五軸加工中奇異問題分析及優(yōu)化方法

洪欣宇,洪榮晶,林曉川

(1.南京工業(yè)大學 機械與動力工程學院,江蘇 南京 211800; 2.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術重點實驗室,江蘇 南京 211899)

在實際生產(chǎn)中,五軸機床常用于曲面較復雜的零件加工。五軸機床雖然提高了零件的加工質量,但同時也帶來了一系列問題,Zlatanov等[1]提出當零輸出的機床存在非零輸入時,即發(fā)生加工奇異問題。該問題易造成表面加工軌跡不光順,甚至產(chǎn)生干涉和擦傷[2]。五軸加工中發(fā)生奇異問題的區(qū)域通常與該機床的運動相關,因此每個五軸機床都有一個造成冗余輸入的奇異點。當在奇異區(qū)域內(nèi)進行加工時,為了獲得恒定的切削進給速率,機床軸運動會發(fā)生突變。

關于奇異問題優(yōu)化的研究主要分為3類:① 在CAD/CAM建模階段對奇異區(qū)域內(nèi)刀具軌跡進行調(diào)整。但該類方法可能會引起新的誤差。Affouard[3]基于旋轉軸運動的最小增量和定位精度,提出了用于規(guī)避奇異點的奇異錐體(singular cone)概念。Yang等[4]通過旋轉位于奇異錐體內(nèi)的刀軸矢量來進行優(yōu)化,但旋轉角度過大會導致加工精度降低。Lin等[5]將奇異區(qū)域內(nèi)的刀軸矢量整體進行平移,從而避開奇異錐度圓，但該方法不適用于側面銑削,經(jīng)優(yōu)化后采用粒子群算法來計算最佳平移向量,改善了加工工件的表面紋理[6]。② 在后處理階段進行優(yōu)化。但該類方法可能會造成機床軸的運動速度發(fā)生突變,對伺服電機和機床床身產(chǎn)生損壞。Srby[7]通過修改靠近奇異點的逆運動學矩陣進行優(yōu)化。Boz等[8]通過調(diào)整旋轉軸變量大于90°時的主旋轉軸角度來規(guī)避奇異點。王峰等[9-11]提出基于雅可比矩陣的奇異區(qū)域檢測和處理方法,修改了奇異點附近的刀軸矢量。③ 在實際切削階段進行優(yōu)化。但該類方法受限于刀具軌跡的特定形狀。Anotaipaiboon等[12]和Pessoles等[13]通過改變工件配置來提高加工效率和避免奇異問題。Cripps等[14]指出奇異區(qū)域與旋轉工作臺的系數(shù)有關,還提出通過利用特殊設計的夾具重新定位工件來解決奇異問題。

因此,對于五軸加工中的奇異問題,通常在刀位數(shù)據(jù)生成階段進行調(diào)整,避免與設計模型本身產(chǎn)生較大誤差[15]。國內(nèi)還有部分學者通過分析刀具運動的非線性誤差來提出優(yōu)化方法,文獻[16-18]通過分析旋轉軸運動過程中線性插補引起的刀具偏差角,限制相鄰刀軸矢量的夾角來進行誤差控制。耿聰?shù)萚19-20]在此研究基礎上采用等幅旋轉法對旋轉軸坐標值進行優(yōu)化。筆者通過分析影響旋轉運動誤差的相關變量,結合旋轉變化率(R)提出一種奇異問題優(yōu)化方法，并以葉輪流道表面加工為例,驗證該方法的可行性。

1 旋轉運動引起的奇異問題

五軸機床中的旋轉運動軸能夠提高各種復雜曲面加工的靈活性,但也會造成奇異問題。五軸加工中實際加工軌跡與理想刀具軌跡的不同會對表面質量和機床本身性能產(chǎn)生影響。筆者以AC式擺頭/轉臺回轉型五軸機床為主要研究對象,分析其加工時的旋轉運動軌跡,并研究產(chǎn)生奇異問題的原因。

1.1 五軸機床運動模型

AC式五軸機床結構如圖1所示。由于工件在工件坐標系中坐標位置與在機床坐標系中不同,因此將工件坐標系中的刀位點和刀軸矢量經(jīng)過轉換后,生成機床坐標系中各軸的運動坐標。圖1中機床的正向運動鏈依次為刀具、A軸旋轉、Y軸、Z軸、X軸、機床床身、C軸旋轉和工件。依照運動鏈轉換后得到工件坐標系下刀軸矢量Nk如式(1)所示。

(1)

式中:θA和θC為機床坐標系下A、C旋轉軸的運動角度,Nkx、Nky和Nkz分別為工件坐標系下x、y和z軸的刀軸矢量坐標。

圖1 AC式擺頭/轉臺回轉型五軸機床Fig.1 AC-type five-axis machine of tool and table separated rotation

機床坐標系下A、C旋轉軸運動坐標與刀軸矢量關系如式(2)所示。

(2)

