基于三階蛇形機(jī)動模型的跟蹤算法分析研究*

邱曉波，許乾坤，單東升

（1.陸軍裝甲兵學(xué)院兵器與控制系，北京 100072；2 解放軍66133 部隊，北京 100144）

0 引言

運動模型是地面裝甲車輛火控系統(tǒng)解命中問題中的重要理論基礎(chǔ)，隨著未來信息化戰(zhàn)爭的不斷發(fā)展，以及在未來戰(zhàn)場上多樣式的任務(wù)需求而迫切需要對其進(jìn)一步深入研究［1］。當(dāng)前，singer 模型［2］、Jerk 模型［3］、當(dāng)前統(tǒng)計模型［4］、交互多模型及其改進(jìn)模型［5-8］大都得到了迅猛發(fā)展和廣泛應(yīng)用，它們在單方向數(shù)據(jù)處理上有一定精度，但對于蛇形運動來說，其精度和適用性還存在不足。文獻(xiàn)［9］中以角度為觀測值，通過加權(quán)誤差獲得的活化函數(shù)，實現(xiàn)對當(dāng)前統(tǒng)計模型參數(shù)的調(diào)節(jié)，實現(xiàn)了對目標(biāo)轉(zhuǎn)彎機(jī)動的位置跟蹤，但角速度和角加速度的估計精度還需要進(jìn)一步提高。文獻(xiàn)［10］建立了雙層交互多模型，內(nèi)層為當(dāng)前統(tǒng)計模型和勻速模型組合，外層為轉(zhuǎn)彎模型，該模型雖然相對于一般交互多模型的精度有所提高，但需要平衡轉(zhuǎn)彎速率變化和濾波角速度偏差之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［11-12］通過交互多模型構(gòu)建多種特征向量，并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實時估計平均轉(zhuǎn)彎率，在一定程度上提高了穩(wěn)定精度。當(dāng)前圓周模型通過引入加速度的概念，建立了二階圓周模型［13］，本文在其基礎(chǔ)上，通過引入加加速度的概念提出了三階圓周模型，并在蛇形機(jī)動轉(zhuǎn)換點處設(shè)計了基于轉(zhuǎn)換因子的新息數(shù)據(jù)閾值檢測算法和基于新息數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗算法，有效提高了轉(zhuǎn)換點處的收斂速度和濾波精度。

1 蛇型運動假設(shè)與分析

在真實戰(zhàn)場上，目標(biāo)為了躲避炮彈，常常會急加速、急減速以及做轉(zhuǎn)彎機(jī)動，給命中目標(biāo)增加難度。當(dāng)目標(biāo)做蛇型機(jī)動時，按照現(xiàn)行解命中方法解算，命中概率會大幅降低。在加上射手的心理影響，跟蹤精度會下降，留給模型的誤差閾量更小，使命中難度進(jìn)一步加大。建立蛇型運動軌跡如圖1 所示。

圖1 假定蛇形運動軌跡圖

根據(jù)勻速圓周運動規(guī)律，設(shè)其線速度為v，角速度為ω，運動周期為T，跟蹤時間為t，α 為雙圓圓心連線與x 軸的夾角（0≤α≤π），目標(biāo)從原點O 逆時針出發(fā)做蛇型運動。列出目標(biāo)在x 軸上的速度和加速度公式如下：

2 二階圓周模型離散化分析

由于蛇型運動模型是在圓周模型上的進(jìn)一步發(fā)展，因此，蛇型運動模型的離散狀態(tài)方程推導(dǎo)是在圓周模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。本文首先分析逆時針圓周模型。

根據(jù)圓周模型物理運動規(guī)律，可得出其幾何關(guān)系式：

式中，ω 表示圓周運動的角速度，列出狀態(tài)方程可得：

進(jìn)行離散化可得：

同理可得順時針圓周模型。

3 三階圓周模型離散化分析

常規(guī)二階圓周模型在卡爾曼濾波狀態(tài)中只涉及到位置和速度，不涉及加速度，如果僅僅按照對速度求導(dǎo)的方式進(jìn)行求解加速度，會使得加速度數(shù)據(jù)引入噪聲，產(chǎn)生波動。為此，本章在二階圓周模型的基礎(chǔ)上引入了加加速度概念，從原理上對圓周運動加加速度進(jìn)行了推導(dǎo)與論證。

圖2 加加速度分析圖

如圖2 所示，設(shè)A 點為t 時刻目標(biāo)位置，B 為△t 時間后位置，R 為半徑，弦長AB 為l，va為A 點切向速度，vb為B 點切向速度，aa為A 點加速度，ab為B 點加速度，a 為圓周運動標(biāo)量加速度，v 為圓周運動標(biāo)量速度，ω 為角速度，σ 為AB 兩點加速度之間夾角。將B 點矢量加速度平移到圖中虛線位置，使其起始端與A 點重合，故存在以下矢量關(guān)系：

