基于矩陣低秩逼近的自然圖像去噪

陳杰，楊艷

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

0 引言

科技的日新月異發(fā)展使得消費(fèi)級(jí)圖像捕獲設(shè)備變得廉價(jià)且得到大量使用。然而許多情況下，高質(zhì)量圖像的獲取仍然比較困難，普通消費(fèi)級(jí)設(shè)備甚至一些專業(yè)設(shè)備在一些情況下捕獲的現(xiàn)實(shí)世界圖像仍然保留著大量噪聲，使得獲取的圖像質(zhì)量不高，也影響了基于圖像的后續(xù)應(yīng)用。圖像去噪是一個(gè)經(jīng)典的信號(hào)復(fù)原問題，由于光電傳感器誤差，傳輸過程的電子熱運(yùn)動(dòng)等原因。獲取的圖像中存在噪聲是無法避免的，但可以通過一些方法從帶噪圖像中盡量恢復(fù)原始圖像信號(hào)，提高圖像信噪比。圖像去噪的方法經(jīng)過多年的發(fā)展。許多去噪方法針對(duì)添加人工模擬的全局加性高斯噪聲的灰度圖像進(jìn)行去噪。這些方法旨在從已有的噪聲圖像y=x+n恢復(fù)出清潔圖像成分x，其中n是噪聲水平為σ的加性高斯噪聲。經(jīng)過去噪算法的處理，噪聲圖像中隱含的清潔圖像信息更明顯地顯現(xiàn)出來，且圖像的峰值信噪比等量化指標(biāo)得到了提高，圖像獲得了更好的視覺效果。然而在真實(shí)世界圖像中，噪聲的分布未知且構(gòu)成復(fù)雜，其可能產(chǎn)生于電子熱運(yùn)動(dòng)、量化誤差、光電傳感誤差等多個(gè)來源。針對(duì)全局加性高斯白噪聲的去噪算法對(duì)噪聲的建模不足以模擬真實(shí)噪聲的分布。同時(shí)，真實(shí)世界圖像無噪圖像及噪聲的獲取比較困難，現(xiàn)有一般獲取真實(shí)無噪圖像真值是通過多次拍攝同一靜態(tài)場(chǎng)景然后對(duì)每個(gè)像素取平均值得到，這種方法可以得到可以用作真值的近似無噪圖像。

1 相關(guān)算法

現(xiàn)有的圖像去噪算法從各方面進(jìn)行了嘗試，包括基于頻域轉(zhuǎn)換[1-2]、基于稀疏表示[12,17]、基于字典學(xué)習(xí)[6]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5-11]等方法。基于頻率域進(jìn)行去噪的方法通過傅里葉變換或小波收縮等方法噪聲圖像轉(zhuǎn)換到頻率域進(jìn)行處理，假設(shè)噪聲均屬于高頻范圍，通過消除頻率域中的高頻成分保留低頻成分來消除噪聲。這對(duì)于一些被高頻噪聲及周期噪聲污染的平坦區(qū)域?yàn)橹鞯膱D像非常有效，然而這種方法無法很好地分離高頻信號(hào)和噪聲，會(huì)模糊紋理細(xì)節(jié)，并且可能會(huì)產(chǎn)生振鈴效應(yīng)引入人為瑕疵?；谙∈杈幋a的方法利用噪聲圖像學(xué)得一個(gè)字典矩陣[6-7,11]，然后利用矩陣字典得到圖像的稀疏表示，重建圖像后與原圖進(jìn)行對(duì)比得到殘差，再分解殘

