優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，讓高中數(shù)學(xué)教學(xué)更有效

魯明星

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.本文主要從激發(fā)性、關(guān)鍵處、剖析式、實(shí)踐性、拓展式等角度優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，以期達(dá)到發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的目的.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);問題設(shè)計(jì);素養(yǎng)提升

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要提出目的明確的問題，為學(xué)生的思考提供指引，激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，引發(fā)學(xué)生深入思考，讓他們站在不同的角度分析，形成多元的答案.教師要把控問題的范圍，加強(qiáng)問題與知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).教師要設(shè)置有一定梯度的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思維步步深入，促進(jìn)學(xué)生思維的跨越.教師要把握問題的難度，以引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生在思考、交流中獲得思維品質(zhì)的提升.教師要依據(jù)學(xué)情，針對(duì)課堂中出現(xiàn)的問題引導(dǎo)學(xué)生交流，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

一、以激發(fā)性提問吸引參與興趣

上課開始，教師要以有趣的問題調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，吸引學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的探究.學(xué)生只有經(jīng)歷知識(shí)探究的過程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷程，從而去探尋問題的本質(zhì)，這樣才能將所學(xué)的知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師要以激發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生參與探究求知，為他們的問題探索提供動(dòng)力.教師創(chuàng)設(shè)的情境要有趣，能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的氛圍，能引發(fā)他們對(duì)問題的思考.例如，在學(xué)習(xí)蘇教版必修一《函數(shù)的單調(diào)性（1）》內(nèi)容時(shí)，教師呈現(xiàn)濱海縣某天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖（如下圖），并提出問題：氣溫在哪些時(shí)段是逐步升高的或是下降的？如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫[14，24]內(nèi)“隨著時(shí)間變化氣溫逐漸降低”這一特征呢？教師借助于情境的創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生關(guān)注生活中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析隨時(shí)間的變化函數(shù)值的大小變化.

很多學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)知識(shí)較為抽象，他們易產(chǎn)生畏難情緒，如果不及時(shí)地對(duì)他們的情緒加以緩解，會(huì)影響他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與內(nèi)化.教師要聯(lián)系學(xué)生的生活，以生活化的情境調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生探索抽象的知識(shí)，消除其對(duì)數(shù)學(xué)的畏難心理，讓學(xué)生積極地融入數(shù)學(xué)課堂.教師要運(yùn)用多樣的引入方式，設(shè)計(jì)有效的課堂情境，引發(fā)學(xué)生的探究興趣.例如，在學(xué)習(xí)蘇教版必修一《指數(shù)函數(shù)》一課內(nèi)容時(shí)，教者創(chuàng)設(shè)問題情境：（1）某種細(xì)胞由1個(gè)分裂為2個(gè)，由2個(gè)分裂成4個(gè)，……經(jīng)過x次分裂后，由1個(gè)細(xì)胞變?yōu)閥個(gè)，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;（2）某放射物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留質(zhì)量為原來的 50%，設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過x年后剩留量為y，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.以上兩個(gè)函數(shù)有何共同特征？能否統(tǒng)一寫成一般的函數(shù)表達(dá)式呢？教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)指數(shù)函數(shù)的定義.

二、在關(guān)鍵處提問順暢思維

教師要在概念導(dǎo)入處、解決重難點(diǎn)知識(shí)時(shí)、學(xué)生易錯(cuò)處設(shè)計(jì)問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索興趣，深化學(xué)生對(duì)問題的理解.教師要在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)導(dǎo)入，讓學(xué)生抓住其中的本質(zhì)內(nèi)容.教師要深挖教材，精研內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的問題，促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的探尋.數(shù)學(xué)知識(shí)的探究要經(jīng)歷由一般到特殊的過程，要由教師講授、學(xué)生模仿的方式向?qū)W生的自主探索轉(zhuǎn)移.教師要設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生自主思考的問題，激活學(xué)生的思維，促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.例如，在學(xué)習(xí)蘇教版必修一《冪函數(shù)》一課內(nèi)容時(shí)，教師讓學(xué)生回顧：指數(shù)函數(shù)的一般形式是什么？y=ax（a>0，a≠1）有什么特征？y=x，y=x2，y=x3，y=x13，y=x12，y=x-1是不是指數(shù)函數(shù)？這些都是x的多少次冪的形式，叫作什么函數(shù)呢？教師引出冪函數(shù)的概念，讓學(xué)生說說冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有什么聯(lián)系與區(qū)別.

