具有變指數(shù)的退化拋物方程解的唯一性

詹華稅, 袁洪君

(1. 廈門(mén)理工學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 福建 廈門(mén) 361024； 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

1 引言與主要結(jié)果

考慮具有變指數(shù)的退化拋物方程

(1)

解的存在唯一性問(wèn)題, 其中:ρ(x)=dist(x,?Ω)是距離函數(shù),Ω∈N是C2上具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域;α>0是常數(shù);是Lipschitz函數(shù);a(s)是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)上升的連續(xù)函數(shù). 當(dāng)a(s)=s,α=0時(shí), 關(guān)于方程(1)解的存在唯一性研究已有很多結(jié)果[1-5]. 當(dāng)α>0時(shí),ρα|x∈?Ω=0, 方程(1)在邊界上退化, 于是除了初始條件

u|t=0=u0(x),x∈Ω

(2)

和齊次邊界條件

u(x,t)=0, (x,t)∈?Ω×(0,T)

(3)

外, 有時(shí)可用局部邊界條件

u(x,t)=0, (x,t)∈Σp×(0,T)

(4)

代替條件(3), 這里Σp??Ω或Σp=?, 即不用邊界條件可得到方程(1)解的唯一性. 文獻(xiàn)[6-10]分別在上述條件及不同的邊界條件下討論了方程(1)解的唯一性問(wèn)題.

定義1如果

(5)

且初值條件在

意義上成立, 并且u在跡意義下滿足部分邊界條件(4), 則稱u(x,t)為方程(1)的具有初始邊界條件(2),(4)的弱解.

定理1如果b(s)是Lipschitz函數(shù),u(x,t)和v(x,t)分別是方程(1)具有不同初值u0(x),v0(x)的兩個(gè)弱解, 假設(shè)α

(6)

p+-p-<1,

(7)

則

(8)

定理2設(shè)u(x,t)和v(x,t)分別是方程(1)具有不同初值u0(x),v0(x)的兩個(gè)弱解, 當(dāng)α>p+-1時(shí), 假設(shè)g(x),p(x)滿足

|g(x)ρ-α/p(x)|≤c,

(9)

及|bi(u)-bi(v)|≤c|A(u)-A(v)|, 則對(duì)任意的t∈[0,T), 有

2 主要結(jié)果的證明

2.1 定理1的證明

下面證明定理1. 與空間區(qū)域的直徑比較, 設(shè)λ是一個(gè)足夠小的正數(shù), 令

(10)

其中Ωλ={x∈Ω:ρ(x)α/p(x)>λ}.

選擇Sn(φ(a(u)-a(v)))作為檢驗(yàn)函數(shù), 則

首先, 有

(12)

(13)

此外, 利用文獻(xiàn)[8]的方法可以證明

(16)

再次, 下式顯然成立:

(17)

最后, 在式(11)中先令λ→0, 再令n→∞. 由式(12)～(17), 可得

利用Gronwall不等式, 有

定理1得證.

2.2 定理2的證明

選擇χ[τ,s](a(u)-a(v))φ作為檢驗(yàn)函數(shù). 這里對(duì)于任意固定的s,τ∈(0,T),χ[τ,s]是[τ,s]上的特征函數(shù),φ(x)由式(10)定義. 記Qτs=Ω×[τ,s], 則有

首先, 因?yàn)閨ρxi|≤|ρ|=1, 所以

由α>p+-1及式(19)得

(20)

其次, 有

再利用條件(9)及|bi(u)-bi(v)|≤c|A(u)-A(v)|, 可推出

其中, 根據(jù)引理1中3), 式(22)中的p1=p+或p-,q1=max{q(x)}或min{q(x)}.

對(duì)q(x)≥2和q(x)<2兩種情形分別討論, 由式(23)易知, 存在常數(shù)l<1, 使得

(23)

成立.

此外, 顯然有

(24)

于是, 只要在式(18)中令λ→0, 則由式(19)～(24), 可得

由式(25), 利用文獻(xiàn)[14]推廣的Gronwall不等式, 可得

所以由τ的任意性, 有

證畢.