基于稀疏采樣的無線多媒體傳感網(wǎng)圖像壓縮算法

郭 劍，韓 崇，施金宏，薛浩天，孫力娟

(南京郵電大學 a.計算機學院，b.江蘇省無線傳感網(wǎng)高技術研究重點實驗室，南京 210003)

無線多媒體傳感器網(wǎng)絡(WMSNs)是一種由大量低成本傳感器節(jié)點通過無線通信組成的自組織網(wǎng)絡系統(tǒng)。這些節(jié)點通常配備有麥克風、攝像頭以及其他傳感器來收集多媒體數(shù)據(jù)[1]。隨著互補金屬氧化物半導體(CMOS)和低成本無線網(wǎng)絡技術的日益成熟，WMSNs現(xiàn)已被廣泛應用于圖像采集、視頻監(jiān)控等領域[2]。由于WMSNs可以捕獲到更多維的數(shù)據(jù)，獲得的數(shù)據(jù)量更大，因此，處理和傳輸時所需的節(jié)點能耗也會隨之激增。然而，對于布置在惡劣自然環(huán)境中的WMSNs，其節(jié)點能量有限且難以進行補充。一旦電池耗盡，節(jié)點將無法正常工作，有限的能源存量已經(jīng)成為限制WMSNs發(fā)展的瓶頸之一。因此，設計適合的壓縮方案來降低傳輸?shù)哪芎氖欠浅１匾腫3]。

為了延長節(jié)點的生存時間，相關研究者已經(jīng)提出許多壓縮算法來抑制傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量。PHAMILA et al[4]設計了一種基于小波域的低比特率圖像壓縮方案；PAL et al[5]通過引入基于顏色濾波器陣列(CFA)的圖像壓縮方案來解決WMSNs的能源短缺問題；MAMMERI et al[6]提出了一系列低能耗的JPEG圖像傳輸方案。這些方案旨在通過分析圖像并丟棄其中的非必要元素來減少數(shù)據(jù)量，從而使能量消耗最小化。因此，分布式圖像壓縮算法作為一種低能耗的WMSNs壓縮方案，受到了廣泛的關注。WU et al[7]基于小波變換設計出一種用于資源受限的多跳無線網(wǎng)絡的低能耗分布式圖像壓縮方案；魯琴等[8]提出采用雙正交重疊變換[9]和JPEG2000方法的低能耗多點協(xié)作圖像壓縮方法；韓崇等[10]提出了基于奇異值分解(singular value decomposition，SVD)的壓縮和傳輸圖像的分布式圖像壓縮。上述相關研究成果已經(jīng)在數(shù)據(jù)壓縮方面取得了很好的成效，然而，這些方案在數(shù)據(jù)采集的編碼端依然包含有較復雜的計算工作，這樣就會導致有限供電的傳感器節(jié)點在圖像處理過程仍舊需要大量的能源消耗。因此，圖像數(shù)據(jù)處理部分能耗仍需要進一步優(yōu)化。壓縮感知技術的興起，提供了另一種有效的圖像采集和壓縮方式[11]。ZHANG et al[12]提出了一種面向無線圖像傳感器網(wǎng)絡的隨機采樣分塊壓縮感知圖像壓縮算法。ZHANG et al[13]針對圖像恢復問題進行研究，提出了基于低秩近似的多媒體傳感網(wǎng)壓縮感知方法。但這些算法并未考慮壓縮感知算法中采樣矩陣的優(yōu)化選擇問題，容易造成圖像恢復效果不足的問題。

基于上述分析，本文結合WMSNs的特點，考慮多傳感器節(jié)點的協(xié)作性，通過引入壓縮感知技術，實現(xiàn)圖像在傅里葉域上的分塊自適應壓縮采樣與傳輸，通過對圖像采集時采樣矩陣的優(yōu)化設計，提出了一種基于傅里葉域稀疏采樣的分布式多媒體傳感網(wǎng)圖像壓縮算法。

1 預備工作

1.1 壓縮感知框架

傳統(tǒng)圖像信號編解碼方式以奈奎斯特采樣定理為基礎，其采樣過程與壓縮過程是相對獨立的。在編碼端一般先對信號進行獨立采樣，然后對采集到的信號數(shù)據(jù)進行變換(如DCT變換、小波變換等)，變換后得到重要系數(shù)的幅度和位置信息，通過運算找出其中的大量小值數(shù)據(jù)并丟棄，從而實現(xiàn)圖像信息的壓縮。但該解碼方式在圖像的壓縮編碼階段通常會涉及大量的矩陣運算和數(shù)據(jù)統(tǒng)計，對系統(tǒng)的計算能力和存儲資源有一定的要求，不能直接應用到能量供應受限的WMSNs中。

