四元數(shù)在多分量地震數(shù)據(jù)處理中的應用研究現(xiàn)狀

李遠芳,汪 超,王 赟

(1.中國科學院地球化學研究所,礦床地球化學國家重點實驗室,貴州貴陽 550081;2.中國科學院大學,北京100049;3.中國地質(zhì)大學(北京)地球物理與信息技術(shù)學院,北京 100083)

多分量地震勘探技術(shù)利用了地震波的縱橫波特性。檢波器記錄到的多分量地震數(shù)據(jù)保存了質(zhì)點在垂直和水平方向的線性運動情況,完整記錄了地震波的矢量場信息[1]。矢量場信息有助于更加詳細、精確地刻畫地下介質(zhì)的構(gòu)造、巖性、流體飽和度、孔隙壓力和裂縫等特征[2]。目前,處理多分量地震數(shù)據(jù)通常采用先將矢量場信息分解為幾個標量場分量數(shù)據(jù),再對各個標量場分量數(shù)據(jù)單獨處理的方法[3]?；跇肆繄龅亩喾至康卣饠?shù)據(jù)處理技術(shù)雖然可以處理多個分量數(shù)據(jù),但因未能充分挖掘多分量地震數(shù)據(jù)攜帶的矢量信息,容易破壞矢量數(shù)據(jù)的相對振幅關(guān)系[4-8]。因此,保持矢量特征的矢量場處理技術(shù)是當前多分量地震數(shù)據(jù)處理技術(shù)發(fā)展的重要方向之一[9-12]。

1840年,哈密頓首次提出四元數(shù)概念,上世紀60年代,四元數(shù)廣泛應用于剛體力學等領(lǐng)域,而后經(jīng)過幾十年的發(fā)展形成了較完備的四元數(shù)理論。理論上,四元數(shù)作為Clifford代數(shù)的一個子代數(shù),是復數(shù)在三維實空間的延伸。從形式上看,四元數(shù)由一個實部和3個虛部組成,適合表達多分量數(shù)據(jù),其在描述和分析處理三維空間各種矢量運動上具有獨特的優(yōu)勢[9]。四元數(shù)的建立為矢量信號處理提供了有力的工具,將四元數(shù)理論推廣至多分量地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域,可以建立一個完整的矢量場多分量地震數(shù)據(jù)處理流程[13-17]。1989年,DAVIES等[10]首次系統(tǒng)提出了地球物理積分變換中的四元數(shù)方法,該方法在二維地球物理場方程計算結(jié)果的基礎上引入四元數(shù),為三維向量場的積分變換提供了有效的手段。將四元數(shù)與數(shù)學變換工具相結(jié)合,可以使得一些標量場的處理手段能夠被應用于矢量場的處理中,如CHOUKROUN等[11]和SABATINI[12]將卡爾曼濾波器(Kalman filter)推廣到四元數(shù)領(lǐng)域并將其應用于磁傳感器方向定位。

1 四元數(shù)基礎理論

1.1 四元數(shù)及四元數(shù)矩陣

四元數(shù)通常采用下列形式來表示[9]:

q=a+bi+cj+dk

(1)

式中:a,b,c,d均為實數(shù),i,j,k為虛數(shù)單位。i,j,k滿足如下關(guān)系:

ij=-ji=k

jk=-kj=i

(2)

ki=-ik=j

當a=0時,(1)式為q=bi+cj+dk,q為純四元數(shù)。

四元數(shù)是復數(shù)的擴充形式,滿足一般復數(shù)的運算法則,但四元數(shù)乘法不滿足乘法交換律。為了避免乘法的不可交換性造成的繁瑣運算,通常引入四元數(shù)復表示和實表示將四元數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為復數(shù)域和實數(shù)域上的等價運算問題。定義四元數(shù)q=a+bi+cj+dk的實表示為:

(3)

四元數(shù)q的復表示為:

(4)

