考慮儲(chǔ)層流變性的水力壓裂起裂時(shí)間計(jì)算模型

王志榮，胡凱，陳玲霞,郭志偉

(鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引 言

我國部分煤田基底穩(wěn)定性差、沉積環(huán)境動(dòng)蕩、構(gòu)造變形強(qiáng)烈，造成主采煤層具有厚度薄、煤質(zhì)軟且滲透率低的復(fù)雜儲(chǔ)層特征，因此，目前在煤層氣開發(fā)階段普遍采用垂直井鉆進(jìn)工藝和水力壓裂技術(shù)進(jìn)行開采[1-2]。然而，在我國北方富水礦區(qū)，晚石炭與中奧陶統(tǒng)巖溶水發(fā)育，且各含水層水力聯(lián)系較為密切[3]，直接充水含水層L7-8灰?guī)r平均厚10 m，上距主采二1煤層僅10～25 m。豫北焦作富水礦區(qū)煤層氣開發(fā)試驗(yàn)表明，地面起裂時(shí)間過長或起裂壓力過大，壓裂縫均會(huì)穿過底板隔水層，觸及下伏石炭系(L7-8)或奧陶系(O)巖溶含水層，甚至前方邊界充水?dāng)鄬?，超過2/3的地面鉆井出現(xiàn)突水涌水現(xiàn)象，尤其是九里山礦區(qū)的兩口試驗(yàn)井JLS試-014和JLS試-016，3個(gè)月累計(jì)抽水量均在10 000 m3以上，嚴(yán)重影響了煤層氣產(chǎn)能的規(guī)模效益[4]。

長期以來，國內(nèi)外從試驗(yàn)、理論和現(xiàn)場測試等方面對壓裂抽采開展了大量研究。朱維耀等[5-6]，提出適合于測試頁巖氣滲流規(guī)律的試驗(yàn)方法，并進(jìn)行了不穩(wěn)定滲流壓力傳播規(guī)律和數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)；DENG J等[7]考慮納微米孔隙的非線性滲流，建立了考慮擴(kuò)散和滑移的納微米級(jí)孔隙氣體流動(dòng)模型；A.A.Daneshy等[8]研究指出，隨著地層原生裂縫尺寸增大，對水力壓裂縫擴(kuò)展的影響也逐漸增大；任嵐等[9]、趙金洲等[10]建立了裂隙性地層水力壓裂縫非平面延伸的數(shù)學(xué)模型。雖然目前對煤層氣壓裂抽采的研究已邁入快速發(fā)展軌道，文獻(xiàn)[11-12]也提出了一些新思路與新方法，但是關(guān)于我國富水礦區(qū)煤層氣開發(fā)中遇到的諸如起裂壓力與起裂時(shí)間問題，以及兩者之間的耦合關(guān)系卻鮮有報(bào)道，研究深度尚不足以科學(xué)指導(dǎo)實(shí)際工程。

本文基于裂隙場與應(yīng)力場時(shí)空耦合的新思路[13-16]，首先對含氣軟煤的蠕變特性進(jìn)行研究，其次結(jié)合垂直井臨界起裂壓力模型，推導(dǎo)出水力壓裂條件下起裂時(shí)間與起裂壓力的關(guān)系式，從而實(shí)現(xiàn)了兩者的科學(xué)與高效配置，以期為井壁圍巖避免二次損傷以及指導(dǎo)我國富水礦區(qū)的煤層氣開發(fā)提供理論依據(jù)。

1 含氣軟煤的蠕變模型

煤(巖)體的蠕變特性是一定荷載條件下影響起裂時(shí)間參數(shù)計(jì)算的首要因素。尹光志等[17]

早在2008年利用自制的儀器，進(jìn)行了含氣軟煤的三軸蠕變試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)荷載超過煤樣的屈服應(yīng)力時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致其非穩(wěn)定蠕變的發(fā)展。圖1是σ3=2 MPa，p=0.5 MPa，σ1=9.66 MPa時(shí)的蠕變曲線，曲線顯示在高應(yīng)力條件下，煤樣開始出現(xiàn)瞬時(shí)蠕變，隨著時(shí)間推移，應(yīng)變不趨于常值，在一段時(shí)間后達(dá)到加速階段。該試驗(yàn)曲線充分反映了含氣軟煤不僅具有黏彈性流變性質(zhì)，而且還具有塑性流變的性質(zhì)，因此，可以用黏彈塑性流變模型表征含氣軟煤的蠕變?nèi)^程。

圖1 煤樣的高壓蠕變試驗(yàn)曲線[11]