1.2 五軸加工中奇異問題分析

如圖2所示,以某兩個相鄰刀軸矢量Nk1到Nk2運動為例,圖2中，Nkp為理想運動中某時間點的刀軸矢量；N′kp為實際加工中相應時間點的刀軸矢量；δ為Nkp和N′kp之間的誤差；α為Nkp和N′kp之間的誤差角；λ為Nk1與Nk2之間的夾角；tλ為Nk1與Nkp之間的夾角；t為單位時間，t∈[0, 1]。當δ過大時，不僅會對表面加工質量產(chǎn)生影響,還會造成奇異問題。因此,通過計算相鄰刀軸矢量間的最大刀軸誤差角αmax,并分析各變量對奇異問題的影響,從而提高加工表面質量。

圖2 相鄰刀軸矢量間的運動軌跡Fig.2 Movement between adjacent tool orientations

運用四元數(shù)球面法表示理想運動中某時間點的刀軸矢量Nkp，如式(3)所示。

(3)

根據(jù)式(2),得到實際加工中相應時間點的刀軸矢量N′kp，如式(4)所示。

N′kp(t)=-cosθA(t)sinθC(t)-

cosθA(t)cosθC(t)-sinθA(t)

(4)

刀軸誤差角α如式(5)所示。

(5)

式中：θA1和θA2分別為Nk1和Nk2的A軸運動角度，θC1和θC2分別為Nk1和Nk2的C軸運動角度，U為中間量。

由式(5)得,當U(t)求得最小值時,α(t)也可求得最大值,即δ為最大值。通過對U(t)關于t求導,得出當t=1/2時,dU(t)/dt接近于0。所以當?shù)毒哌\動至相鄰刀軸矢量中間位置時,α(t)最大,則δ也達到最大值[17]。

在t值確定后,式(5)可簡化為式(6)。

(6)

式中,ΔθA和ΔθC分別為A、C軸運動角度變化量。

λ在實際加工中如式(7)所示。

cosλ=Nk1·Nk2=cosθA1sinθC1cosθA2sinθC2+

cosθA1cosθC1cosθA2cosθC2+sinθA1sinθA2=

cosθA1cos(θA1+ΔθA)cos ΔθC+

sinθA1sin(θA1+ΔθA)

(7)

因此,得出α(t=1/2)如式(8)所示。

(8)

由式(8)可得出,由α過大而導致的奇異問題與變量ΔθA、ΔθC和θA1的取值有關。

1.3 旋轉變化率對奇異問題的影響

從式(8)很難觀察出變量ΔθA、ΔθC和θA1取值對α(t=1/2)的直接影響,因此利用控制變量法對α進行數(shù)值化分析,探討各變量對α的影響,如圖3—5所示。其中,為了避免式(8)中一些特殊角度取值對結果產(chǎn)生誤差,也為了更好地觀察ΔθA和ΔθC之間變化關系對α的影響,引入了旋轉變化率R這一概念。旋轉變化率指五軸加工中兩個旋轉軸在同一時間運動角度變化量之間的比值,如式(9)所示。

(9)

由于該機床A軸運動角度取值范圍通常為-90°～0°,θA1分別取值-60°、-45°和-30°進行對比(圖3)。θA1的變化對α影響不明顯,且實際加工中θA1取值和曲面零件模型本身有關,改變θA1可能會造成整體走刀運動的較大變化而造成新的加工誤差,甚至產(chǎn)生碰撞干涉問題。

圖3 R和ΔθA對α的影響Fig.3 Effects of R and ΔθA on error angle α

圖4 R和θA1對α的影響Fig.4 Effects of R and θA1 on error angle α

圖5 ΔθA和θA1對α的影響Fig.5 Effects of ΔθA and θA1 on error angle α

由圖4和5得出:ΔθA絕對值越大,α越大。所以在對奇異問題進行優(yōu)化時,要縮小ΔθA的范圍。R絕對值越大,α越大。當R>2時,α數(shù)值變化圖像會產(chǎn)生兩個波峰(圖5(c))。

綜上可以得出:R和ΔθA絕對值過大是使α過大的主要因素,也同樣會導致加工中的奇異問題。

2 五軸加工奇異問題優(yōu)化方法

對于五軸加工中旋轉運動的奇異問題,筆者提出的優(yōu)化方法如下:對相鄰刀軸矢量坐標進行調(diào)整,控制A軸運動角度變化量的絕對值|ΔθA|小于其限定最大值ΔθAmax(ΔθAmax>0),同時縮小旋轉變化率的絕對值|R|。該方法同樣也能對兩個旋轉軸的運動角度變化量ΔθA和ΔθC取值范圍進行限定。

2.1 刀軸矢量的坐標轉化

在刀位數(shù)據(jù)中,刀軸矢量Nk通常為一個三維單位向量,其坐標為 (Nkx,Nky,Nkz)。如圖6(a)所示,Nk的定義:將刀軸矢量Nk放置在一個單位球中,其中起始坐標設定為單位球球心,末端坐標(Nkx,Nky,Nkz)為在單位球表面的取值[5]。因此,根據(jù)AC式擺頭/轉臺回轉型五軸機床運動特點,刀軸矢量沿單位球同一緯度線的運動相當于在C軸的運動變化,則刀軸矢量沿單位球同一經(jīng)度線的運動相當于在A軸的運動變化。如圖6(a)所示,在實際加工中刀軸矢量Nk1到Nk2的運動為刀具圍繞A軸的擺動,刀軸矢量Nk2到Nk3的運動為轉臺圍繞C軸的轉動。