同樣地,定義四元數(shù)矩陣A如下:

A=(aij)m×naij∈

(5)

(6)

(7)

1.2 多分量地震數(shù)據(jù)的四元數(shù)形式

四元數(shù)形式上的特點使得它非常適合表達多個分量的數(shù)據(jù)。例如海底電纜采集的四分量(4C-OBC)地震數(shù)據(jù),即地震檢波器記錄到的壓力標量和x,y,z3個方向上的位移矢量,可以表示為四元數(shù)形式,3個方向上的位移矢量對應3個虛部,壓力分量對應實部。而陸地勘探的三分量地震數(shù)據(jù),只需將實部設置為0,表示為只含有3個虛部的純四元數(shù)即可。

若用pi(t)代表第i時刻記錄的壓力分量時間序列,用xi(t),yi(t),zi(t)分別表示第i時刻地震檢波器記錄的X,Y,Z分量上的時間序列,則可以定義四分量地震數(shù)據(jù)時間序列如下:

qi(t)=pi(t)+ixi(t)+jyi(t)+kzi(t)

(8)

類似地,對于三分量地震數(shù)據(jù)來說,可以將其定義為一個純四元數(shù)的時間序列并表示如下:

qi(t)=ixi(t)+jyi(t)+kzi(t)

(9)

如果頻率域兩個分量地震數(shù)據(jù)用D1,D2表示為:

D1(ω,x)=D1,real(ω,x)+D1,imag(ω,x)i

(10)

D2(ω,x)=D2,real(ω,x)+D2,imag(ω,x)i

(11)

那么二分量地震數(shù)據(jù)可以用四元數(shù)形式表示為:

Q(ω,x)=D1,real(ω,x)+D1,imag(ω,x)i+D2,real(ω,x)j+D2,imag(ω,x)k

(12)

一個大小為m×n(m為時間,n為道數(shù))的多分量地震記錄可以統(tǒng)一表示成m×n大小的四元數(shù)矩陣:

(13)

因此多分量地震數(shù)據(jù)可以表示為四元數(shù)矩陣,并利用四元數(shù)的代數(shù)方法來處理。

四元數(shù)應用理論和方法的不斷完善為利用四元數(shù)進行多分量地震數(shù)據(jù)矢量去噪研究提供了堅實的基礎和新工具。MANDIC等[18]提出利用HR梯度算子對線性四元數(shù)進行求導運算。JIANG[19]對HR梯度算子進行擴展,提出了適用于非線性四元數(shù)的廣義梯度算子,并給出了最小二乘法和非線性自適應法計算公式的導數(shù)表達式。XU等[20]推導了四元數(shù)優(yōu)化問題中梯度、海森矩陣(Hessian)和學習進化的運算法則。由于四元數(shù)在矢量代數(shù)和矢量分析中的優(yōu)越性,因此在信號處理領(lǐng)域中,相關(guān)學者將四元數(shù)理論與現(xiàn)有的信號處理手段相結(jié)合,發(fā)展了一套較為完備的高維矢量信號處理方法。1992年,ELL[21]首次給出了四元數(shù)傅里葉變換(quaternion Fourier transform,QFT)的定義,隨后SANGWINE等[22]和ELL等[23]對離散四元數(shù)傅里葉變換進行了深入研究。2001年,PEI等[24]利用快速傅里葉變換算法(fast Fourier transform,FFT)實現(xiàn)了四元數(shù)傅里葉變換、四元數(shù)卷積和四元數(shù)相關(guān)計算。BAHRI等[25]提出了短時四元數(shù)傅里葉變換,可以對非平穩(wěn)信號進行更加準確的分析。BüLOW[26]在四元數(shù)傅里葉變換的基礎上,提出了Gabor小波變換,實現(xiàn)了具有局部高斯窗的四元數(shù)傅里葉變換。在此基礎上,SOULARD等[27]提出了可對四元數(shù)時變系統(tǒng)進行多尺度多分辨率分析的四元數(shù)小波變換。

