基于滑動(dòng)式傅里葉級(jí)數(shù)的BDS精密星歷內(nèi)插分析

廖怡平，鄧健，陳潤靜，江澤霖

(廈門理工學(xué)院,廈門 361024)

0 引 言

衛(wèi)星位置在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)導(dǎo)航定位應(yīng)用中有著至關(guān)重要的作用,其精度直接關(guān)系著終端定位精度[1]．精密星歷可以獲取高精度的衛(wèi)星位置,但精密星歷給出的衛(wèi)星位置間隔一般是15 min．若要得到間隔更小的衛(wèi)星位置就要使用插值法進(jìn)行精密星歷內(nèi)插．

內(nèi)插所用的數(shù)學(xué)模型不同，其效果和精度也大不相同,目前常用的內(nèi)插方法有拉格朗日多項(xiàng)式插值、切比雪夫多項(xiàng)式擬合、牛頓多項(xiàng)式插值、三角函數(shù)插值、內(nèi)維爾插值等．文獻(xiàn)[2]總結(jié)了拉格朗日插值、切比雪夫擬合和內(nèi)維爾插值原理,并內(nèi)插不同GNSS的精密星歷,得出了每種系統(tǒng)最適合的插值法;為了得到不同階的拉格朗日插值使用范圍,文獻(xiàn)[3]使用多種高階拉格朗日插值模型對(duì)GPS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插;文獻(xiàn)[4]通過改變多種插值因素,比較了拉格朗日插值和牛頓多項(xiàng)式插值作用于國際GNSS服務(wù)(IGS)精密星歷的效果;文獻(xiàn)[5]實(shí)現(xiàn)了切比雪夫多項(xiàng)式和拉格朗日多項(xiàng)式插值在GPS精密星歷插值中的應(yīng)用,并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析比較了不同階次多項(xiàng)式對(duì)兩種插值方法的精度影響;文獻(xiàn)[6]使用3種多項(xiàng)式擬合處理北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)精密星歷,獲得了不同軌道衛(wèi)星與擬合方法的關(guān)系,為了解決插值法中存在的“龍格”現(xiàn)象;文獻(xiàn)[7]使用滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法,通過改變計(jì)算使用的節(jié)點(diǎn)數(shù)與多項(xiàng)式階數(shù),來確認(rèn)滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合是否適合BDS中不同種類精密星歷,結(jié)論表明滑動(dòng)式9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合基本滿足定位精度要求．

傅里葉插值法是由三角形式傅里葉展開式變換得來的,它的計(jì)算復(fù)雜程度與常用的插值法對(duì)比相差不大,但目前對(duì)傅里葉插值應(yīng)用于BDS精密星歷的研究較少．因此,本文將基于傅里葉插值的原理,結(jié)合滑動(dòng)式插值方法內(nèi)插BDS地球同步軌道(GEO)、傾斜地球同步軌道(IGSO)、中圓軌道(MEO)三種類型精密星歷,并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析．

1 傅里葉級(jí)數(shù)插值

1.1 傅里葉級(jí)數(shù)插值原理

傅里葉級(jí)數(shù)插值的基本形式為

(1)

式中:f(x)為連續(xù)的周期函數(shù),周期為T；角頻率ω=2π/T；a0,ai,bi(1≤i≤n)為傅里葉系數(shù)．

對(duì)精密星歷做內(nèi)插,其本質(zhì)是建立坐標(biāo)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系．將時(shí)間t作為自變量,三維坐標(biāo)X、Y、Z做因變量．以X坐標(biāo)為例,式(1)可改寫為

(2)

BDS衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期為24 h,即T為24 h,n為階數(shù),t為插值時(shí)間,則式(2)中只有傅里葉系數(shù)需要計(jì)算．對(duì)于傅里葉系數(shù),可以使用已知點(diǎn)去計(jì)算,通過已知點(diǎn)的時(shí)間和坐標(biāo)可以列出以下多項(xiàng)式[8]:

(3)

多項(xiàng)式可以寫成矩陣

X=Tb.