若直接將刀軸矢量在空間中進行旋轉變換,不僅計算過程較復雜,對ΔθA和R的控制也比較困難。因此，需要將刀軸矢量轉化到平面中進行優(yōu)化。如圖6(b)所示,選取平行于xOy的平面,將單位球中三維向量轉化為平面單位圓中的二維向量坐標。則刀軸矢量Nk1到Nk2在二維坐標中沿圓徑向的運動相當于在A軸的運動,刀軸矢量Nk2到Nk3沿圓周向的運動相當于在C軸的運動。具體向量坐標轉化的操作:將刀軸矢量Nk的三維坐標整體除以z軸坐標Nkz,轉化為(Nkx/Nkz,Nky/Nkz,1);由于z軸坐標相同,所以刀軸矢量Nk坐標轉化為二維坐標(Nkx/Nkz,Nky/Nkz),記為Nk(x,y)。

圖6 刀軸矢量的坐標轉化Fig.6 Coordinates transformation of tool orientations

式(2)中的A、C旋轉軸運動角度坐標如式(10)所示。設l=x2+y2,A軸運動角度坐標與l有關,C軸運動角度坐標與x/y有關,該驗證結果與圖6(b)中描述一致。

(10)

2.2 奇異問題優(yōu)化方法

圖7 改變刀軸矢量坐標優(yōu)化RFig.7 Changing the coordinates of tool orientations to optimize R

3 實驗驗證

運用針對奇異問題的刀軸矢量優(yōu)化方法,以直徑為100 mm的八葉片葉輪為例,優(yōu)化葉片間流道的加工表面。在二維坐標平面內(nèi)對刀軸矢量進行旋轉調(diào)整,縮小旋轉變化率R,最后進行加工試驗驗證。

如圖8所示,將葉輪流道內(nèi)刀軸矢量用點表示。圖8中,藍色點表示刀軸矢量的旋轉變化率R小于限定值,紅色點表示待優(yōu)化的刀軸矢量。為了更加直觀地分析旋轉變化率R與奇異區(qū)域的聯(lián)系,取值范圍依次為R<15、R<10、R<5和R<2。圖8中R取值越小,紅色點面積越大,需要優(yōu)化的刀軸矢量也越多。紅色點主要集中在葉輪流道與葉片交界處,該部分表面曲率變化較大,因此旋轉軸運動角度變化量也較大,容易產(chǎn)生奇異問題。

圖8 葉輪流道刀軸矢量的R分布點圖Fig.8 Point distribution diagrams of R of tool orientations in impeller passage

將優(yōu)化后不同R取值范圍內(nèi)的刀位數(shù)據(jù)轉化為機床坐標,分別在五軸機床上進行加工。主軸轉速為3 000 r/min,進給速度為200 mm/min,切削深度為0.1 mm。圖9為在不同旋轉變化率取值范圍下,經(jīng)過表面加工后同一處的葉輪流道表面局部放大圖,其中R取值范圍越大,表面呈現(xiàn)的軌跡中奇異問題越明顯,表面質量也越差。

圖9 表面加工后葉輪流道表面局部放大圖Fig.9 Local enlarged views of the machined surface of impeller passage

采用粗糙度測量儀分別對加工表面進行測量,得出輪廓算術平均偏差(Ra)、均方根粗糙度(Rq)、輪廓峰谷最大高度(Rz)、輪廓最大的高度(Rt)、最大的峰值(Rp)和最大的谷值(Rv)，具體測量數(shù)據(jù)如表1所示。當旋轉變化率R<15時,Ra、Rq和Rz的兩次測量平均值分別為2.496、3.157和6.396 μm,在4組測量中數(shù)據(jù)最大;R<2時,Ra、Rq和Rz兩次測量平均值分別為0.970、1.224和4.535 μm,在4組測量中數(shù)據(jù)最小。從表1中的測量數(shù)據(jù)還可以得出:R取值范圍越小,表面粗糙度越小,加工表面質量也有所提高。

表1 局部葉輪流道表面粗糙度

4 結論

1) 通過分析相鄰刀軸矢量間的旋轉誤差角,并觀察不同變量對其的影響,探討五軸加工中奇異問題產(chǎn)生原因。結合旋轉變化率R提出了一種奇異問題的優(yōu)化方法,并在刀位數(shù)據(jù)生成階段調(diào)整刀軸矢量來減小R,從而控制旋轉誤差角,提高表面加工質量。

2) 以葉輪流道為實驗加工對象,驗證該優(yōu)化方法的可行性,并對加工表面的粗糙度測量數(shù)據(jù)進行對比,證明旋轉變化率R較大時易產(chǎn)生奇異問題。

3) 筆者所提出的優(yōu)化方法是在A軸旋轉運動角度變化量ΔθA不變的基礎上,結合R取值范圍對刀軸矢量進行調(diào)整,因此可以直接有效運用于自由曲面的工業(yè)制造。