壓縮感知不同于傳統(tǒng)編解碼方式，其最大的特點是以壓縮采樣的方式代替?zhèn)鹘y(tǒng)壓縮算法中涉及的復雜變換計算，這種采樣和壓縮同時進行的過程被稱為壓縮編碼。理論上，只要原始信號是稀疏的，壓縮感知方法就可以用遠低于奈奎斯特標準的速率進行圖像采樣與處理[14]，同時保證恢復出的圖像具有較好的視覺質量。

假設存在稀疏的原始圖像信號表示為s，其列向量長度為N.可以使用觀測矩陣Φ以壓縮采樣的方式對稀疏信號s直接進行觀測采樣，得到的觀測值為y，其列向量長度為M，且M遠小于N.它們之間的關系具體可以表述為：

y=Φs.

(1)

但是，實際情況下原始信號無法保證絕對是稀疏的，對于原始信號非稀疏的情況，可以通過稀疏變換的方式以稀疏系數(shù)來表示。假設存在非稀疏的自然圖像信號x，其稀疏系數(shù)可以表示為：

s=Ψx.

(2)

式中：Ψ表示信號的稀疏變換過程，被稱為稀疏矩陣。由于式(2)是一個欠定方程，無法直接對x進行求解。此時可以將式(2)轉為一個約束條件，使s在最稀疏時可以獲得x的最優(yōu)解，具體可以表示為：

(3)

將上式中的觀測矩陣Φ和稀疏矩陣Ψ進行組合，可以得到θ=ΦΨ，壓縮采樣過程可以重新表示為：

y=θx.

(4)

為了保證重建算法的收斂性，使得稀疏系數(shù)s可以被測量值有效恢復，式(4)中的矩陣θ應當滿足限制等距特征(restricted isometry property，RIP)，即對于任意稀疏矢量v，矩陣θ都能使如下不等式成立：

(5)

由此可見，壓縮感知系統(tǒng)的構造需要三個重要條件：1) 稀疏表示，即利用稀疏矩陣或稀疏變換使原始圖像數(shù)據(jù)在變換域中僅有較少的非零系數(shù)，在本文中涉及的稀疏表示方法主要為傅里葉變換；2) 線性測量，即利用滿足RIP條件的測量矩陣從原始圖像數(shù)據(jù)中提取出測量值；3) 非線性重構，利用少量稀疏測量值計算信號的稀疏表示系數(shù)。

1.2 傅里葉變換

在圖像處理領域，圖像的頻率是一種十分重要的要素，作為灰度在平面空間中梯度的表現(xiàn)，它能夠反映出圖像中灰度變化的劇烈程度。對于圖像而言，其在空間域中的表現(xiàn)方式為灰度分布函數(shù)。而在頻域中時，圖像則通過頻率分布函數(shù)來表示。在滿足一定條件的情況下，可以利用傅里葉變換與傅里葉反變換來實現(xiàn)在圖像在空間域與頻率間的互換。也就是說，傅里葉變換及其逆變換可以實現(xiàn)圖像灰度分布函數(shù)和頻率分布函數(shù)之間的相互轉換。

假設存在一張圖像，其在空間域上的灰度分布函數(shù)為f(x,y)，那么可以利用二維連續(xù)傅里葉變換將圖片變換至頻域表示：

(6)

式中：F(u,v)是圖像的頻率分布函數(shù)，u、v表示頻率變量，分別對應著x軸與y軸；d為積分。

同時，利用二維連續(xù)傅里葉反變換也可以進行圖像頻率分布函數(shù)到灰度分布函數(shù)的變換：

(7)

在實際應用中，由于圖像由大量灰度像素點組合表示，并非絕對連續(xù)，這種情況下可以使用二維離散傅里葉變換：

二維離散傅里葉的反變換過程可以表示為：

(9)

圖1是利用傅里葉變換對測試圖像進行傅里葉域上稀疏表示的效果圖。通過對圖像在傅里葉域上數(shù)據(jù)分布的特征進行分析可以發(fā)現(xiàn)，傅里葉域圖像的中心部分聚集有大量的低頻數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)構成了一塊較為集中的低頻區(qū)域，僅有少部分高頻數(shù)據(jù)分布在圖像中心周圍。整體來看，傅里葉域上數(shù)據(jù)稀疏且圍繞中心分布。圖像在傅里葉域上的這一數(shù)據(jù)分布特征，使得基于傅里葉域的圖像壓縮采樣成為可能。