根據(jù)含氣軟煤具有瞬時(shí)蠕變的特點(diǎn)，一般采用廣義Kelvin模型反映其在高應(yīng)力作用下的初始蠕變階段和等速蠕變階段。由于試驗(yàn)曲線(圖1)上的初始變形階段具有近似的線性特征，分析為儲(chǔ)層內(nèi)氣體的可壓縮性，孔隙(包括原生孔隙和次生孔隙)受壓閉合后含氣軟煤的彈性增強(qiáng)所致，故必須對廣義Kelvin模型進(jìn)行改進(jìn)(圖2)。本文通過串聯(lián)一個(gè)彈性元件(胡克模型E2)反映這種特殊變形，從而建立高應(yīng)力作用下含氣軟煤的線性蠕變模型。

圖2 改進(jìn)的廣義Kelvin模型

對于加速蠕變階段，由于具有非線性流變的特性，故不能利用線性的黏彈塑性元件構(gòu)建。受文獻(xiàn)[18-21]啟發(fā)，通過引入一個(gè)非理想黏滯阻尼器與一個(gè)塑性元件并聯(lián)組合的改進(jìn)黏塑性模型(圖3)描述含氣軟煤的加速蠕變階段。

圖3 非線性黏塑性模型

非線性流變問題難以用精確的理論模型表現(xiàn)，因而通常采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头从称渥兓?。選擇合適的函數(shù)形式是建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷年P(guān)鍵，與非線性黏塑性應(yīng)變相關(guān)的因素有時(shí)間、應(yīng)力狀態(tài)等，因此應(yīng)變的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)可設(shè)為ε=f(σ-σs,t)。

眾多學(xué)者提出了適合工程實(shí)際的函數(shù)形式，其中指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式得到了廣泛應(yīng)用，本文通過類比張敏江等[22]關(guān)于結(jié)構(gòu)性軟土的非線性流變方程，建立含氣軟煤的非線性蠕變方程

將非理想黏彈塑性模型與上述改進(jìn)的廣義Kelvin線性黏彈塑性流變模型串聯(lián)起來，可以組建一個(gè)新的六元件非線性黏彈塑性流變模型(圖4)。

圖4 六元件非線性黏彈塑性蠕變模型

該流變模型可以充分反映含氣軟煤巖的加速蠕變特性，分析其本構(gòu)方程，可得到含氣軟煤巖體總的蠕變方程，即

(2)

由式(2)可得含氣軟煤在等圍壓作用下的三軸蠕變方程，即

ε=

(3)

利用MATLAB編程，用最小二乘法對圖1中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，得到六元件非線性黏彈塑性流變模型的參數(shù)(表1)，圖5顯示了模型擬合曲線與含氣軟煤蠕變曲線的對比狀況，圖5中實(shí)驗(yàn)點(diǎn)基本分布在模型擬合曲線上，表明該理論模型能很好地反映含氣軟煤蠕變發(fā)展的全過程。

圖5 六元件非線性黏彈塑性流變模型擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比

表1 六元件非線性黏彈塑性流變模型參數(shù)Tab.1 Parameters of six-component nonlinear viscoelastic plastic rheological creep model

2 垂直井起裂時(shí)間模型

分析式(3)可知，煤巖體的應(yīng)力條件是蠕變模型進(jìn)行求解的關(guān)鍵，而地面井起裂壓力是應(yīng)力條件的一個(gè)主要因素。因此，在構(gòu)建垂直井起裂時(shí)間模型時(shí)，需首先對井壁煤巖體破壞時(shí)所受的臨界射孔壓力——起裂壓力進(jìn)行求解。

2.1 垂直井起裂壓力模型

近年來，眾多學(xué)者基于裂隙性地層進(jìn)行了大量巖體破裂行為研究。研究結(jié)果表明，裂隙形成與地層的原生裂隙特性有著較大的因果關(guān)系。王志榮等[23]在分析豫北焦作礦區(qū)煤層氣儲(chǔ)層原生裂縫幾何特征(長度，寬度，密度)的基礎(chǔ)上，提出了裂隙性儲(chǔ)層定量化指標(biāo)T。并考慮壓裂液在裂縫性儲(chǔ)層運(yùn)移過程中產(chǎn)生的滲透力，應(yīng)用彈性力學(xué)與斷裂力學(xué)原理推導(dǎo)出起裂壓力計(jì)算公式，即

Ps=2ρgT/Rμ+2ρgRw+σH，

(4)

