α階強β-螺線形函數(shù)類亞歷山大變換的對數(shù)導(dǎo)數(shù)范數(shù)上界估計

段 敏

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004;2.湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 長沙 410132)

萬有Teichmüller空間的邊界和對數(shù)螺線的自相似擬弧之間有著一種深層的關(guān)系，許多數(shù)學(xué)家建立了Teichmüller空間理論與對數(shù)導(dǎo)數(shù)、Schwarz導(dǎo)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。例如，Yamashita[1-2]和Sugawa[3]分別對α階凸函數(shù)類和α階強星形函數(shù)類的對數(shù)導(dǎo)數(shù)范數(shù)的上界進行了估計。Okuyam[4]給出了β-螺線形函數(shù)類的定義，并在對數(shù)導(dǎo)數(shù)意義下估計了螺線形函數(shù)類的范數(shù)。馮小高等[5]構(gòu)建了在Δ單頁且能擬共形延拓到全平面的解析函數(shù)，簡化了萬有Teichmüller空間2個性質(zhì)的證明。

然而，螺線形函數(shù)類亞歷山大變換的對數(shù)導(dǎo)數(shù)范數(shù)上界估計仍不明確。郭輝[6]借助廣義Schwarz引理對Landau定理中關(guān)于上界做了進一步改進并得到了一個帶參數(shù)的上界表達式。Mercer等[7]得到了單位圓盤解析自映射雙曲導(dǎo)數(shù)的Schwarz-pick估計。Patrice[8]利用雙曲分差推廣了雙曲導(dǎo)數(shù)的概念，并給出了關(guān)于這些導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick定理的類比。為此，從屬函數(shù)原理出發(fā)，結(jié)合廣義Schwarz引理和Schwarz-pick估計構(gòu)建上界表達式。

1 基本引理[9]

引理1設(shè)f是Δ內(nèi)的解析函數(shù)，且f(Δ)?Δ，f(0)=0，則有|f′(0)|≤1且|f(z)|≤|z|， ?z∈Δ。若|f′(0)|=1，對于一點z0∈Δ{0}，有|f(z0)|=|z0|，則f(z)≡μz，且|μ|=1。

引理2設(shè)f是Δ內(nèi)的解析函數(shù)，且f(Δ)?Δ，ρ為Δ上的Poincarè密度，則有

ρ(f(z))|f′(z)|≤ρ(z)，z∈Δ。

其中c(α)為方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在(1,∞)內(nèi)的唯一解。

2 主要結(jié)果與證明

用S(α，β)表示α階強β-螺線形函數(shù)類，

S(α,β)=

其中0<α<1，-πα/2<β<πα/2。

定理11)對于?f∈S(α,β)，存在常數(shù)M(α)，有

‖J[f]‖≤M(α)，

其中

c(α)為方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在(1,∞)內(nèi)的唯一解。

2)若f∈S(α,β)，

則‖J[f]‖≤M(α)γ，0≤γ<1，且γ依賴于a和函數(shù)f。

3)若f∈S(α,β)，‖J[f]‖=M(α)，則

所以

故構(gòu)造的函數(shù)

函數(shù)F(z)構(gòu)造過程如圖1所示。

圖1 函數(shù)F(z)構(gòu)造過程

可令

所以

M(F*(|z|)-1)。

由Schwarz引理有|φ(z)|≤|z|，且F*(t)在t∈(0,1)內(nèi)是一個單調(diào)遞增函數(shù)，因此有

其中c為方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在區(qū)間(1,∞)內(nèi)唯一的根。此時可記

其中M(α)為常數(shù)。對于M(α)，Sugawa[3]給出了取值范圍,

2α

b)估計M的大小。作

變換，g(z)為單位圓上的自同構(gòu)，且滿足

由以上變換可求出

則有

因此

I≤MQ(|z|)≤M(α)。

綜上可得，

2)設(shè)f(z)∈S(α,β)，φ(z)=μz，|μ|=1，則

又因為

所以

兩邊積分可得，

|φ(z)|≤|z|Q(|z|)，z∈Δ，

令

求二階導(dǎo)，得

又因為

f(z)=z+a2z2+a3z3+a4z4+…，

所以

f′(z)=1+2a2z+3a3z2+4a4z3+…，

zf′(z)=z+2a2z2+3a3z3+4a4z4+…，

1+a2z+(2a3-a22)z2+…。

p′(0)=a2，

所以

故

ii)估計A與B。由Schwarz引理知，當(dāng)|φ(z)|<|z|，z∈Δ時，|φ′(0)|<1，即

0

令

又由于φ(z)=zχ(z)，故兩邊求導(dǎo)得，

φ′(0)=χ(0)，φ″(0)=2χ′(0)。

故有

所以

0

綜上所述，

0

iii)估計‖J[f]‖。

其中z∈Δ{0}。令

則

因為0

對U(t)求一階導(dǎo)可知，U(t)是在閉區(qū)間[0,1]上的單調(diào)遞減函數(shù)，如圖2所示。

圖2 U(t)函數(shù)單調(diào)遞減

由引理3知：N(t)在t∈(0,t(α))單調(diào)遞增，在t∈(t(α),1)單調(diào)遞減。

b)t0=t(α)時，因為U(t)在t∈[0,1]是單調(diào)遞減的，所以

N(t0)U(t0)α

c)當(dāng)t0≠0或t(α)時，因為U(t0)α<1，所以N(t0)U(t0)α

‖J[f]‖≤M(α)γ， 0≤γ<1，

其中γ依賴于函數(shù)f和α。

3 結(jié)束語

基于廣義Schwarz引理和Schwarz-pick估計方法，提出了α階β-螺線形函數(shù)類亞歷山大變換的對數(shù)導(dǎo)數(shù)范數(shù)上界表達式，得到了3個定理，推廣了Schwarz導(dǎo)數(shù)和對數(shù)導(dǎo)數(shù)在Teichmüller空間理論中的應(yīng)用。