教師可以在講解重點(diǎn)知識(shí)時(shí)提問，設(shè)計(jì)由易到難的一系列問題串，為學(xué)生搭建循序而學(xué)的臺(tái)階，讓學(xué)生由易到難地解決問題，從而深化對(duì)問題的理解.教師可以將重點(diǎn)內(nèi)容分解成一個(gè)個(gè)小的問題，并組成層層遞進(jìn)的問題串，這樣能降低問題的難度，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的思考.例如，蘇教版必修三《循環(huán)語句》一課的重點(diǎn)內(nèi)容是：條件語句的表示方法、結(jié)構(gòu)、用法以及用條件語句表示算法.教師提出問題一：某浴室為節(jié)約用水開始實(shí)行計(jì)時(shí)收費(fèi)，在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）每分鐘0.1元，超過30分鐘的部分按每分鐘0.2元收費(fèi)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法并用基本語句描述計(jì)費(fèi)過程.學(xué)生通過算法程序的設(shè)計(jì)、輸入，能體會(huì)到計(jì)算機(jī)解決問題的便捷性，也從中收獲了成功的體驗(yàn).教師提出問題二：在超市中，唱片售價(jià)為每張25元，如果購買5張或5張以上的按九折收費(fèi)，購買10張或10張以上的按八五折收費(fèi)，請(qǐng)用算法語句描述計(jì)費(fèi)工作.學(xué)生先用變量m表示顧客購買的唱片張數(shù)，用變量C表示顧客要繳納的金額.先輸入m，并對(duì)m進(jìn)行判斷，分為幾種情況：若m<5，則C=25m;若5≤m<10，則C=25m×0.9;若m≥10，則C=25m×0.85.教師要為學(xué)生留出單獨(dú)探索的空間，放手讓他們嘗試完成，從而培養(yǎng)他們的操作能力與創(chuàng)新精神.

學(xué)生在探索交流的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤的認(rèn)知，教師要善于利用這些錯(cuò)誤點(diǎn)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)自己所犯的錯(cuò)誤并尋找出錯(cuò)的根源，能有針對(duì)性地改正錯(cuò)誤，從而學(xué)會(huì)用錯(cuò)，避免錯(cuò)誤的再次發(fā)生.通過探錯(cuò)、糾錯(cuò)的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生會(huì)表現(xiàn)得更加主動(dòng)，使自己對(duì)知識(shí)的理解變得更加深刻.例如，有兩個(gè)圓O1，O2，它們的半徑分別為1與2，且|O1O2|=4，若動(dòng)圓P與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是什么？請(qǐng)說明理由.部分學(xué)生忽略了雙曲線定義中的絕對(duì)值，因而出現(xiàn)解答錯(cuò)誤.教師如果忽略了學(xué)生的反饋，而直接講解，往往會(huì)影響教學(xué)的效果.教師讓學(xué)生說說解決的過程.有一名學(xué)生是這樣說的：因|PO2|-|PO1|=3（常數(shù)），且3<4=|O1O2|，故P點(diǎn)的軌跡為以O(shè)1和O2為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.教師讓學(xué)生觀察|PO2|-|PO1|=3與雙曲線的定義有無區(qū)別.在教師的引導(dǎo)下，這名學(xué)生指出|PO2|-|PO1|=3左側(cè)的整體沒有絕對(duì)值，因而是雙曲線的一支.教師依據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行引導(dǎo)，能引發(fā)學(xué)生的思考，讓他們對(duì)雙曲線定義的認(rèn)識(shí)走向深入.

在課堂小結(jié)時(shí)，教師通過提問梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶內(nèi)化.教師可以提出與知識(shí)引入時(shí)對(duì)應(yīng)的問題，能給學(xué)生帶來承上啟下的感受，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)形成深刻的認(rèn)知.例如，在學(xué)完冪函數(shù)內(nèi)容后，教師提出問題：為何用五個(gè)特殊的函數(shù)研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)？?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)有哪些？你能找出一個(gè)研究新函數(shù)的方法嗎？教師通過問題梳理認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生抽象、推理思維能力的提升.

