 基于SOLO分類理論的學習進階路徑示意圖

2 高三概念復習的學習進階路徑——以函數(shù)復習為例

函數(shù)是數(shù)學核心概念中最重要的概念之一，是最基本的數(shù)學語言和工具，函數(shù)貫穿高中數(shù)學課程的始終． 《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》將函數(shù)的概念列為必修內(nèi)容，由此可見其重要程度． 從教學實踐來看，(學生普遍反映)函數(shù)知識的跳躍性較大，銜接起來較為困難，每一次的“升級”都會使學生有脫節(jié)的感覺． 基于此，在高三函數(shù)概念復習的階段，應著重進階學習，將函數(shù)相關知識關聯(lián)起來，形成網(wǎng)格化的整體．

高三數(shù)學概念的復習不是簡單的知識重復，而是從核心概念逐步拓展與延伸，不斷進階，最終達到課程標準、高考說明中所提的要求． 實現(xiàn)學習進階的基本路徑為：跳出前結(jié)構水平——重視單一結(jié)構水平——延伸多元結(jié)構水平——提升關聯(lián)水平——達到擴展抽象水平． 下面以函數(shù)概念的復習為例，探析學習進階的具體路徑(表1)．

表1 高三函數(shù)概念復習的學習進階

2.1 跳出前結(jié)構水平

前結(jié)構水平的特征表現(xiàn)為：對相關問題沒有認知． 跳出該認知水平是開展高三數(shù)學復習的前提． 在高三的教學實踐中，我們會發(fā)現(xiàn)部分學生對高中階段的函數(shù)概念幾乎一無所知，依然停留在初中階段的“變量說”，即如果一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y為x的函數(shù)． 盡管這部分學生對函數(shù)有了一定的認知，如若在高一年級階段，可以將其認知水平歸類為單一結(jié)構水平，但鑒于高三概念的復習，則應將該認知水平歸類為前結(jié)構水平．

2.2 重視單一結(jié)構水平

單一結(jié)構水平的特征表現(xiàn)為：只有單一的解決問題思路． 單一結(jié)構水平是開展高三數(shù)學復習的基礎，是學習進階的起點． 在初學函數(shù)概念時，一般是在“變量說”的基礎上，引出“對應關系說”． 即，一般地，設A,B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做A到B的一個函數(shù)． 在高三概念的復習中，要能夠在變量說的基礎上，深刻理解初、高中階段函數(shù)概念的區(qū)別，認識到“高中階段是用集合語言和對應關系來刻畫函數(shù)”，達到此類認知水平可歸類為單一結(jié)構水平．

2.3 延伸多元結(jié)構水平

多元結(jié)構水平的特征表現(xiàn)為：擁有多個解決問題的思路，但不能融合這些思路. 多元結(jié)構水平的延伸有助于連點成線、成網(wǎng)． 在高三概念的復習過程中，要深刻分析概念的內(nèi)涵和外延． 例如，在函數(shù)概念中，內(nèi)涵內(nèi)容主要包括定義域、值域及表示方法(圖像法、列表法和解析法)等內(nèi)容． 在此基礎上外延出去，展開函數(shù)的基本性質(zhì)復習，包括函數(shù)單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性等等． 基本掌握這些內(nèi)容后可以將該認知水平歸類為多元結(jié)構水平．

2.4 提升關聯(lián)結(jié)構水平

關聯(lián)結(jié)構水平的特征表現(xiàn)為：能夠?qū)⒍喾N解決問題的思路結(jié)合起來進行綜合考慮． 關聯(lián)結(jié)構水平的目的是連點成線，結(jié)成網(wǎng)，該水平的提升能夠促進綜合問題的解決． 在復習了函數(shù)的概念和性質(zhì)后，概念的復習應進入關聯(lián)階段，即研究基本初等函數(shù)(常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù))就有了方向，即從定義域、值域、解析式、圖像、單調(diào)性、奇偶性、周期性等角度開展基本初等函數(shù)的關聯(lián)研究，同時，還能進行基本初等函數(shù)的簡單復合嘗試與研究． 此類認知水平可歸類為關聯(lián)結(jié)構水平． 提升關聯(lián)結(jié)構水平能夠切實提高高三數(shù)學復習效率和學業(yè)成績．

2.5 達到擴展抽象水平

擴展抽象水平的特征表現(xiàn)為：能夠?qū)ο嚓P問題進行抽象、拓展，并能夠站在理論高度進行問題的分析與解決． 擴展抽象水平是學習進階的終點，對學生的抽象思維能力要求較高． 在高三函數(shù)復習的過程中，要跳出單一模塊化思維． 高中階段顯著涉及函數(shù)的內(nèi)容還有數(shù)列、導數(shù)，這兩項內(nèi)容被《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》列為“選擇性必修”(注：必修和選擇性必修均為高考內(nèi)容)． 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是高考中的核心知識點之一，其中等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查要求為C等次(最高要求等次)，在解決數(shù)列問題時，函數(shù)理念一直伴隨其中． 另外，導數(shù)也是研究函數(shù)的重要工具，它能夠定量地刻畫函數(shù)的局部變化，蘊含著微積分的思想，為學生將來開展高等數(shù)學的學習打下基礎．