進(jìn)行離散化可得：

同理可得逆時針圓周模型。

4 基于三階蛇形機(jī)動模型的轉(zhuǎn)換檢測算法設(shè)計

4.1 基于轉(zhuǎn)換因子的新息數(shù)據(jù)閾值檢測算法

在典型算法中，卡爾曼濾波算法中狀態(tài)參數(shù)矩陣A 是固定的，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)和運動模型不相符時，連續(xù)使用該狀態(tài)矩陣進(jìn)行實時解算，會使誤差迭代擴(kuò)大。為了解決此問題，需找到目標(biāo)機(jī)動的轉(zhuǎn)換點，及時對狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行更新，以提高適應(yīng)性，為此，本文提出了基于轉(zhuǎn)換因子的新息數(shù)據(jù)閾值檢測算法。在實時解算過程中，當(dāng)新息值ρ 大于機(jī)動目標(biāo)檢測閾值σmin時，就會進(jìn)行模型轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化因子公式如下：

矩陣A 更新公式如下：

其中，（i，j） 的取值分別為（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）和（4，2）。

當(dāng)新息值超出閾值時，順逆時針狀態(tài)參數(shù)矩陣會進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)蛇型機(jī)動模型反向切換。閾值設(shè)置過大，會使局部偏差增大和偏差持續(xù)時間延長，設(shè)置過小，會使虛警率提高，為此需要找到一個平衡值。隨著目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)的迭代，從目標(biāo)真實機(jī)動狀態(tài)轉(zhuǎn)變到閾值突破點，再到自適應(yīng)尋優(yōu)結(jié)束，該段時間內(nèi)會在轉(zhuǎn)換點附近產(chǎn)生一段誤差。通過改變閾值的大小，本質(zhì)就是對濾波值實時性和準(zhǔn)確性的折中處理，所以該方法具有一定的局限性。

4.2 基于新息數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗算法

若要破解或者進(jìn)一步優(yōu)化解決實時性和準(zhǔn)確性這一難題，需要從方法層面進(jìn)行優(yōu)化，在保證實時性的基礎(chǔ)上提高準(zhǔn)確性。針對該問題，在三階算法的基礎(chǔ)上，提出了基于新息數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗算法。

在仿真實驗中，假設(shè)自動跟蹤抖動誤差符合正態(tài)分布，其他系統(tǒng)誤差也符合正態(tài)分布，總體誤差也是符合正態(tài)分布的，因此，新息也是符合正態(tài)分布規(guī)律的，可以以此為突破點，利用假設(shè)檢驗的方式，對機(jī)動狀態(tài)進(jìn)行快速檢測。其中，假設(shè)檢驗的顯著性水平為α，時間窗口為n。H0：機(jī)動模型沒有發(fā)生改變；H1：機(jī)動模型發(fā)生了改變。

上述檢驗問題的拒絕域為：

其中，s2是σ2的無偏估計，當(dāng)H0 成立時，s2與σ2的比值一般在1 附近波動，不會遠(yuǎn)大于1 或遠(yuǎn)小于1。

5 仿真結(jié)果與分析

在仿真實驗中，本文認(rèn)為模型跟蹤誤差為零，即認(rèn)為觀察軌跡為真實軌跡，假設(shè)某機(jī)動目標(biāo)按照圖1 所示的軌跡進(jìn)行炮彈規(guī)避運動，線速度為v=10 m/s，角速度ω=0.05πrad/s，運動周期T=80 s，炮彈出膛時間為t，雙圓圓心連線與x 軸的夾角α 為45°（0≤α≤π），目標(biāo)從原點O 逆時針出發(fā)做蛇型運動。

圖3 x 向位置誤差對比圖1

圖4 x 向速度誤差對比圖2

圖5 x 向加速度誤差對比圖3

通過對比仿真分析，結(jié)果表明，基于三維圓周模型的卡爾曼濾波算法，優(yōu)于基于二維圓周模型的卡爾曼濾波算法，基于新息數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗檢測算法，優(yōu)于基于轉(zhuǎn)換因子的新息數(shù)據(jù)閾值檢測算法。從結(jié)果分析，改進(jìn)算法精度更高，能為戰(zhàn)車戰(zhàn)斗力提升提供更多理論支撐，具有一定的實用價值。

6 結(jié)論

針對水平橫向單方向參數(shù)的局限性，提出了加入水平縱向狀態(tài)參數(shù)信息，形成雙向參數(shù)交互方案，進(jìn)一步提高濾波精度和目標(biāo)狀態(tài)間斷點的自適應(yīng)性。在當(dāng)前已有的二階圓周模型的基礎(chǔ)上，通過引入加加速度的概念，創(chuàng)新性地推導(dǎo)出了三維圓周模型，有效提高全程的濾波精度。針對蛇形機(jī)動換向問題，在基于三階圓周模型的卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上，提出了基于轉(zhuǎn)換因子的新息數(shù)據(jù)閾值檢測算法和基于新息數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗檢測算法，提高了狀態(tài)間斷點處的檢測，即蛇形機(jī)動模型轉(zhuǎn)換處的檢測靈敏性，并在一定程度上相對提高了收斂速度。

表1 算法誤差標(biāo)準(zhǔn)差值對比表