三、以剖析式提問引生深入

教師在遇到重點(diǎn)、難點(diǎn)問題時(shí)，可以將其拆分成低起點(diǎn)、有梯度的問題，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決.教師要針對(duì)數(shù)學(xué)抽象性強(qiáng)、學(xué)生畏難的心理，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，合理地拆分問題，讓他們感受到成功解題帶來的快樂，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.例如，在學(xué)習(xí)選修二中《導(dǎo)數(shù)的概念（2）》內(nèi)容時(shí)，教師提出問題：在高臺(tái)跳水的運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在h=-4.9t2+6.5t+10的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)問：該運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤6549內(nèi)的平均速度是多少？該運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？用平均速度描述該運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在怎樣的問題？如何求該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度？通過計(jì)算t=2 s時(shí)的瞬間速度，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，觀察平均速度的數(shù)值，你會(huì)得到怎樣的結(jié)論？運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度如何表示？函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示？教師針對(duì)教學(xué)中的難點(diǎn)問題，選擇具有趣味性的問題引發(fā)學(xué)生的思考，讓他們?nèi)ヌ綄栴}的本質(zhì).教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考問題，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)自己的理解.

教師要抓住單元章節(jié)的邏輯體系，帶領(lǐng)學(xué)生去分析知識(shí)中存在的疑難問題，并以一定的邏輯呈現(xiàn)，合理地設(shè)計(jì)問題串.問題的設(shè)計(jì)要具有挑戰(zhàn)性，但要合理把握問題的難點(diǎn)，能讓學(xué)生夠得著.問題之間有一定的聯(lián)系，前一個(gè)問題是后一個(gè)問題的基礎(chǔ)，后一個(gè)問題是前一個(gè)問題的延伸，通過承上啟下式的問題，促進(jìn)學(xué)生循序漸進(jìn)地思考.教師在提問時(shí)，要優(yōu)化提問方式，可以將相似的知識(shí)點(diǎn)放在一起，運(yùn)用對(duì)比式的提問，如在講等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，可以與等差數(shù)列的性質(zhì)放在一起，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去學(xué)習(xí)新知，大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度.教師要提出具有啟發(fā)性、拓展性的問題，激活學(xué)生的思維，為學(xué)生的思考指明方向，引發(fā)學(xué)生深入思考.

四、以實(shí)踐性提問發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)活動(dòng)離不開認(rèn)知與操作，學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)，能增進(jìn)對(duì)問題的交流，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).教師可以提出實(shí)踐性的問題，豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展.數(shù)學(xué)課堂上的知識(shí)來源于間接經(jīng)驗(yàn)，能讓知識(shí)得到快速傳播.但教師也要充分利用學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，教師可以借助于多媒體課件、幾何畫板等，讓學(xué)生感受直觀的圖形，理解數(shù)形結(jié)合的思想，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的深入理解.間接經(jīng)驗(yàn)往往是由直接經(jīng)驗(yàn)總結(jié)、提煉出來的，教師要發(fā)揮其教育價(jià)值，通過有效的手段將間接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為直接經(jīng)驗(yàn)，這能提升學(xué)生的自主探索能力.教師要開展實(shí)踐性的提問，引領(lǐng)學(xué)生融入學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓他們動(dòng)腦動(dòng)手，積極地參與操作活動(dòng)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵.

