基于靶試的空空導(dǎo)彈自主飛可靠性置信度分析*

李根成，郭威威，李沛萱

（1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471000；2.華中科技大學(xué)，武漢 430074）

0 引言

空空導(dǎo)彈是由飛機(jī)攜帶，并從飛機(jī)上發(fā)射，主要用于攻擊飛機(jī)、巡航導(dǎo)彈等空中目標(biāo)的導(dǎo)彈。自1958 年首次投入實(shí)戰(zhàn)以來，空空導(dǎo)彈在空戰(zhàn)中的作用越來越重要。如1973 年爆發(fā)的阿以贖罪日戰(zhàn)爭中，以色列共擊落阿拉伯國家飛機(jī)336 架，除60 架被航炮擊落外，其余276 架全部是被空空導(dǎo)彈擊落；1982 年英阿馬島戰(zhàn)爭中，阿根廷被擊落的32 架飛機(jī)中有24 架是被空空導(dǎo)彈擊落；1991 年1 月17日至2 月28 日的海灣戰(zhàn)爭中，伊拉克共有38 架飛機(jī)被多國部隊(duì)擊落，其中被空空導(dǎo)彈擊落36 架，被航炮擊落2 架［1］。

自主飛可靠性是空空導(dǎo)彈極為重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，描述的是自導(dǎo)彈離開載機(jī)后到命中目標(biāo)前這一階段工作的可靠性，其概率度量即為自主飛可靠度［2-3］。該指標(biāo)倍受生產(chǎn)方和使用方的關(guān)注，常常在設(shè)計(jì)定型時(shí)結(jié)合靶場飛行試驗(yàn)對(duì)其最低可接受值進(jìn)行考核，靶試結(jié)果是產(chǎn)品能否設(shè)計(jì)定型的重要依據(jù)［2-4］。在某空空導(dǎo)彈研制總要求中明確了如下自主飛可靠度指標(biāo)：

1）最低可接受值：不低于0.70（置信度0.5）；

2）目標(biāo)值：不低于0.89（置信度0.82）。

有人提出，0.5 的置信度是否可理解為對(duì)評(píng)估出的結(jié)果可以相信也可以不相信？可靠性評(píng)估技術(shù)的研究國內(nèi)外開展較多，如金碧輝對(duì)可靠性評(píng)估方法進(jìn)行了全面論述，周育才對(duì)空空導(dǎo)彈任務(wù)可靠性、性能可靠性、單元可靠性、系統(tǒng)可靠性評(píng)估進(jìn)行了應(yīng)用研究［5-8］。但對(duì)評(píng)估置信度的研究很少，更多的是原則性的描述。以下通過分析置信度高低對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響等疑問進(jìn)行論述，首先介紹點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)，通過區(qū)間估計(jì)引入置信度。

1 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

眾所周知，可靠度是統(tǒng)計(jì)概念，它不像產(chǎn)品的性能指標(biāo)那樣可以通過儀器儀表直接測(cè)量出來，即可靠度需要借助試驗(yàn)并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法加以評(píng)估［9-10］?？煽啃栽u(píng)估是指根據(jù)樣本的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)總體的可靠性參數(shù)值進(jìn)行估計(jì)。理論上講，總體的可靠性參數(shù)存在真值，但常常是未知的，需根據(jù)樣本提供的信息對(duì)真值進(jìn)行估計(jì)，故會(huì)產(chǎn)生誤差。估計(jì)誤差的大小與樣本多少有關(guān)，同樣條件下，樣本量越大，獲取的信息越多，估計(jì)值與真值越接近［10-11］。

點(diǎn)估計(jì)是通過樣本觀測(cè)值對(duì)總體未知參數(shù)給出接近真值的一個(gè)估計(jì)值，用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，稱為點(diǎn)估計(jì)量。用樣本觀測(cè)值對(duì)點(diǎn)估計(jì)量計(jì)算出的結(jié)果為點(diǎn)估計(jì)。不同估計(jì)方法給出的點(diǎn)估計(jì)量不同，由此得出的點(diǎn)估計(jì)值常常不同；即使是同一點(diǎn)估計(jì)量，用不同樣本的觀測(cè)值得到的點(diǎn)估計(jì)值也會(huì)不同［12-14］。

設(shè)某空空導(dǎo)彈自主飛可靠度真值為R，不可靠度為p=1-R，某次靶試中進(jìn)行n 次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)變量x 表示失敗次數(shù)，其發(fā)生概率可用參數(shù)為n、p 的二項(xiàng)分布表示：

失敗次數(shù)小于等于r 的累積分布函數(shù)為：

若靶試n 發(fā)中失敗r 發(fā)，則產(chǎn)品的不可靠度點(diǎn)估計(jì)為：p＾=r/n，可靠度點(diǎn)估計(jì)為R＾=（n-r）/n。