(4)

式中:T為時(shí)間計(jì)算的矩陣系數(shù);b為傅里葉系數(shù);X為已知點(diǎn)X方向坐標(biāo);只需要簡單的求逆即可求出傅里葉系數(shù)

b=T-1X.

(5)

將傅里葉級(jí)數(shù)代入式(1)中可得插值坐標(biāo),同理Y、Z也可用同樣方法求出．

對(duì)于計(jì)算結(jié)果,本文使用兩種精度指標(biāo),分別是點(diǎn)位中誤差和均方根(RMS)進(jìn)行分析,點(diǎn)位中誤差計(jì)算公式

(6)

式中，ΔX、ΔY、ΔZ分別表示X、Y、Z三個(gè)方向的誤差．

以X方向誤差為例,RMS計(jì)算公式

(7)

1.2 滑動(dòng)式插值法

滑動(dòng)式插值是近年來關(guān)于精密星歷內(nèi)插的主要方法[9-10],該方法主要是為了處理插值函數(shù)中嚴(yán)重的“龍格”現(xiàn)象．“龍格”現(xiàn)象發(fā)生于因擬合階數(shù)過高,使得擬合效果在已知點(diǎn)處非常好,但在其他點(diǎn)(或未知點(diǎn))處可能會(huì)造成異常大的差異．滑動(dòng)式插值原理就是在進(jìn)行內(nèi)插時(shí)不斷改變插值區(qū)間,使插值時(shí)間一直位于區(qū)間中央,以此來提高插值精度和避免“龍格”現(xiàn)象．

2 BDS精密星歷內(nèi)插分析

從武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心下載的2020年7月18號(hào)00:00:00—23:45:00的15 min間隔精密星歷文件,其包含BDS 的3種不同軌道類型衛(wèi)星,3種不同軌道的衛(wèi)星分別選取多顆衛(wèi)星作為實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo), GEO類型衛(wèi)星選取3顆,為C018、C006、C011;IGSO類型衛(wèi)星選取3顆,為C010、C017、C019;因文件中MEO類型衛(wèi)星有北斗三號(hào)(BDS-3)與北斗二號(hào)(BDS-2)兩種,故兩種類型分別選取2顆衛(wèi)星,分別為C202、C206和C012、C013．

本次實(shí)驗(yàn)選取的插值節(jié)點(diǎn)間隔為30 min．將每小時(shí)的第15分鐘和第45分鐘時(shí)刻衛(wèi)星坐標(biāo)從精密星歷中剔除．使用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)傅里葉插值,并讀取精密星歷文件進(jìn)行插值計(jì)算．計(jì)算中每小時(shí)整點(diǎn)和第30分鐘時(shí)刻的坐標(biāo)作為已知插值節(jié)點(diǎn),將每小時(shí)的第15分鐘和第45分鐘時(shí)刻衛(wèi)星坐標(biāo)作為計(jì)算目標(biāo)．將計(jì)算結(jié)果與所刪坐標(biāo)做差值,用來分析插值效果．

相同的插值法在階數(shù)不同的情況下,插值結(jié)果的差異是很大的,而影響插值結(jié)果的因素還有衛(wèi)星軌道類型等因素．本文首先對(duì)比3種類型的衛(wèi)星在不同階數(shù)的滑動(dòng)式傅里葉級(jí)數(shù)插值結(jié)果,選出最優(yōu)階數(shù),然后將其與目前常用的切比雪夫擬合進(jìn)行對(duì)比,以此得到傅里葉級(jí)數(shù)插值在BDS精密星歷內(nèi)插中的實(shí)際效果．

2.1 不同階數(shù)的傅里葉插值精度分析

表1是3顆GEO衛(wèi)星在使用多階傅里葉插值后的X、Y、Z的RMS值,可以看出,在3～6階時(shí),GEO衛(wèi)星隨著階數(shù)增加插值效果越來越差．X、Y、Z坐標(biāo)分量殘差在3階達(dá)到最佳,其精度可以達(dá)到mm級(jí)．當(dāng)階數(shù)提升,坐標(biāo)分量中誤差發(fā)生較大變化,精度迅速下降,每個(gè)階數(shù)之間相差一個(gè)數(shù)量級(jí)的精度．總體上,GEO衛(wèi)星精密星歷使用3階傅里葉插值效果最佳．圖1給出了C018衛(wèi)星3階插值時(shí)的三維坐標(biāo)殘差．