2 四元數(shù)在多分量地震數(shù)據(jù)處理中的應用

2.1 速度分析

速度分析是地震數(shù)據(jù)處理流程中必不可少的環(huán)節(jié)之一,對后續(xù)的疊加成像至關(guān)重要。速度分析方法主要包括兩類。①疊加類方法:對各個地震道的振幅值求和并計算平均振幅,最大振幅值所對應的速度即為疊加速度值;②相關(guān)類方法:計算各個地震道的相關(guān)系數(shù),根據(jù)相關(guān)系數(shù)值來獲取速度。疊加類方法計算量較小,計算結(jié)果可靠性高;相關(guān)類方法的靈敏度高,求取的速度譜峰值明顯,但隨機干擾較大時,其計算結(jié)果不穩(wěn)定。

對于多分量地震數(shù)據(jù),通常將其分為3個方向的單分量標量地震數(shù)據(jù)分別進行處理。單分量的標量速度分析方法計算過程簡單但卻忽略了如縱橫波速度比、地震事件相關(guān)性等波場矢量信息。為了保留波場矢量信息,GRANDI等[14]引入四元數(shù)來實現(xiàn)三維數(shù)據(jù)的速度分析,即先將時窗數(shù)據(jù)映射到四元數(shù)域中,再將常規(guī)的速度分析方法應用于四元數(shù)域。四元數(shù)速度分析流程如圖1所示。

圖1 四元數(shù)速度分析流程

圖1中的速度檢測因子即為各種速度分析方法(即相似系數(shù)法、協(xié)方差法、匹配濾波法以及復匹配濾波與協(xié)方差結(jié)合法)所用的相干函數(shù)。上述速度分析方法及相關(guān)計算公式分別介紹如下。

2.1.1 四元數(shù)相似系數(shù)法[14]

該方法的相似系數(shù)Qs為:

(14)

式中:T是時間窗口的長度;G是地震檢波器的數(shù)量;qi為(8)式中四元數(shù)形式的多分量地震時間序列。四元數(shù)相似性系數(shù)法需要在CDP道集上對雙曲線時窗內(nèi)的多道炮集記錄進行互相關(guān),互相關(guān)結(jié)果反映了地震信號能量的變化。相似系數(shù)作為最常用、最簡單的相干函數(shù),為所有地震道疊加后能量和疊加前地震道能量和的比值,其計算過程簡單,但對于相近或干涉的同相軸,因疊加的能量存在極大值,會影響速度譜的分辨率。此外,該方法計算高效,魯棒性強,但當振幅值變化較大時,計算得到的相似系數(shù)值不準確[28-30]。

2.1.2 四元數(shù)匹配濾波法[14,31]

利用該方法模擬的波形與給定波形的相關(guān)度為:

(15)

式中:τi為雙程旅行時;vi為疊加速度;ρ(xj;τi,vi)為給定的單道歸一化相關(guān)函數(shù),ρ(xj;τi,vi)=w*d(xj)/‖w‖‖d(xj)‖,其中,w為已知的子波,d(xj)為經(jīng)過NMO校正過的時窗數(shù)據(jù);*代表褶積;‖·‖代表范數(shù)。

匹配濾波法建立在已知地震子波的振幅譜基礎上,根據(jù)不同速度的分量頻譜不同的原理,對每個分量使用不同的地震子波。單分量數(shù)據(jù)處理時,對時窗內(nèi)的數(shù)據(jù)進行希爾伯特變換得到復數(shù)域的矩陣,而四元數(shù)矢量數(shù)據(jù)處理時直接將三分量地震數(shù)據(jù)映射到四元數(shù)域得到四元數(shù)矩陣。根據(jù)(15)式對四元數(shù)矩陣進行匹配濾波,能有效壓制隨機噪聲和相干事件的影響。與四元數(shù)相似系數(shù)法相比,四元數(shù)匹配濾波法可用于處理振幅隨偏移距變化的地震資料。