如上所述，點(diǎn)估計(jì)有一定隨機(jī)變動(dòng)范圍，應(yīng)該加以考慮，常用方法是給出一個(gè)區(qū)間估計(jì)，這個(gè)區(qū)間以一定概率包含所估計(jì)的真值。該區(qū)間是在一定置信度下的區(qū)間，稱為置信區(qū)間，區(qū)間的上、下限分別稱為置信上限和置信下限。如式P（RL≤R≤RU）=γ，表示可靠度真值R 落在雙側(cè)置信區(qū)間［RL，RU］的概率為γ，RL為置信下限，RU為置信上限，γ 為置信度。式P（RL≤R≤RU）=γ 隱含有兩個(gè)公式：P（R＜RL）=（1-γ）/2、P（R＞RU）=（1-γ）/2［15］。

2 置信度選取對(duì)置信區(qū)間的影響

顯然，置信區(qū)間越窄，估計(jì)的精確性越高；置信度越高，估計(jì)的把握性越大。要同時(shí)提高估計(jì)的準(zhǔn)確性和把握性，須增加樣本量。在樣本量不變時(shí)，提高置信度，置信區(qū)間就會(huì)變寬；反之，降低置信度，置信區(qū)間就會(huì)變窄。對(duì)具體的參數(shù)，我們有時(shí)并不關(guān)注雙側(cè)置信區(qū)間，而是關(guān)注單側(cè)置信下限，如對(duì)可靠度關(guān)注其置信下限而不是置信上限，P（R≥RL）=γ；對(duì)平均修復(fù)時(shí)間關(guān)注其置信上限而不是置信下限，P（MTTR≤MTTRU）=γ。下面就以空空導(dǎo)彈自主飛可靠度評(píng)估為例，分析不同樣本量和不同置信度下的置信下限。

如式（1）所示，自主飛可靠度真值為R 的空空導(dǎo)彈在n 次靶試中失敗次數(shù)的概率可用二項(xiàng)分布描述［4，16］。真值R 雖存在，但需通過樣本的觀測(cè)值來評(píng)估，即通過靶試來檢驗(yàn)導(dǎo)彈自主飛可靠度是否達(dá)到最低可接受值。通常是參考由最低可接受值及其置信度計(jì)算出所需靶試產(chǎn)品數(shù)量，并考慮需考核的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能等，最終確定設(shè)計(jì)定型靶試方案（n，r），即靶試的n 發(fā)導(dǎo)彈中若失敗數(shù)不大于r，則判定可靠度能達(dá)到最低可接受值要求［4］。

我們要通過靶試方案（n，r）評(píng)估自主飛可靠度置信下限RL，使得P（R≥RL）=γ，也即P（R＜RL）=1-γ，由式（3）確定［17-18］：

設(shè)計(jì)定型時(shí)不可能投入大量空空導(dǎo)彈用于靶試，所以在最低可接受值不降低時(shí)，常常不能取大的置信度。實(shí)際上，γ 小并不意味著導(dǎo)彈可靠性的降低，而是受試驗(yàn)費(fèi)用等限制不能投入大量樣本進(jìn)行試驗(yàn)，不得不適當(dāng)降低置信度，這從表1、表2 可看出。

表1 點(diǎn)估計(jì)不低于且接近0.70 時(shí)的幾組數(shù)據(jù)

由表1 可知：

1）同樣的試驗(yàn)結(jié)果，γ 越大得出的RL越小。從物理意義上可解釋為：要保證可靠度真值落入置信區(qū)間的概率較大，在可靠度置信上限不變時(shí)（上限的極值為1），可靠度置信下限須降低。如靶試結(jié)果為（4∶1）即靶試4 發(fā)導(dǎo)彈有1 發(fā)失敗的評(píng)估結(jié)果是：γ 為0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 時(shí)的RL分別為0.614、0.556、0.492、0.418、0.320。

2）γ=0.5 時(shí)的RL仍小于R＾，只是隨著靶試導(dǎo)彈數(shù)量的增加，信息量的增大，RL與R＾之差逐漸減小。如靶試結(jié)果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3）、（14∶4）、（17∶5）、（20∶6）時(shí)，相應(yīng)的R＾與RL之差分別是：0.136、0.078、0.055、0.040、0.033、0.028。