3 建議與思考

3.1 對高三數(shù)學概念復習的教學建議

第一，要注重概念的發(fā)展研究． 數(shù)學概念的形成需要經(jīng)歷一個發(fā)展過程，在不同的階段有著不同的理解要求和表達方式． 在概念的發(fā)展初期，表達形式可能較為淺顯、直觀；在中期，表達形式可能被進一步抽象、概括；在后期，表達形式可能最為完美、完善；在未來，表達形式還有可能進一步得到發(fā)展． 因此，在高三階段數(shù)學概念的復習教學過程中，特別需要強調(diào)概念的發(fā)展觀，要著重復習概念的來龍去脈，理清概念發(fā)展脈絡，特別是要讓學生理解“初期概念的局限性在哪”，“現(xiàn)在概念的優(yōu)越性在哪”，“未來概念還可以向哪個方向發(fā)展”等等． 概念的初期及現(xiàn)在是高三復習的核心，未來概念的發(fā)展可以給學生做適當?shù)囊龑?，為學有余力的學生提供空間． 同時，在復習的過程中，應有意識地穿插思辨型習題，使學生加深對概念的理解．

第二，要注重概念的內(nèi)涵挖掘． 每一個數(shù)學概念都有著豐富的內(nèi)涵，有的是顯性的，有的是隱性的． 挖掘概念內(nèi)涵是加深概念理解的必要手段，挖掘方法一般有兩種，一是充分性挖掘． 這是將概念中的充分性條件逐一找出，并對這些條件的各種變形進行總結(jié)和歸納，以便在高考中能夠認清問題的本質(zhì)；二是必要性挖掘． 這是將概念的特點、性質(zhì)及其邏輯方式等等變成自己解決問題的工具，并力爭做到舉一反三，觸類旁通．

第三，注重概念的外延拓展． 數(shù)學中的每一個概念都不是單獨存在的，它一定與某些數(shù)學概念相關聯(lián)． 概念的外延有兩種情形，一是在某些特定條件下，一些數(shù)學概念可以有多種解釋，比如數(shù)列在特定環(huán)境下就是函數(shù)，一些特定函數(shù)在某些情境下也可以看成數(shù)列． 二是看似不相關的概念在某種問題中可以互相融合，例如在立體幾何問題中存在三角函數(shù)關系． 現(xiàn)如今的高考數(shù)學試卷中已少有單獨考查某一個知識點的問題，大多數(shù)高考題往往是將多個知識點相關聯(lián)的綜合題． 因此，在概念復習過程中，我們要對數(shù)學概念進行適當?shù)耐庋雍屯卣?，試著將多種不同概念相互拓展延伸，提升解決數(shù)學問題的綜合能力．

3.2 對學習進階路徑的思考

基于SOLO分類理論的學習進階路徑設計是否合理，重點在于兩項內(nèi)容．

第一，評價指標的設置是否合理． 學習進階的建立依賴于評價，因此，學習進階與評價之間有著天然的聯(lián)系[5]． 盡管SOLO分類理論已經(jīng)將學生認知水平劃分為五個層次，但具體到某個概念、某個知識的理解水平劃分還需要教師對相關知識有較為深刻的認識． 同時，要求對數(shù)學課程標準、高考考試說明有較深的理解． 比如，復數(shù)知識在高考考試說明中屬于A級的內(nèi)容，那么若將其定為擴展抽象水平則顯然不合適． 同時，設計評價指標還要結(jié)合學生的層次水平． 例如，在某些基礎較好的學生群體中，可以忽略前結(jié)構水平和單一結(jié)構水平的設計，著重設計后三個層次水平．

第二，進階策略是否符合學生認知． 不同層級水平的學生應該采用不同的進階策略，一般情況下不建議越級進階，循序漸進逐級提升是學習進階的重要原則． 在平時的教學過程中，“夾生飯”“吃不飽”現(xiàn)象就是因為教師的教學策略不符合學生認知水平，妄圖用一種教學策略解決所有層次學生的問題． 對基礎薄弱的學生，要著重跳出前結(jié)構水平，往單一結(jié)構水平上發(fā)展；對中等水平的學生，要注重延伸多元結(jié)構水平、提升關聯(lián)結(jié)構水平，達到高考要求；對頂尖水平的學生則要鼓勵其達到擴展抽象水平，使其在數(shù)學上得到更高的發(fā)展，實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展[6]”這一目標．