2.1.3 協(xié)方差方法[14]

該方法主特征值與其它特征值的信噪比SNR為:

(16)

式中:λi為協(xié)方差矩陣的特征值;N為總道數(shù)。

GRANDI等[14]將協(xié)方差方法應用于超復數(shù)域四元數(shù)中,首先將每個地震道表示成四元數(shù)形式,給定一組速度范圍值,從各道對應的速度時窗中提取四元數(shù)矩陣,然后,計算提取的四元數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,四元數(shù)矩陣與四元數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣相乘以構(gòu)建一個四元數(shù)協(xié)方差矩陣,再計算協(xié)方差矩陣的特征值,最后利用(16)式計算出的信噪比值來選擇權(quán)重得到速度譜。當拾取速度正確時,信號的能量只反映在主特征值中,其它的小特征值急劇減小。對多道求和得到的超道集采用上述方法計算可以提高信噪比,減少計算時間。

2.1.4 四元數(shù)匹配濾波和協(xié)方差結(jié)合法

該方法將四元數(shù)匹配濾波和協(xié)方差方法相結(jié)合,進一步提高了時間分辨率,同時有助于消除不同接收器響應對地震數(shù)據(jù)的影響[15]。

以上4種方法在合成地震數(shù)據(jù)以及實際地震數(shù)據(jù)上的測試應用均表明四元數(shù)相干函數(shù)拾取到的速度譜比對應的標量相干函數(shù)拾取到的速度譜具有更高的分辨率,同時拾取時間比X,Y,Z每個分量逐一拾取的總時間更少,拾取速度更快[14-15,32-33]。更為明顯的優(yōu)勢在于矢量數(shù)據(jù)的保真度高,對于存在明顯的剪切波分裂的情況,四元數(shù)相干函數(shù)可以同時聚焦快橫波(S1)和慢橫波(S2)地震事件。

2.2 反褶積處理

反褶積處理是地震數(shù)據(jù)處理的基本步驟之一,其主要目的是壓縮地震子波,提高地震資料縱向分辨率。多數(shù)反褶積方法基于標量場,對矢量場多分量反褶積的研究較少。1970年,TREITEL[34]設計了多通道反褶積,隨后CLAERBOUT[35]將其發(fā)展為多分量反褶積,他們將所有分量的時間序列排列為一個長矢量,作為一個單分量地震記錄進行處理。2012年,MAZZOTTI等[15]和MENANNO等[36]利用四元數(shù)表示矢量的優(yōu)勢,提出了反褶積的四元數(shù)形式,并且推導了維納反褶積的四元數(shù)公式,將經(jīng)典的維納反褶積方法拓展為四元數(shù)維納反褶積方法。合成地震記錄和實際地震記錄中標量反褶積和四元數(shù)反褶積處理結(jié)果表明,四元數(shù)維納反褶積方法無論應用于脈沖反褶積處理還是預測反褶積處理,都優(yōu)于標量反褶積方法。

四元數(shù)維納反褶積方法是對復維納反褶積方法的拓展,設計四元數(shù)濾波器fn使得實際輸出yn和期望輸出dn之間的平方差誤差最小,其中實際輸出取決于對輸入道xn進行的四元數(shù)濾波效果。誤差函數(shù)J為:

J=E[|dn-fn*xn|2]

(17)

式中:dn為期望輸出;fn*xn為實際的輸出;E為期望。

MENANNO等[36]將復數(shù)求導算子推廣到四元數(shù)中,利用對誤差函數(shù)求導來求取誤差函數(shù)最小值。由于四元數(shù)乘法具有不可交換性,所以四元數(shù)維納濾波的矩陣形式為:

(18)

式中:Rxx[i],Rdx[i]分別為四元數(shù)自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù),分別定義如下:

(19)

(20)