3）在產(chǎn)品昂貴、試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)等資源有限不可能投入較多樣本進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，不能僅依據(jù)置信下限來評(píng)價(jià)產(chǎn)品質(zhì)量，還應(yīng)參考點(diǎn)估計(jì)。如靶試結(jié)果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3） 時(shí)的R＾分 別為0.750、0.714、0.700，即可靠度點(diǎn)估計(jì)逐漸減小。但其可靠度置信下限卻相反，如γ=0.5 時(shí)，靶試結(jié)果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3）時(shí)的RL分別為0.614、0.636、0.645。這種現(xiàn)象在靶試結(jié)果分別為（14∶4）、（17∶5）、（20∶6）時(shí)依然存在，并且γ 取0.6、0.7、0.8、0.9 時(shí)情況依然如此。

4）不論γ 取較小值0.5 或是較大值0.9，隨著投入試驗(yàn)的樣本量增加，同一γ 下R＾與RL之差逐漸減小，即隨著樣本量的增大，RL逐漸接近R＾。理論上，當(dāng)樣本量無限大或全數(shù)檢驗(yàn)時(shí)，置信下限與點(diǎn)估計(jì)相等，即都等于理論上的真值。從表1 衍生出的表2也可看出，隨著樣本量增加，不同γ 下可靠度置信下限的差值逐漸縮小，即樣本量較大時(shí)，置信度對(duì)置信下限的影響較小。

綜上所述，在樣本量不可能較大時(shí)，為保證用傳統(tǒng)方法驗(yàn)證空空導(dǎo)彈自主飛可靠度最低可接受值，不應(yīng)取大的置信度。

表2 不同置信度下可靠度下限的差值

表3 列出了γ=0.7 時(shí)可靠度置信下限不低于0.70 時(shí)的幾組數(shù)據(jù)。（15∶3）和（26∶6）兩種靶試結(jié)果得出的可靠度置信下限都是0.701，后者出現(xiàn)的失敗數(shù)6 比前者出現(xiàn)的失敗數(shù)3 增加了1 倍，但后者靶試的樣本量26 并不是前者樣本量15 的2 倍。從另一個(gè)角度看，（15∶3）得出置信度0.7 時(shí)的可靠度置信下限為0.701，若從樣本量等比例增加的角度，允許失敗數(shù)為4 時(shí)所需樣本量為4/3*15=20。實(shí)際上，靶試結(jié)果（19∶4）中的樣本量為19，小于等比例計(jì)算出的20，而實(shí)際的評(píng)估結(jié)果如何呢？由（19∶4）的靶試結(jié)果評(píng)估出RL=0.705，即樣本量雖小于等比例計(jì)算出的值，但其評(píng)估的可靠度置信下限卻比0.701 大。因此，不能僅依據(jù)置信下限評(píng)估產(chǎn)品質(zhì)量，還應(yīng)深究該置信下限是由什么樣的靶試結(jié)果得出的，投入靶試的樣本量是多少。尤其在靶試的導(dǎo)彈數(shù)較小時(shí)，應(yīng)參考點(diǎn)估計(jì)值等信息綜合評(píng)價(jià)其質(zhì)量。

表3 可靠度置信下限RL 達(dá)到0.70（置信度0.7）時(shí)的幾組數(shù)據(jù)

表4 為可靠度置信下限不低于0.70（置信度0.5）時(shí)的幾組計(jì)算數(shù)據(jù)。經(jīng)過與使用方就置信度對(duì)可靠度置信下限影響的專題溝通協(xié)調(diào)，考慮到需要驗(yàn)證的主要彈道數(shù)，設(shè)計(jì)定型時(shí)采用了方案（9，2），即靶試9 發(fā)導(dǎo)彈，允許的失敗次數(shù)不超過2。

表4 可靠度置信下限RL 達(dá)到0.70（置信度0.5）時(shí)的幾組數(shù)據(jù)

3 結(jié)論

按慣例導(dǎo)彈自主飛可靠度最低可接受值的驗(yàn)證，是通過設(shè)計(jì)定型時(shí)在靶場進(jìn)行的導(dǎo)彈自主飛行試驗(yàn)。在允許失敗次數(shù)不變的情況下，需要靶試導(dǎo)彈數(shù)量會(huì)隨著置信度要求的提高而增加。本文重點(diǎn)論述了不同靶試樣本量下置信度對(duì)置信下限的影響，指出隨著樣本量的增加，置信度的大小對(duì)置信下限的影響逐漸減小。進(jìn)而說明，在限于經(jīng)費(fèi)等原因不能投入大量導(dǎo)彈進(jìn)行靶試的條件下，不應(yīng)取大的置信度來驗(yàn)證最低可接受值。取較小置信度并不是對(duì)產(chǎn)品可靠性要求的降低，只是受靶試導(dǎo)彈數(shù)量有限導(dǎo)致。在靶試導(dǎo)彈數(shù)量較小時(shí)，應(yīng)考慮可靠度置信下限、點(diǎn)估計(jì)等信息對(duì)導(dǎo)彈質(zhì)量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。