表1 GEO衛(wèi)星不同階數(shù)傅里葉插值RMS mm

圖1 C018衛(wèi)星3階傅里葉級(jí)數(shù)插值殘差

表2是3顆IGSO衛(wèi)星精密星歷在使用3～6階傅里葉插值的插值結(jié)果,可以看出,IGSO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插在3～6階傅里葉插值中,插值效果隨著階數(shù)增加精度迅速降低．當(dāng)階數(shù)為3時(shí),三維坐標(biāo)方向殘差可以達(dá)到毫米級(jí),當(dāng)階數(shù)提升至4時(shí),X方向殘差變化不大,Y、Z方向殘差增加．在6階時(shí),精度達(dá)到米級(jí),不能達(dá)到內(nèi)插精度要求．總體上,IGSO衛(wèi)星精密星歷使用3階傅里葉插值效果最佳．圖2僅給出了C010衛(wèi)星在該階插值法的殘差圖像．可以看出,圖2中的圖像兩端發(fā)生波動(dòng),初步分析產(chǎn)生了“邊際效應(yīng)”,即已知擬合節(jié)點(diǎn)分布不均勻,兩端處的擬合效果變差．

表2 IGSO衛(wèi)星不同階數(shù)傅里葉插值RMS mm

圖2 C010衛(wèi)星3階傅里葉級(jí)數(shù)插值殘差

表3和表4分別是BDS-3和BDS-2MEO衛(wèi)星精密星歷使用不同階數(shù)傅里葉插值處理后的方向分量中誤差．從衛(wèi)星型號(hào)來說,使用傅里葉插值內(nèi)插BDS-3衛(wèi)星與BDS-2衛(wèi)星精密星歷,其中誤差相差不大,可以歸為一起討論．與GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星不同,MEO衛(wèi)星在3～6階插值的精度是先增后減．其3階插值結(jié)果的坐標(biāo)分量中誤差相比4階甚至5階更差,但當(dāng)階數(shù)為4時(shí),中誤差變?yōu)?～6階插值法中最小,精度達(dá)到厘米級(jí),5階插值法相比4階精度變低,其數(shù)值增大3倍左右．階數(shù)為6時(shí),中誤差達(dá)到最大值,達(dá)到米級(jí),不能達(dá)到內(nèi)插精度要求．總體上,MEO衛(wèi)星精密星歷使用4階傅里葉插值效果最佳．圖3和圖4給出了BDS-3與BDS-2 MEO衛(wèi)星在最佳階數(shù)下傅里葉插值殘差．

表3 BDS-3 MEO衛(wèi)星不同階數(shù)傅里葉插值RMS mm

表4 BDS-2 MEO衛(wèi)星不同階數(shù)傅里葉插值中誤差 mm

圖3 C202號(hào)衛(wèi)星4階傅里葉插值殘差

圖4 C012號(hào)衛(wèi)星4階傅里葉插值殘差

2.2 切比雪夫擬合精度分析

通過2.1節(jié)分析可以看出,若要使用傅里葉插值處理BDS的GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星精密星歷,精度最高的階數(shù)分別是3階、3階、4階．9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合是目前常用的幾種插值法之一,它的插值精度能滿足目前大多數(shù)需求．為此,本文用9階切比雪夫擬合處理相同的衛(wèi)星,并對(duì)比3種衛(wèi)星階數(shù)最優(yōu)的傅里葉插值法與9階切比雪夫擬合效果．圖5是3種衛(wèi)星分別使用最合適的傅里葉插值和9階切比雪夫擬合的點(diǎn)位中誤差．圖5中的曲線較為平滑,中點(diǎn)至兩端的曲線波動(dòng)較小,沒有產(chǎn)生“龍格”現(xiàn)象,初步分析滑動(dòng)式插值有效避免了“龍格”現(xiàn)象的發(fā)生．