選取相同的參數(shù)分別進行四元數(shù)矢量反褶積和標量反褶積處理,處理結(jié)果表明水平分量四元數(shù)矢量反褶積處理方法明顯優(yōu)于標量反褶積處理方法,其輸出更接近理想反射系數(shù)序列。垂直分量四元數(shù)矢量反褶積和標量反褶積處理結(jié)果差異不明顯,但根據(jù)每個分量實際輸出和期望輸出之間的平方誤差值可知,多分量四元數(shù)矢量反褶積處理結(jié)果更接近期望輸出。為測試不同反褶積方法的處理效果,對同一個合成地震記錄加上80m深水層引起的海底混響,分別進行X分量四元數(shù)矢量反褶積和標量反褶積處理,圖2,圖3和圖4分別為X、Y、Z分量四元數(shù)矢量反褶積處理和標量反褶積的處理結(jié)果及二者的誤差平方和,圖中的紅線代表標量反褶積的處理結(jié)果,綠線代表多分量四元數(shù)矢量反褶積的處理結(jié)果,可以看出,對水平分量(X和Y)而言,四元數(shù)矢量反褶積處理結(jié)果明顯優(yōu)于標量反褶積處理結(jié)果。因Z分量四元數(shù)矢量反褶積和標量反褶積的信號幾乎完全重疊,故對二者的誤差平方和進行了計算,計算結(jié)果表明Z分量四元數(shù)矢量反褶積處理的誤差平方和小于標量反褶積處理誤差平方和。

2.3 矢量去噪與矢量重建

基于矢量場的多分量地震去噪方法[37-48]包括3種方法。①極化率濾波方法:根據(jù)不同類型的地震波在傳播過程中的偏振方式不同進行差異識別和波形分離。②基于矢量統(tǒng)計排序的矢量波場濾波方法:作為一種以多元數(shù)據(jù)排序統(tǒng)計分析為基礎的濾波方法,可細分為矢量中值濾波方法、矢量方向濾波方法和多道α截集均值濾波方法。③基于組稀疏表示的多分量聯(lián)合去噪方法:將時間域的含噪信號通過數(shù)學變換到其它域進行信號與噪聲的分離,其中的數(shù)學變換通常包括傅里葉變換、小波變換和S變換等。利用張量降秩理論中經(jīng)典的奇異值分解方法可以實現(xiàn)四元數(shù)多分量地震數(shù)據(jù)去噪。

圖2 X分量四元數(shù)矢量反褶積處理和標量反褶積處理結(jié)果(a)及二者的誤差平方和(b)

圖3 Y分量四元數(shù)矢量反褶積處理和標量反褶積處理結(jié)果(a)及二者的誤差平方和(b)

圖4 Z分量四元數(shù)矢量反褶積處理和標量反褶積處理結(jié)果(a)及二者的誤差平方和(b)

2004年,BIHAN等[13]首次將四元數(shù)應用于多分量地震數(shù)據(jù)處理中,提出了一種基于四元數(shù)奇異值分解的去噪方法。該方法首先將3個分量的地震數(shù)據(jù)分別作為四元數(shù)的3個虛部,而后將多道地震數(shù)據(jù)構(gòu)成一個四元數(shù)矩陣,再對四元數(shù)矩陣進行奇異值分解,最后選取能量集中的前幾個奇異值進行重構(gòu)達到去噪的目的。四元數(shù)奇異值分解算法如下:

1) 給定四元數(shù)矩陣A,求出A的復表示矩陣Aσ;

2) 對復矩陣Aσ進行雙對角化分解,得到雙對角化矩陣B;

3) 對B進行奇異值分解,求出Uσ和Vσ;

5) 利用復表示矩陣的逆變換,求出U,V,Σ。

圖5,圖6,圖7和圖8分別是原始的不含噪三分量地震信號、含噪的矢量地震信號、四元數(shù)奇異值分解去噪后的矢量地震信號以及標量奇異值分解去噪后的矢量地震信號,3個分量分別用四元數(shù)的3個虛部單元i,j,k表示。不難發(fā)現(xiàn),四元數(shù)奇異值去噪方法比標量奇異值分解去噪方法能更好地壓制噪聲且保幅效果良好。