式中：Ps為煤層氣儲(chǔ)層的起裂壓力值，MPa；σH為作用于煤層氣儲(chǔ)層的最大水平主應(yīng)力，MPa；Rw為井筒半徑，m；ρ為地層密度，kg/m3；T為與儲(chǔ)層原生裂隙特征(長度、寬度、密度)有關(guān)的幾何參數(shù)，稱之為裂隙特性指標(biāo)；Rμ為一個(gè)研究區(qū)域內(nèi)的常量(具體推導(dǎo)詳見文獻(xiàn)[23])。

(5)

式中：KIC為目標(biāo)層的斷裂韌性常數(shù)，MPa·m0.5；a為裂紋的半長，m；K為巖石系統(tǒng)的等效滲透系數(shù)，m/s；g為重力加速度，m/s2。

分析式(4)可以看到，基于裂隙滲透率與裂隙特性指標(biāo)的起裂壓力計(jì)算公式，影響因素主要有：煤層氣儲(chǔ)層地應(yīng)力、壓裂液運(yùn)移過程中的滲透力、儲(chǔ)層巖體的力學(xué)性質(zhì)、井孔的尺寸、原生裂縫的尺寸特征(長度、寬度、密度)以及裂縫面的粗糙度。全面考慮以上影響因素，巖體起裂壓力的計(jì)算將更加精確，更能反映煤層氣儲(chǔ)層的壓裂行為。

2.2 時(shí)間計(jì)算模型

當(dāng)水力壓裂的壓裂液滲透到目標(biāo)層后，此時(shí)含氣軟煤巖體受到的有效應(yīng)力為[18]

σ′=Ps-φPr=2ρgT/Rμ+2ρgRw
+σH-φPr，

(6)

式中：φ為目標(biāo)層孔隙指數(shù)；Pr為儲(chǔ)層壓力，MPa。

由式(3)可得關(guān)于有效應(yīng)力的蠕變方程，即

式中，E1，E2，E3為含氣軟煤蠕變模型相應(yīng)的參數(shù)，MPa。

由文獻(xiàn)[24]，蠕變破壞的判別式為

ε>εt，

(8)

式中，εt為軟煤破壞時(shí)的極限拉應(yīng)變。

僅當(dāng)煤體所受的應(yīng)力接近屈服應(yīng)力或大于屈服應(yīng)力時(shí)才會(huì)發(fā)生蠕變失穩(wěn)，故選取式(9)進(jìn)行含氣軟煤巖體的蠕變計(jì)算：

(9)

對ex進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開ex=1+x+x2/2+…，取前兩項(xiàng)，則可得

(10)

移項(xiàng)，取對數(shù)整理，可得

(11)

式(11)所得到的t即為垂直井壓裂條件下的儲(chǔ)層起裂時(shí)間，它顯示了t與起裂壓力Ps有著直接的函數(shù)關(guān)系，式(4)表明Ps的最大控制因素為裂縫特性指標(biāo)T。此外，含氣軟煤的軟化系數(shù)、蠕變指數(shù)、黏滯性系數(shù)、泊松比、拉應(yīng)變強(qiáng)度、地層應(yīng)力和煤層氣壓力等參數(shù)同樣是t的影響因素。而且煤體埋藏越深，理論上地面控制的起裂壓力時(shí)間越長；蠕變指數(shù)越大，煤體流變性越大，越軟弱，理論上地面控制的時(shí)間則越短。利用式(11)對壓裂后含氣軟煤巖蠕變失穩(wěn)的時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，即可以得到壓裂目標(biāo)層的起裂時(shí)間，為合理控制施工過程提供有效的理論支撐。

3 模型驗(yàn)證

3.1 研究區(qū)儲(chǔ)層的物性特征

研究區(qū)焦作煤田是我國典型的“三軟”富水礦區(qū)，山西組二1煤層為主要煤層氣儲(chǔ)層，氣藏埋深多在155～800 m。儲(chǔ)層頂?shù)装宥酁橹旅艿哪鄮r或砂質(zhì)泥巖，滲透率為0.025～0.048 μm2，表明滲透性能較差，隔氣隔水效果良好，宜于煤層氣的儲(chǔ)集。礦區(qū)煤層氣含量為10～35 m3/t，西北部較低，向東南深部逐漸延伸，含氣量增高。據(jù)文獻(xiàn)[25]，焦作地區(qū)煤體泊松比平均為0.31，彈性模量平均為2 500 MPa，儲(chǔ)層壓力Pr約4.14 MPa。

