基于線性工作點的水下機器人H∞魯棒控制

蘇偉，王俊雄，王震，牛嘯辰

(上海交通大學(xué) 船舶與海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

0 引 言

水下機器人（Autonomous Underwater Vehicle,AUV）近年來在海洋工程領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，被廣泛應(yīng)用在水下設(shè)備安裝監(jiān)控、大范圍海洋監(jiān)測以及自然資源勘探等領(lǐng)域。由于水下機器人數(shù)學(xué)模型存在強耦合、強非線性、水動力學(xué)系數(shù)不確定以及不確定海流干擾等問題，為保證AUV 在復(fù)雜環(huán)境下能夠正常工作，迫切需要易用且穩(wěn)定性與魯棒性良好的運動控制方法[1-6]。

AUV 的魯棒控制方法是當(dāng)前的研究熱點之一，大量的工作主要集中在低自由度AUV 的線性系統(tǒng)控制。B.Clement 通過非線性補償與卡爾曼濾波實現(xiàn)了AUV 單自由度首向角的H∞魯棒控制結(jié)構(gòu)，對比傳統(tǒng)PID 控制具有低過沖、穩(wěn)定快的優(yōu)點[7]。Juan C. Cutipa-Luque 在解耦的橫移-首向2DOF AUV 模型上應(yīng)用H∞魯棒控制策略，取得了較好的控制效果[8]。Wei Zhang等[9]提出插值型H∞魯棒控制器，分別實現(xiàn)了速度、首向及深度控制器并給出了相應(yīng)的實驗結(jié)果，驗證了控制器設(shè)計思路的有效性。AUV 單自由度的魯棒控制雖然易于單個控制過程實現(xiàn)，但是忽略了AUV 實際上各自由度間的耦合，在實際應(yīng)用上容易造成控制器設(shè)計邏輯復(fù)雜，控制環(huán)節(jié)無法有效平滑過渡以及控制器參數(shù)過多不便校準等問題。為解決AUV 多自由度系統(tǒng)相互耦合、強非線性等問題，本文基于六自由度AUV工作點處的線性化方程，構(gòu)建適用于魯棒控制的不確定性模型，并據(jù)此設(shè)計方便實際應(yīng)用的六自由度H∞魯棒控制器，得到了對應(yīng)的仿真結(jié)果。

1 AUV 六自由度非線性模型

通過對AUV 進行剛體運動及所受外力分析，可以得到AUV 的動力學(xué)及運動學(xué)模型。為研究方便，本文采用Kambara 外形AUV 的模型進行仿真[10]。AUV 的坐標(biāo)系定義如圖1 所示，在此坐標(biāo)系上，隨體坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0到大地坐標(biāo)系 O -XYZ的速度與角速度變換關(guān)系可定義為：

其中η1=[x y z]T， η2=[φ θ ψ]T， v1=[u v w]T，v2=[p q r]T。(x y z φ θ ψ)分別為大地坐標(biāo)系 X0方 向位置， Y0方向位置， Z0方向位置，橫滾角，縱傾角，首向角；(u v w p q r)分別為隨體坐標(biāo)系速度與角速度分量。J1(η2) 和J2(η2)分別為速度與角速度轉(zhuǎn)換矩陣。

圖 1 AUV 坐標(biāo)系定義Fig. 1AUV coordinate system definition

則AUV 六自由度方程可以簡化為Fossen 形式[11]，且M可逆，AUV 六自由度非線性模型為：

2 六自由度AUV 工作點處不確定性模型

本文所提出的六自由度AUV 不確定性模型建立在AUV 工作點處的線性化方程以及魯棒控制中的加性不確定性模型之上，并最終在頻域上對其進行描述，得到耦合性未丟失且方便處理的多自由度控制模型。

為便于處理，定義模型控制輸入為τe=τ-g(η2)，并且式（9）中C(v)， D(v)分別具有如下形式的非線性項：

式中： mii， dj均為模型常數(shù)。對于D(v)中的非線性阻尼項Dn(v)，考慮到AUV 最大速度小于 0 .8 m/s，最大轉(zhuǎn)動角速度小于0.5 rad/s，通過最大速度界函數(shù)Dn(vmax)近似非線性阻尼項使其滿足范數(shù)意義下‖Dn(vmax)‖≥‖Dn(v)‖。

將非線性阻尼項 Kd視為模型不確定性因素，不確定性系統(tǒng) G0可表示為：

將不確定性因素考慮為加性不確定性，則不確定性系統(tǒng) G0與 標(biāo)稱系統(tǒng)G 滿足如下關(guān)系：

其中Wd(s) 為 描述系統(tǒng)不確定性的界函數(shù)， Δ (s)為系統(tǒng)未知攝動。系統(tǒng)加性攝動模型如圖2 所示。

圖 2 AUV 加性攝動模型Fig. 2AUV additive perturbation model

由于本系統(tǒng)為六自由度高階系統(tǒng)，保持結(jié)果準確并且降低系統(tǒng)模型復(fù)雜性，可通過傳遞函數(shù)差值的頻率響應(yīng)得到滿足要求的2 階加性攝動界函數(shù)Wd(s)，使得該界函數(shù)滿足：

根據(jù)文獻[10]中的六自由度非線性AUV 模型，可得到在工作點 v0處展開的系統(tǒng)參數(shù)如下：

為不失一般性，在v0=(0.4 0.4 0.4 0.25 0.25 0.25)工作點處展開，通過式（22）可求得加性攝動界函數(shù)Wd(s)。不確定系統(tǒng)在 v0處的奇異值如圖3 所示。

圖 3 六自由度AUV 不確定性系統(tǒng)奇異值Fig. 3Singular values of the six-DOF AUV uncertainty system