圖1 圖像在傅里葉域上的稀疏表示Fig.1 Sparse representation of image in Fourier domain

1.3 稀疏采樣

壓縮感知通過稀疏變化的方式將原始圖像映射到稀疏域中，使其在稀疏域中擁有盡可能少的非零元素，從而達到使圖像信息稀疏化的目的。其中，傅里葉變換便是有效實現(xiàn)圖像信息稀疏表達的手段之一。由圖像在傅里葉變換域中的數(shù)據(jù)分布特征可知，其數(shù)據(jù)分布具有稀疏性，且大量低頻信息集中在圖像中心位置，這就為圖像的壓縮收集提供了方便。通過設計適合的觀測矩陣對目標圖像在傅里葉變換域進行掩膜采樣，便可以實現(xiàn)圖像的壓縮。

完整的傅里葉域圖像稀疏采樣及重建流程如圖2所示。對于非稀疏的原始圖像信號x，可以利用稀疏變換(本文使用快速傅里葉變換)將其轉換為稀

圖2 傅里葉域圖像稀疏采樣及重建流程Fig.2 Sparse sampling and reconstruction of image in Fourier domain

疏信號s，然后可以使用設計好的觀測矩陣Φ對稀疏信號s進行稀疏采樣，得到觀測值y.最后，利用圖像重建算法可以將觀測值y恢復成完整的重建圖像信號x′.

傅里葉域稀疏采樣所用觀測矩陣根據(jù)不同的采樣模式設計而成，每種采樣模式都對應有專門的觀測矩陣。隨機笛卡爾采樣和隨機點采樣方便簡單且具有很強的隨機性，這兩種采樣模式的觀測矩陣十分容易滿足與稀疏矩陣之間的RIP條件；螺旋采樣模式一般以阿基米德螺旋(Archimedean spiral)作為采樣軌跡，該方法對于動態(tài)場景具有較好的成像效果；星型采樣和雙星型采樣相比其他采樣模式，更加注重對原始圖像在傅里葉域中心位置聚集的大量低頻數(shù)據(jù)進行采集，其在傅里葉域中心區(qū)域的采樣面積遠大于周邊其他區(qū)域?？紤]到一般情況下自然圖像其傅里葉域上的數(shù)據(jù)分布也是聚集在圖像中心，所以這兩種采樣模式對于一般自然圖像的采樣效果略高于其他模式。特別是雙星型采樣模式，其中心位置的采樣密度更高，在低采樣度的情況下，雙星型采樣有更大可能采集到稀疏數(shù)據(jù)，所以這種采樣方式在低采樣率情況下會有更好的效果。

1.4 圖像重建

在確定了圖像信號的稀疏方法和采樣模式后，便可以對圖像在稀疏變換域上進行壓縮采樣。對于自然圖像信號x，可以利用觀測矩陣Φ對x進行采樣得到測量值為y，對稀疏信號x的重構過程可以根據(jù)式(3)的方法表述為L0范數(shù)最小化問題：

(10)

式中：L0范數(shù)指矩陣中非0的元素個數(shù)，通過對L0范數(shù)的計算可以有效反映出矩陣的稀疏程度。假設存在有矩陣C，它的L0范數(shù)可以通過式(11)來表示。

(11)

然而，L0范數(shù)最小化問題是一個NP-hard問題，計算過程復雜且計算量大，在數(shù)據(jù)維度較大時，計算效率低下。可以對該問題進行凸優(yōu)化，利用L1范數(shù)來代替L0范數(shù)，通過求解基追蹤問題來獲取L0最小化問題的近似解[13]。

2 基于稀疏采樣的圖像壓縮算法

2.1 觀測矩陣序列的構建

傳統(tǒng)圖像壓縮方法一般通過對圖像數(shù)據(jù)的計算和分析，找出圖像信息中的冗余數(shù)據(jù)，通過丟棄冗余信息的方式達到壓縮圖像的目的。然而，求出冗余信息的計算過程往往具有一定的復雜性，對于能量、計算、存儲性能受限的無線多媒體傳感器網(wǎng)絡節(jié)點而言負擔較大。壓縮感知方法則與傳統(tǒng)圖像壓縮方式不同，它可以利用構筑好的觀測矩陣對原始圖像進行直接壓縮采樣，其采樣過程實現(xiàn)了對圖像信息的壓縮，因此對于節(jié)點計算性能的要求大大降低。根據(jù)圖像在稀疏變換域上的數(shù)據(jù)分布，設計合適的觀測矩陣，不但可以降低節(jié)點的數(shù)據(jù)處理能耗，還可以有效保證重建圖像的視覺質量。

