導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用研究

石秀秀

摘 要：高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)在數(shù)學(xué)中占有重要地位，是畢業(yè)考試的重點(diǎn)，通過學(xué)習(xí)正確的思維方式，我們可以更好地理解函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，增強(qiáng)了我們的整體能力?；诖?，本文分析了導(dǎo)數(shù)在高中題目解答中的應(yīng)用，對(duì)導(dǎo)數(shù)的典型性進(jìn)行探究分析，并提出了應(yīng)用的策略。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);應(yīng)用研究

導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，在高中數(shù)學(xué)的微積分教學(xué)中也起著關(guān)鍵的作用，然而，高中生在解決導(dǎo)數(shù)問題有一定的難度，這降低了他們的學(xué)習(xí)興趣。因此，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中，必須充分利用經(jīng)典導(dǎo)數(shù)實(shí)例來確定導(dǎo)數(shù)的典型應(yīng)用，尋找求解導(dǎo)數(shù)的正確方法，提高導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位。

一.導(dǎo)數(shù)的定義

微積分是導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)。當(dāng)函數(shù)的參數(shù)x在點(diǎn)x0處產(chǎn)生增量Δx時(shí)，當(dāng)Δx接近0時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比率為限值a，如果存在，那么a就是在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

而函數(shù)的性質(zhì)就是導(dǎo)數(shù)。某點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)描述了該點(diǎn)附近函數(shù)的變化速度。如果自變量和函數(shù)值是實(shí)數(shù)，則該點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)函數(shù)的對(duì)角線曲線。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是通過極限概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行部分線性逼近。如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體隨時(shí)間移動(dòng)的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

當(dāng)一個(gè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)時(shí)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)可以稱為微分或可導(dǎo)?？蓪?dǎo)函數(shù)必須是連續(xù)的。然而，對(duì)于導(dǎo)數(shù)來說，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限解析的數(shù)學(xué)過程，導(dǎo)數(shù)的四個(gè)運(yùn)算法則幾乎都是從極限法則中推導(dǎo)出來的[1]。

二.高中數(shù)學(xué)問題解答中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）導(dǎo)數(shù)在最值求解中的應(yīng)用

在研究高中數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，往往會(huì)遇到與函數(shù)最值有關(guān)的問題。同時(shí)，而本課題是我們學(xué)習(xí)過程的核心組成部分，可以通過不同的方式提供有效的答案。此外，經(jīng)常采用導(dǎo)數(shù)法解決最值求解問題。使用導(dǎo)數(shù)解決的最常見問題是二次函數(shù)的最大值問題。主要內(nèi)容是在確定參數(shù)精度的同時(shí)，找出固定覆蓋范圍內(nèi)的最大值和最小值。雖然解決這類問題的一般思路通常是結(jié)合數(shù)形結(jié)合方法，在實(shí)際的解決方案過程中，必須使用不同的數(shù)據(jù)和圖形，但大多數(shù)學(xué)生通過這種方法都會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，或者通過導(dǎo)數(shù)的方式，得出更多的結(jié)論，然后通過對(duì)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的分析，只需將最大值一一對(duì)應(yīng)于區(qū)間，這比其他解更簡單。

由于函數(shù)f（x）=x3+3x在最小值和最大值之間的范圍為-3到0，這個(gè)問題是求解最值的一個(gè)相對(duì)基本的問題，以下是解題過程，首先是一個(gè)求出極值范圍內(nèi)的函數(shù)，然后將端點(diǎn)值作為比較分析的函數(shù)，然后顯示最值。這類問題可按以下方式回答，因?yàn)閒（x）=3x3-3，因此允許F（x）=0，因此可以得出結(jié)論，X=1被排除在外，由于f（-3）=-17，F(xiàn)（1）=3，F(xiàn)（0）=1，比較分析表明，f（x）=最大值為3，最小值為-17。在用導(dǎo)數(shù)求解問題的過程中，主要有三個(gè)步驟：首先，必須在一定的區(qū)間內(nèi)求解函數(shù)的極值;其次，在端點(diǎn)處尋找函數(shù)量;最后，必須比較找到函數(shù)值和極值，以獲得函數(shù)的最值[2]。

（二）導(dǎo)數(shù)在曲線問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在幾何問題中的有效應(yīng)用簡化了計(jì)算方法，同時(shí)使我們能夠在盡可能短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出正確的答案。這類問題在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到與坐標(biāo)系相切的方程組問題時(shí)非常常見。在大多數(shù)情況下，這種類型的問題會(huì)告訴我們曲線外的一種坐標(biāo)點(diǎn)，然后讓我們找到與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線切線的方程。對(duì)于這類問題，我們可以用導(dǎo)數(shù)的方法來解決。例如在下面的例子中們被告知c曲線是y=f（x），因此需要曲線的切線方程，該方程通過點(diǎn)P（x0，y0）的位置。這類問題的解決方案可以使用導(dǎo)數(shù)的解題方法和概念來找到。首先，在確定系數(shù)f（x）并進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算之前，必須精確分析點(diǎn)P的位置，以確定點(diǎn)P是否位于相應(yīng)曲線C的上方，然后在求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)F（x）并進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算后求解。在這一過程中，應(yīng)注意結(jié)合不同的分析情況，例如，當(dāng)P在C線上時(shí)，只需求解切線對(duì)應(yīng)的方程，然后獲得最終答案。如果存在P點(diǎn)不在C線上方的情況，必須求解其相鄰切點(diǎn)。這樣，我們就可以找到兩種穿過一條直線的坐標(biāo)點(diǎn)，并求解對(duì)應(yīng)于穿過點(diǎn)P的曲線C的方程。

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，我們還經(jīng)常遇到與切線相關(guān)的問題，如三角形的切線等。如果可以用傳統(tǒng)方法求解切線方程，有必要繪制更復(fù)雜的圖形，并提高錯(cuò)誤率。它將有助于擴(kuò)展我們的解決問題的方法，使整個(gè)求解過程更加簡潔，如果我們?cè)谇芯€解中引入導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠在保證解題正確性的同時(shí)，對(duì)問題的整個(gè)求解過程進(jìn)行更簡短的解答。

（三）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性或區(qū)間單調(diào)性進(jìn)行判斷，可以有效地說明數(shù)型結(jié)合本身的意義。在我們確定函數(shù)單調(diào)性的同時(shí)，習(xí)慣用定義方法決定。同時(shí)，站在定義角分析上，盡管其使用率很高，但往往開發(fā)一些復(fù)雜函數(shù)的例子更困難。然而，使用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性是快速和方便的，這適用于簡單函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)。

例如：使用導(dǎo)數(shù)來表示函數(shù)的單調(diào)性基本上是基于函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)在該函數(shù)的區(qū)間[a，b]大于0這一事實(shí)，因此函數(shù)應(yīng)單調(diào)增加。

結(jié)論

總之，教師需要對(duì)導(dǎo)數(shù)的重要性進(jìn)行充分認(rèn)知，改進(jìn)高中數(shù)學(xué)問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，使求解過程更加簡單直觀，加快解決問題的速度，提高教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蔣妍雯. 高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題典型性應(yīng)用[J]. 當(dāng)代旅游，2017（15）：247.