去噪理論的核心思想為放大信號和噪聲之間的差異,通過識別差異來保留需要的信號?；趶埩拷抵壤碚摰娜ピ胨惴ㄔ頌?一個張量或低秩的矩陣所表示的完整的地震數(shù)據(jù),會因噪聲增加矩陣的秩或張量的階,故利用降秩可以有效地對地震數(shù)據(jù)進行去噪。缺失的地震道被視作隨機噪聲,影響矩陣的秩,因此降秩算法能夠同時實現(xiàn)去噪與重建?；谙∈枳儞Q理論的去噪方法如QFT、Radon變換和Curvelet變換[37]方法等均可用于地震矢量數(shù)據(jù)的重建。STANTON等[17]將四元數(shù)與稀疏變換理論相結(jié)合,提出了一種將四元數(shù)傅里葉變換與凸集投影(projection onto convex sets,POCS)相結(jié)合的多分量地震數(shù)據(jù)矢量重建方法,首先將X和Y兩個水平分量變換到頻率域以獲得4個正交量(每個分量均含1個實部和1個虛部),然后將4個正交量用一個形如(12)式的四元數(shù)統(tǒng)一表示,對每個頻率成分沿4個空間方向進行QFT,再將正交的X和Y兩個水平分量數(shù)據(jù)變換到頻率波數(shù)域,最后利用POCS方法重建多分量地震數(shù)據(jù)。該方法保證了輸入分量的正交特性,同時提高了重建地震數(shù)據(jù)的質(zhì)量,但該方法存在局限性,其在多分量數(shù)據(jù)頻譜不重疊時重建地震數(shù)據(jù)的質(zhì)量較差。

圖5 原始的不含噪三分量地震信號

圖6 含噪的矢量地震信號

圖7 四元數(shù)奇異值分解去噪后的矢量地震信號

圖8 標量奇異值分解去噪后的矢量地震信號

2.4 其它應用

白清云[49]首先利用二階對稱的四元數(shù)QFT在一個象限內(nèi)完全恢復了原信號,然后定義了二維的四元數(shù)解析信號,再對四元數(shù)解析信號反演求取縱橫波的二維瞬時屬性比值,得到的油氣藏刻畫結(jié)果更清晰,最終能更有效地進行油氣預測。從四元數(shù)信號中提取的瞬時振幅比屬性充分考慮了儲層橫向變化帶來的影響,因此油氣預測效果優(yōu)于利用標量信號提取出的縱橫波瞬時振幅比屬性。四元數(shù)還可應用于地球物理勘探中的采集環(huán)節(jié),KRIEGER等[50]提出了一種基于四元數(shù)的多分量地球物理傳感器優(yōu)化定位的方法,利用該方法計算得到的多分量檢波器方位矯正量更加準確穩(wěn)健。SAJEVA等[16]提出了一種基于四元數(shù)奇異值分解(quaternion singular value decomposition,QSVD)識別體波與面波并從波場中分離瑞利波的方法。單色瑞利波模態(tài)的位移可以表達成秩為1的四元數(shù)矩陣,通過群速度校正、瞬時極化校正以及逐道相移旋轉(zhuǎn),可以使得修正后的瑞利波模式映射到四元數(shù)體中的第一個特征值中,因此采用QSVD方法能從體波和高階瑞利波模態(tài)中分離出瑞利波。合成數(shù)據(jù)測試結(jié)果表明,采用QSVD方法可以分離體波與瑞利波,可以從高階瑞利波中將基階瑞利波分離出來。