經(jīng)過傅里葉變換的圖像，其中心部分聚集有大量的低頻數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)使圖像成分變得易于采樣，也使基于傅里葉域的壓縮采樣成為可能。本文針對這一特性，結合了星型采樣模式和雙星型采樣模式，設計觀測矩陣構筑方法。通過生成一組觀測矩陣序列(其中包含了各個采樣率的觀測矩陣)，可以很好地滿足不同采樣度下的采樣需求。采樣矩陣一般情況下使用星型采樣模式，以均勻分布的采樣軌跡進行采樣，可以適應于任意自然圖像。在低采樣率的情況下，使用雙星型采樣模式進行采樣，從而保證圖像的重構效果。

2.2 傅里葉域稀疏采樣的圖像壓縮方法

對于尺寸較大的圖像，分塊處理是最常用的圖像處理手段。對大尺寸圖像進行塊狀分割并分發(fā)給各個節(jié)點進行處理，不僅可以利用并行處理大幅減少單幅圖像所花費的時間，而且還能夠有效降低單個節(jié)點的數(shù)據(jù)處理能耗。就觀測矩陣構筑方面而言，采用分塊處理可以有效減小觀測矩陣，從而降低WMSNs節(jié)點的存儲空間成本。本文提出的分布式自適應圖像壓縮方法將對采集到的原始圖像進行塊狀分割，并以分布式多點協(xié)作的方式在傅里葉域對其進行稀疏采樣。

自適應圖像壓縮根據(jù)圖像不同區(qū)域的構成復雜度來分別匹配不同的采樣率，從而盡可能提高圖像的整體質量，常用的衡量圖像構成復雜度的標準包括方差、圖像邊緣算子等。其中，方差作為圖像變化劇烈程度的直觀表現(xiàn)，在一定程度上可以反映出圖像構成的復雜度。同時，和其他衡量方法相比，方差更容易計算且計算能耗非常低，因此圖像壓縮方法將各個塊狀圖像各自的方差值作為衡量其信息復雜度的標準，并以此為基準實現(xiàn)圖像的分塊自適應壓縮。算法描述如下。

算法1：圖像分塊自適應壓縮采樣算法

Input：原始圖像矩陣P，平均采樣率R，分塊大小p,q.

Output：塊狀圖像的壓縮數(shù)據(jù)D，觀測矩陣編號n.

(1) [h,w]=size [P];

(2)a=h/p,b=w/q,s=0,t=0;

(3) fori=1 toa

(4) forj=1 tob

(5)t=t+1; ∥對原始圖像進行塊分割

(6)G{t}=P((i-1)×p+1:i×p,(j-1)×q+1:j×q);

(7)v(t)=var(G{t}(:)); ∥求矩陣方差值

(8)s=s+v(t);

(9) end for

(10) end for

(11)d=0.35+R×0.65; ∥設置基礎采樣率

(12) fori=1 tot

(13)r=d+16×v(t)×(1-d)/s; ∥計算自適應采樣度

(14)n(i)=round(r×100); ∥匹配觀測矩陣編號

(15) end for

(16)D=Compressive sampling (G,n)

(17) 輸出壓縮數(shù)據(jù)D和對應的觀測矩陣編號n.

假設原始圖像大小h×w，并按照p×q大小進行塊狀分割。在壓縮端執(zhí)行的圖像分塊自適應壓縮采樣過程可利用算法1進行詳細表述。其中，算法1步驟(16)涉及的壓縮采樣過程由多個普通節(jié)點協(xié)作完成，其處理過程為：普通協(xié)作節(jié)點從原始灰度圖像分割出的塊狀圖像矩陣G{t}，觀測矩陣編號n(t)；載入觀測矩陣序列，對塊狀圖像G{t}進行快速傅里葉變換，得到矩陣F=fftshift(fft(G{t}))；從觀測矩陣序列中提取觀測矩陣W=M{n(t)}；在傅里葉變換域上對塊狀圖像壓縮采樣B=F×W；提取并保存塊狀圖像的壓縮數(shù)據(jù)D{t}=B(find(W!=0))；輸出壓縮數(shù)據(jù)D{t}和對應的觀測矩陣編號n(t).