例如，在蘇教版必修四《學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用》一課內(nèi)容時(shí)，教師向?qū)W生呈現(xiàn)某港口在某季節(jié)每天的整點(diǎn)時(shí)間與水深關(guān)系表，請(qǐng)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)，看看能否從中獲得一些信息.學(xué)生通過對(duì)數(shù)據(jù)的觀察，發(fā)現(xiàn)水深有變化，從而猜想出這種變化呈周期性的變化規(guī)律，為借助散點(diǎn)圖來表示這些數(shù)據(jù)做好鋪墊.教師提出問題：如何畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖？你能使用圖形計(jì)算器畫出散點(diǎn)圖嗎？通過教師的提問、學(xué)生的探討，以時(shí)間為橫軸、水深為縱軸，運(yùn)用描點(diǎn)法畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)曲線的形狀與走勢(shì)，分析曲線的形成與特征，判斷函數(shù)模型，用正弦函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k來近似擬合.我們已知知道港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系，確定形如y=2.5sinπ6x+5的模型來刻畫，再利用該模型解決有關(guān)貨船進(jìn)出港的一些實(shí)際問題：一條貨船吃水深度為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能待多久？教師引導(dǎo)學(xué)生探究問題，分析：貨船進(jìn)入港口所需滿足的條件是什么？如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示這一條件？如何解這個(gè)不等式？若將不等式兩端看成兩個(gè)函數(shù)，分別作出它們的函數(shù)圖像，用數(shù)形結(jié)合的思想去分析，那么滿足條件的解是圖像中的哪部分？在[0，24]內(nèi)滿足條件的解集是什么？依據(jù)圖像貨船應(yīng)選擇什么時(shí)候進(jìn)港，什么時(shí)候出港？能待多長(zhǎng)時(shí)間？教師要借助問題，讓學(xué)生感受三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

五、以拓展式提問發(fā)散思維

教師在結(jié)課前十分鐘對(duì)本課或本章節(jié)進(jìn)行知識(shí)梳理、思想概括，并由點(diǎn)到面地呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu).教師要借助于拓展性的提問促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，幫助學(xué)生形成獨(dú)立思考的能力.例如，在學(xué)習(xí)蘇教版必修一《對(duì)數(shù)函數(shù)》內(nèi)容后，教師提出問題：你能結(jié)合生活實(shí)際舉出指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用嗎？你能說說指數(shù)函數(shù)概念的拓展過程嗎？對(duì)數(shù)函數(shù)是如何推導(dǎo)出來的？你能否依據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的研究過程，說說我們可以從哪幾個(gè)方面研究新函數(shù)？你能舉出“爆炸式增長(zhǎng)”的例子嗎？

教師也可以開展由點(diǎn)到面的拓展性提問，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容的理解.教師要借助疑問，拓展學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的深入思考.教師可對(duì)問題進(jìn)行深度的挖掘，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念.

教師可以向?qū)W生展示數(shù)學(xué)家的研究歷史與思維過程，或?qū)﹀e(cuò)題進(jìn)行分因，尋找成因，并通過提問幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，或以問題串引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，讓他們循序而學(xué)，探尋知識(shí)本質(zhì).例如，針對(duì)學(xué)生對(duì)雙曲線認(rèn)識(shí)模糊的問題，教師設(shè)計(jì)變式問題：已知圓C：（x+3）2+y2=4及點(diǎn)M（3，0），P為圓周上一點(diǎn)，MP的垂直平分線交直線CP于點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程是什么？已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足||MA|-|MB||=2，則點(diǎn)M的軌跡方程是什么？教師借助于拓展問題引領(lǐng)學(xué)生探究，能深化他們對(duì)抽象概念的理解.

教師通過對(duì)問題加以變化、引申、拓展，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維潛能，拓展學(xué)生的知識(shí)視野，豐富他們對(duì)問題的理解.例如，在學(xué)習(xí)蘇教版必修一《函數(shù)的奇偶性》一課內(nèi)容時(shí)，在學(xué)生理解函數(shù)奇偶性的概念時(shí)，用定義判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性后，教師提出拓展問題：已知函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，求證：f（x）=0.學(xué)生通過條件f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，從而獲得結(jié)論f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），由此可以推導(dǎo)出f（x）=0.教師進(jìn)一步追問：這樣的函數(shù)應(yīng)該有多少個(gè)？很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這樣的函數(shù)只有一個(gè)，在提示、引導(dǎo)下，他們通過改變函數(shù)的定義域從而獲得不同的函數(shù).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要營造輕松的氛圍，提出趣味性、啟發(fā)性的問題，促進(jìn)學(xué)生的行為投入.教師要在重點(diǎn)處、難點(diǎn)處、易錯(cuò)處提問，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)他們思維品質(zhì)的提升.

【參考文獻(xiàn)】

[1]葉強(qiáng).問題解決式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用體會(huì)[J].文理導(dǎo)航，2015（14）：22.

[2]余金榮.創(chuàng)設(shè)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)問題情境的若干原則[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（10）：10.

[3]卓斌.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中問題串的設(shè)計(jì)與使用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（06）：2-5.