四元數(shù)還可以應用于其它多分量地震矢量場中,如時間延遲分析和邊緣檢測[51]以及各向異性反演等[52]。

3 討論與結(jié)論

四元數(shù)理論并非單一的理論,而是一個理論框架,將四元數(shù)方法理論與多分量地震數(shù)據(jù)處理相結(jié)合,以四元數(shù)矩陣傅里葉變換、四元數(shù)卷積、四元數(shù)矩陣奇異值分解等理論作為主要數(shù)學工具,輔以其它信號處理方法,如主成分分析、維納濾波、采樣定理等,能保幅保真地對多分量地震數(shù)據(jù)進行矢量處理。四元數(shù)背景下的一系列數(shù)學變換和信號處理理論的不斷發(fā)展,為地球物理領(lǐng)域的多分量數(shù)據(jù)的矢量處理提供了新的研究方法和研究方向。四元數(shù)理論在多分量地震數(shù)據(jù)矢量處理中的可行性主要包括以下3個方面。

1) 四元數(shù)的四分量形式非常適合描述多分量地震數(shù)據(jù),OBC采集的地震數(shù)據(jù)可以用實部來描述壓力分量,虛部來描述3個位移分量,而陸地采集的三分量地震數(shù)據(jù)也可以用純四元數(shù)來表達。

2) 四元數(shù)的本質(zhì)是超復數(shù),適于處理矢量數(shù)據(jù),可以更好地保持各分量之間的相對振幅關(guān)系不變,保證矢量波場不畸變。從現(xiàn)有的應用可以看出,它充分考慮了地震波場的矢量性質(zhì),因此可以同時處理多分量地震數(shù)據(jù)并且直接以矢量形式輸入。

3) 四元數(shù)相關(guān)理論發(fā)展較為成熟,相應的數(shù)學變換工具也較為完備。因此可以將標量場已有的地震數(shù)據(jù)處理方法移植到四元數(shù)域中,在四元數(shù)域中進行多分量地震數(shù)據(jù)的矢量處理。前述的四元數(shù)速度分析、反褶積、矢量去噪及矢量重建均采用標量場數(shù)據(jù)處理方法,引入四元數(shù)可以將已有的標量處理方法拓展到四元數(shù)中,進而推導出適用于四元數(shù)的計算公式。

雖然四元數(shù)在多分量地震數(shù)據(jù)矢量處理中具有一定的效果,但尚未形成一套完整的處理流程,四元數(shù)只零散地分布于多分量地震數(shù)據(jù)處理流程的少數(shù)獨立環(huán)節(jié)上,其前后配套的處理技術(shù)仍不完善,目前可以從以下3個方面展開深入思考和研究。

1) 建立基于四元數(shù)的多分量地震數(shù)據(jù)的完整矢量處理流程,包含去噪、速度分析、動靜校正、疊加、偏移等。

2) 在目前四元數(shù)多分量地震數(shù)據(jù)矢量處理技術(shù)的基礎上,利用四元數(shù)研發(fā)或改進現(xiàn)有的標量處理技術(shù)?；谒脑獢?shù)奇異值分解的去噪方法只能壓制水平同相軸的噪聲,還不能處理傾斜同相軸的噪聲,可以考慮采用四元數(shù)Cadzow濾波、四元數(shù)奇異譜分析法等對矢量地震信號進行去噪處理。此外,可以考慮將四元數(shù)拓展至其它經(jīng)典的去噪理論,如四元數(shù)Kalman濾波等。

3) 以上四元數(shù)的應用僅限于人工源地震勘探領(lǐng)域,未來應考慮四元數(shù)在天然地震中的應用,如震相拾取、地震監(jiān)測及定位等。

綜上所述,四元數(shù)理論應用于多分量地震數(shù)據(jù)處理是可行且有效的?；谒脑獢?shù)理論提出更加完善、系統(tǒng)的多分量地震數(shù)據(jù)矢量處理方法,可以充分挖掘多分量地震信號攜帶的信息,該方法具有解決復雜各向異性介質(zhì)問題的潛力。