對塊狀圖像進行自適應壓縮采樣后，整體圖像的實際采樣率為：

(12)

2.3 圖像重建方法

在網(wǎng)絡處于工作狀態(tài)期間，基站或匯聚節(jié)點與傳感器簇頭節(jié)點進行通信并接收來自簇頭節(jié)點壓縮后的圖像數(shù)據(jù)?；净騾R聚節(jié)點會首先根據(jù)接收到的觀測矩陣編號，從觀測矩陣序列中提取相應的觀測矩陣，然后根據(jù)觀測矩陣將壓縮數(shù)據(jù)恢復到欠采樣圖像矩陣狀態(tài)。最后，利用非線性共軛梯度迭代將欠采樣的觀測矩陣進行恢復。

3 實驗與結果分析

通過仿真實驗對本文提出的稀疏采樣多媒體傳感網(wǎng)圖像壓縮算法進行圖像重建多模式評估和圖像恢復質量的對比分析。在現(xiàn)有公開數(shù)字圖像上，首先進行自適應和非自適應采樣模式的圖像質量分析，隨后與現(xiàn)有分布式圖像壓縮算法進行對比實驗和分析，驗證了本文提出算法的有效性。

3.1 不同采樣模式下圖像重建質量分析

圖像重建質量的高低是衡量WMSNs圖像壓縮算法的重要指標之一，本節(jié)將通過實驗證明本文所提出的分塊自適應圖像壓縮算法完全可以滿足實際應用場景下的圖像質量要求。首先，按照以下三種不同的稀疏采樣模式對尺寸為512×512的灰度圖像進行壓縮處理。

模式一：整幀直接壓縮方法，即不進行分塊，直接對整幀圖像進行壓縮。

模式二：分塊直接壓縮方法，先對整幀圖像進行分塊處理，然后分別對各個圖像塊進行直接壓縮，各塊圖像的采樣率均與模式一相同。

模式三：采用本文提出的用分塊自適應壓縮方法，先對整幀圖像進行分塊處理，然后根據(jù)每塊圖像各自的方差進行自適應采樣率分配。各塊圖像的采樣率雖各不相同，但整個圖像的總體采樣率與模式一和模式二保持一致。

為了保證測試結果具有普遍性，分別以Lena、Peppers、Baboon三幅圖像作為測試樣本，在不同綜合采樣率下對算法的重構效果進行了統(tǒng)計，具體結果如表1所示。

表1 不同采樣模式下重建圖像的PSNR值Table 1 PSNR values of reconstructed images in different sampling modes dB

通過表1的實驗對比結果可以看出，使用本文提出的分布式分塊自適應壓縮采樣模式重建出的圖像PSNR更高，表明本文提出的算法模式具有明顯的優(yōu)勢。

3.2 與現(xiàn)有其他分布式圖像壓縮算法對比

將本文提出的算法與BSC-SPL[11]、STD-BCS-SPL[12]和SVD[10]算法進行相同采樣率或壓縮率的圖像恢復質量對比分析。對比結果如圖3-5所示，分別在lena、Barbara 2、Boat圖像上的實驗對比結果。

圖3 Lena圖像重建后的PSNR對比結果Fig.3 PSNR comparison of the results of recovered Lena image

圖4 Barbara2圖像重建后的PSNR對比結果Fig.4 PSNR comparison of the results of recovered Barbara2 image

從圖3-圖5的對比中可以看出，本文提出的基于傅里葉域稀疏采樣的分布式多媒體傳感網(wǎng)圖像壓縮算法，通過自適應地選擇觀測矩陣，在圖像壓縮采集和恢復性能上具有一定的穩(wěn)定性；另外雖然有些情況下SVD算法與本文算法比較相近，但是SVD算法需要進行矩陣分解，其編碼端復雜度要高很多，因此本文提出的采集壓縮算法要更適合于多媒體傳感網(wǎng)應用場合。

圖5 Boat圖像重建后的PSNR對比結果Fig.5 PSNR comparison of the results of recovered Boat image

4 結束語

有限的能量供應是無線多媒體傳感網(wǎng)被大規(guī)模推廣應用的瓶頸之一。本文針對無線多媒體傳感器網(wǎng)絡的低能耗圖像壓縮和傳輸問題，綜合了分布式處理思想和稀疏采樣理論，提出了一種基于傅里葉域稀疏采樣的的分布式圖像壓縮方案。該方案通過將圖像轉換到傅里葉域進行分塊自適應壓縮采樣與傳輸，通過對公開圖片數(shù)據(jù)集和現(xiàn)有算法的對比，驗證了本文提出算法的有效性。本文中提出的圖像壓縮方法遵循“輕編碼，重解碼”的理念，可以使用不同類型的節(jié)點來分攤圖像處理工作，符合WMSNs的設計特征。