3 AUV 線性模型的H∞控制器

本文采用回路成形設(shè)計方法得到六自由度AUV 不確定性模型H∞控制器，設(shè)計時采用經(jīng)典的閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)如圖4 所示。其中r 為參考輸入，d 與n 分別是輸出擾動與傳感器噪聲，y 為系統(tǒng)輸出。

圖 4 閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖Fig. 4The closed-loop control structure

開環(huán)傳遞傳遞函數(shù)L(s)=G0(s)K(s)，定義敏感函數(shù)S(s)=(I+L(s))-1及補敏感函數(shù)T(s)=L(s)(I+L(s))-1。敏感函數(shù)與補敏感函數(shù)滿足S(s)+T(s)=I，則閉環(huán)輸入輸出結(jié)構(gòu)中的傳遞函數(shù)關(guān)系滿足：

得到的控制器K(s)在滿足將系統(tǒng)G0(s)鎮(zhèn)定的同時，根據(jù)公式：

1）在低頻段范圍使 | L(jω)|＞＞1，以保證控制器對低頻干擾不敏感且具有良好信號跟蹤能力；

2）在高頻段范圍使 | L(jω)|＜＜1，以保證控制器有良好的高頻噪聲抑制能力。

滿足條件的控制器由如下定理[13]確定：

定理設(shè) G 與 K分別為控制對象與控制器， ζ為全體穩(wěn)定實有理傳遞函數(shù)集合，G(s)G 在 ζ中的一個互質(zhì)分解。X,Y ∈ζ，滿足XN+YM=1，則使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定的所有控制器 K的集合為：

其中 Q 為控制器參數(shù)。

本文計算得到的控制器用于在v0=(0.4 0.4 0.4 0.25 0.25 0.25)工作點的六自由度AUV 系統(tǒng)，該控制器在回路成形計算時選取了Gd=100/s作為目標(biāo)曲線進行成形計算，得到控制器K(s)的奇異值如圖5 所示。該六自由度控制器在低頻段具有更大的控制作用以增強系統(tǒng)的跟蹤性能。該控制器求解得到的開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)的結(jié)果如圖6 所示，可以看出該曲線很好滿足了開環(huán)傳遞函數(shù)目標(biāo)曲線。在低頻段開環(huán)傳遞函數(shù)的奇異值遠大于1，在頻率大于100 rad/s后開環(huán)傳遞函數(shù)奇異值開始快速減小以提高對高頻干擾噪聲的抑制能力。

圖 5 給定工作點處六自由度魯棒控制器奇異值曲線Fig. 5The singular value curve of the 6-DOF robust controller at a given operating point

圖 6 開環(huán)傳遞函數(shù)奇異值曲線Fig. 6Singular value curve of the open-loop transfer function

4 H∞控制器仿真結(jié)果

將控制器作用于給定工作點 v0后的六自由度AUV系統(tǒng)，圖7 與圖8 分別給出了作用控制器后閉環(huán)系統(tǒng)的敏感函數(shù)曲線以及補敏感函數(shù)曲線。得到的閉環(huán)系統(tǒng)敏感函數(shù)在高頻奇異值減小，體現(xiàn)了魯棒控制器在高頻對干擾信號的抑制能力已經(jīng)得到保證。補敏感函數(shù)曲線中低頻段曲線集中在分貝值0 dB 附近，表示系統(tǒng)在低頻段具有良好的參考信號跟蹤能力。而且，低頻段的補敏感函數(shù)頻帶較寬，表示控制器具有較好的性能魯棒性。

圖 7 閉環(huán)系統(tǒng)的敏感函數(shù)曲線Fig. 7Sensitivity function curve of the closed-loop system

圖9～圖11 給出了閉環(huán)系統(tǒng)在工作點 v0時，在u 方向輸入0.15 m/s 正弦信號，w 方向輸入-0.15 m/s，同時在u，v，w 方向均施加頻率為30 rad/s，幅值為0.015 m/s 的正弦干擾信號，其余參考信號均為0 的情況下魯棒控制器與PID 控制器六自由度響應(yīng)對比曲線。從圖中可以看出，魯棒控制器在更短的時間內(nèi)滿足了階躍信號的輸入要求，并在10%幅值的正弦擾動下仍舊能夠保持穩(wěn)定性，表示該魯棒控制器具有良好的信號跟蹤能力。通過干擾抑制的數(shù)據(jù)對比，魯棒控制器相比PID 控制器對高頻干擾有更強的抑制能力。同時，由于本系統(tǒng)為耦合系統(tǒng)，從圖中可以看出非參考信號的自由度之間耦合影響不大，說明該魯棒控制器具有優(yōu)良的抗干擾能力。

圖 8 閉環(huán)系統(tǒng)的補敏感函數(shù)曲線Fig. 8Complementary sensitivity function curve of the closed-loop system

圖 9 u 方向?qū)Ρ软憫?yīng)曲線Fig. 9Response curve in u direction

圖 10 v 方向?qū)Ρ软憫?yīng)響應(yīng)曲線Fig. 10Response curve in v direction

圖 11 w 方向?qū)Ρ软憫?yīng)響應(yīng)曲線Fig. 11Response curve in w direction

5 結(jié) 語

本文通過對自由度間相互耦合、強非線性的AUV模型在工作點附近進行了線性化，給出了該線性化模型的操作過程及結(jié)果，并據(jù)此建立了適合應(yīng)用魯棒控制方法的加性不確定性模型。使用回路成形方法得到了對應(yīng)工作點的魯棒控制器，對閉環(huán)系統(tǒng)的仿真試驗取得了良好的控制效果，驗證了回路成形方法設(shè)計的魯棒控制器在多自由度AUV 系統(tǒng)中使用的有效性，未來可以針對多個工作點的魯棒控制器連續(xù)工作做進一步的研究。