3.2 起裂壓力參數(shù)計(jì)算

在起裂時(shí)間計(jì)算模型中，起裂壓力是最重要的一個(gè)自變量，因此，時(shí)間模型也可以通過起裂壓力的驗(yàn)證來證明其正確性。本文利用焦作礦區(qū)部分試驗(yàn)井現(xiàn)場記錄的壓裂資料(表2)與煤樣裂隙測試資料(表3)，對起裂壓力進(jìn)行了理論計(jì)算(表4)。

表2 焦作礦區(qū)典型井施工參數(shù)

表3 焦作礦區(qū)典型井儲(chǔ)層裂縫控制參數(shù)

表4 焦作礦區(qū)典型井臨界起裂壓力計(jì)算表

3.3 起裂時(shí)間求解驗(yàn)證

由于起裂時(shí)間的復(fù)雜性與非線性，目前尚不能用解析的方法求解。故基于起裂時(shí)間分析模型式(11)，構(gòu)造其非線性方程的迭代格式為

(12)

將蠕變擬合所得參量代入此迭代格式，計(jì)算結(jié)果表明：進(jìn)行8次迭代運(yùn)算后，起裂時(shí)間t趨于穩(wěn)定。分析焦作礦區(qū)現(xiàn)場施工綜合曲線[26]，發(fā)現(xiàn)起裂時(shí)間波動(dòng)區(qū)間為9～18 min，均值為13.3 min。該均值與迭代計(jì)算結(jié)果的均值(表5)較為吻合，初步驗(yàn)證了該理論模型的正確性。

實(shí)踐證明，對流變性軟煤的起裂時(shí)間實(shí)行科學(xué)調(diào)控十分必要。焦作位村礦區(qū)資料顯示，GW試/002井通過嚴(yán)格控制起裂壓力(10.3 MPa)與起裂時(shí)間(15 min)，有效避免了壓裂液對軟弱圍巖的侵蝕損傷，保證了滲流通道的暢通無阻。因而該井產(chǎn)氣、產(chǎn)水量穩(wěn)定，在持續(xù)70 d的滿負(fù)荷試驗(yàn)期間，最高日產(chǎn)氣量為959.29 m3，累計(jì)產(chǎn)氣量達(dá)到3.0×104m3，最高日產(chǎn)水量3.58 m3，累計(jì)產(chǎn)水量僅為48.85 m3。由此可見，根據(jù)煤儲(chǔ)層的流變性與相應(yīng)的鉆進(jìn)工藝，利用本文提出的理論模型進(jìn)行超前計(jì)算，實(shí)現(xiàn)起裂時(shí)間與起裂壓力科學(xué)配置，就能保證鉆、完井效率，并有效降低儲(chǔ)層的突水風(fēng)險(xiǎn)。

表5 焦作礦區(qū)試驗(yàn)井迭代時(shí)間計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)理論研究與生產(chǎn)實(shí)踐表明，自然界大多數(shù)巖體在一定程度上都具有蠕變特性，蠕變失穩(wěn)是引起其內(nèi)部產(chǎn)生裂縫的主要原因。針對含氣軟煤具有明顯的蠕變問題，考慮其具有多孔隙的特征，結(jié)合含氣軟煤的流變特性，建立了改進(jìn)的黏塑性模型，并將其與廣義Kelvin模型、胡克彈性元件串聯(lián)，進(jìn)而建立了六元件非線性黏彈塑性流變模型，以此描述含氣軟煤在一定載荷條件下的蠕變變形特征。

(2)基于含氣儲(chǔ)層裂隙幾何特征，將六元件非線性黏彈塑性流變模型嵌入起裂壓力計(jì)算模型，推導(dǎo)出在一定起裂壓力Ps條件下起裂時(shí)間t的迭代計(jì)算模型，再結(jié)合蠕變擬合參量計(jì)算出起裂時(shí)間的理論值，并與實(shí)測資料進(jìn)行了對比。結(jié)果表明，在持續(xù)蠕變作用下，起裂時(shí)間的理論值與實(shí)測值較為吻合，計(jì)算模型對于壓裂抽采實(shí)踐具有理論指導(dǎo)意義。

(3)起裂壓力與起裂時(shí)間之間的科學(xué)配置是富水礦區(qū)煤層氣綠色開發(fā)的關(guān)鍵。實(shí)際開發(fā)過程中可以通過控制起裂時(shí)間，實(shí)現(xiàn)由起裂壓力到延伸壓力的精準(zhǔn)轉(zhuǎn)變，保證既可順利打開巖體，又能避免損害井壁圍巖，進(jìn)而精準(zhǔn)控制壓裂縫的延伸與擴(kuò)展，最大程度防治周圍地下水害的發(fā)生。