圖5(a)是3階傅里葉插值和9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合處理C018號(hào)GEO衛(wèi)星精密星歷每個(gè)插值時(shí)間的點(diǎn)位中誤差．其中,切比雪夫擬合的RMS為0.67 mm,3階傅里葉插值的RMS為1.61 mm．可以明顯看出,在處理GEO衛(wèi)星精密星歷方面傅里葉插值在絕大多數(shù)插值時(shí)間上的精度都比切比雪夫擬合低,原因可能是插值節(jié)點(diǎn)過少,3階傅里葉插值所用節(jié)點(diǎn)為7個(gè),切比雪夫擬合所用節(jié)點(diǎn)至少要10個(gè)．在處理GEO衛(wèi)星上,切比雪夫擬合和3階傅里葉插值均較為穩(wěn)定,都沒有出現(xiàn)“邊際效應(yīng)”現(xiàn)象．

圖5(b)為3階傅里葉插值和9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合處理C010號(hào)IGSO衛(wèi)星精密星歷的結(jié)果,圖中數(shù)據(jù)為每個(gè)插值時(shí)間坐標(biāo)的點(diǎn)位中誤差．其中,切比雪夫擬合的RMS為3.38 mm,3階傅里葉插值的RMS為10.88 mm．可明顯看出,3階傅里葉插值在處理IGSO衛(wèi)星精度不如9階切比雪夫擬合,并且傅里葉插值出現(xiàn)了嚴(yán)重的“邊際效應(yīng)”現(xiàn)象,插值函數(shù)圖像僅在兩端產(chǎn)生劇烈波動(dòng)．切比雪夫擬合表現(xiàn)更為穩(wěn)定,且精度更高．

圖5 傅里葉插值與切比雪夫擬合對(duì)比結(jié)果

圖5(c)為C202號(hào)MEO衛(wèi)星精密星歷4階傅里葉插值與9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合處理結(jié)果,結(jié)果由每個(gè)插值時(shí)間坐標(biāo)的點(diǎn)位中誤差表示．從圖5(c)可以看出,MEO衛(wèi)星與前兩種衛(wèi)星結(jié)果不同,4階傅里葉插值的精度比9階切比雪夫擬合更高．其中,切比雪夫擬合的RMS為83.17 mm,3階傅里葉插值的RMS為35.37 mm．從圖5(c)中的函數(shù)來看,切比雪夫擬合兩端出現(xiàn)嚴(yán)重的波動(dòng),即“邊際效應(yīng)”現(xiàn)象,4階傅里葉插值則更為穩(wěn)定．

3 結(jié)束語

本文通過改變傅里葉級(jí)數(shù)插值的階數(shù),對(duì)BDS的GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插,并分析其結(jié)果,通過分析可知:

1) 不同階數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)插值在處理BDS精密星歷上,精度最高可以達(dá)到毫米級(jí)．對(duì)于不同類型的衛(wèi)星,達(dá)到最高精度的插值階數(shù)也不同．對(duì)于GEO衛(wèi)星與IGSO衛(wèi)星精密星歷,3階插值法最適合,精度最高可以達(dá)到毫米級(jí)．對(duì)于MEO衛(wèi)星精密星歷,不管是BDS-3衛(wèi)星還是BDS-2衛(wèi)星的精密星歷,4階插值法最適合,精度可以達(dá)到厘米級(jí)．總體上,該算法可以適用于BDS精密星歷內(nèi)插．

2) 9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合與傅里葉級(jí)數(shù)插值采用滑動(dòng)式插值法可以有效避免“龍格”現(xiàn)象的發(fā)生,但無法解決兩端因?yàn)閿M合節(jié)點(diǎn)分布不均勻所帶來的“邊際效應(yīng)”．

3) 9階切比雪夫多項(xiàng)式擬合同樣可以達(dá)到毫米級(jí)以上的精度．在處理BDS衛(wèi)星上,切比雪夫擬合在GEO衛(wèi)星與IGSO衛(wèi)星表現(xiàn)相比3階傅里葉插值更好,精度更高,但就計(jì)算來說,切比雪夫擬合的數(shù)學(xué)模型更復(fù)雜;而對(duì)于MEO衛(wèi)星,4階傅里葉插值效果優(yōu)于9階切比雪夫．