差，并利用殘差中的信息更新字典和稀疏表示，迭代這一過程，當(dāng)殘差的值小于某個(gè)設(shè)定閾值或者迭代足夠多的次數(shù)后，殘差即余下的噪聲，重構(gòu)的圖像即為去噪后的清潔圖像。文獻(xiàn)[6]中的KSVD便是經(jīng)典的基于稀疏編碼的算法，但KSVD學(xué)習(xí)字典的時(shí)間過長(zhǎng)，且字典不能泛化使用，其分塊處理的思想也沒有利用圖像的非局部自相似性先驗(yàn)。文獻(xiàn)[7,11]中從清潔圖像中獲取真實(shí)無噪圖像的先驗(yàn)信息，將外部圖像分解為子塊建模并學(xué)習(xí)得到一個(gè)高斯混合模型，利用該高斯混合模型的各個(gè)協(xié)方差矩陣的SVD得到字典，利用該起點(diǎn)進(jìn)行去噪，文獻(xiàn)[7]中同時(shí)對(duì)無噪自然圖像和帶噪圖像進(jìn)行學(xué)習(xí)，使用無噪自然圖像和帶噪圖像的混合字典對(duì)待去噪圖像進(jìn)行稀疏表示，而文獻(xiàn)[11]中只使用無噪圖像學(xué)得的GMM模型生成的字典?；诳臻g濾波器的方法主要是利用某種設(shè)計(jì)的濾波器或?yàn)V波方法及前后處理過程對(duì)圖像進(jìn)行濾波，經(jīng)典的濾波方法有中值濾波（可以去除椒鹽噪聲）、均值濾波、雙邊濾波、引導(dǎo)濾波等。文獻(xiàn)[15]中的BM3D利用非局部自相似性及維納濾波進(jìn)行去噪，得到了非常好的效果，其另一版本CBM3D[10]可用于彩色圖像去噪?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[3-5,13-14]由于今年來計(jì)算能力的進(jìn)步而得到了極大發(fā)展。文獻(xiàn)[4]中的去噪自動(dòng)編碼器可以在輸入受到一些噪聲污染的情況下仍然保持不變的輸出，也就是說，其擁有一些去噪效果。但文獻(xiàn)[4]中采用的是多層感知機(jī)，在一些小尺寸簡(jiǎn)單圖片（如MNIST數(shù)據(jù)集）中可以有良好的去噪效果。文獻(xiàn)[3]采用了文獻(xiàn)[4]中的思想，將文獻(xiàn)[4]中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行堆疊，并在損失函數(shù)中引入稀疏正則項(xiàng)使得隱藏單元變得稀疏以最小化復(fù)原損失。文獻(xiàn)[18]中采用殘差學(xué)習(xí)及卷積網(wǎng)絡(luò)，可以對(duì)未知水平的加性高斯噪聲進(jìn)行去除，其模型對(duì)圖片殘差進(jìn)行學(xué)習(xí)，網(wǎng)絡(luò)模型輸出噪聲圖像。文獻(xiàn)[19]中的FFDnet采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和指定噪聲水平圖的方法能夠處理在空間上方差水平變化的噪聲?；诘椭染仃嚤平姆椒ɡ米匀粓D像的低秩特性[16,23]，將矩陣的秩作為一個(gè)正則項(xiàng)加入目標(biāo)函數(shù)，然后通過優(yōu)化方法直接求解潛在原始圖像。文獻(xiàn)[13]中結(jié)合矩陣的低秩特性和圖像的非局部自相似性先驗(yàn)，對(duì)高斯噪聲和脈沖噪聲疊加的圖像進(jìn)行去噪，能夠很好地恢復(fù)原始圖像。自然圖像的非局部自相似性先驗(yàn)在很多研究中得到了應(yīng)用，圖1中展示了自然圖像中存在的非局部自相似特性。

圖1 自然圖像中存在的非局部自相似性

可以看到，自然圖像中有大量自相似的模式存在，這表示了自然圖像中存在的信息冗余特征，我們可以利用這些冗余特征進(jìn)行噪聲的估計(jì)與消除。圖像的-非局部自相似特性在文獻(xiàn)[7,9,10,15]等研究中得到了充分的應(yīng)用，其有效性也得到證明。本文中利用非局部自相似性搜索以參考?jí)K為中心的窗口中與參考?jí)K相似的塊，并將其向量化構(gòu)成矩陣表示以X的 t處為參考?jí)K左上角時(shí)得到的相似塊矩陣，表示從圖像t處提取的第m個(gè)離參考?jí)K最近的向量化后的相似塊向量，其中m=1時(shí)表示參考?jí)K本身。相似塊矩陣的相似度量有多種方式（L-p范數(shù)距離、余弦距離等），本文中采用如下的方式度量圖像圖塊之間的相似度。

其中ref和neighbor分別表示參考?jí)K和鄰近塊向量化后得到的向量。

一般的圖像去噪算法中，通常向清潔圖像中添加加性高斯白噪聲，然后針對(duì)高斯白噪聲進(jìn)行噪聲估計(jì)和去噪算法的設(shè)計(jì)。然而真實(shí)噪聲圖像中的噪聲并不滿足全局均勻的高斯噪聲分布，在圖像的不同局部，噪聲的分布呈現(xiàn)明顯的差異性（見圖2，數(shù)據(jù)來自Nam數(shù)據(jù)集[8]）。這種差異性使得針對(duì)全局加性高斯白噪聲去噪的算法在真實(shí)噪聲圖像上的去噪效果減弱。在本文中，我們根據(jù)圖像局部差異，利用圖像非局部自相似特性構(gòu)成的相似塊矩陣，計(jì)算圖像局部的方差差異，并利用該差異進(jìn)行局部差異化的低秩求解。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 優(yōu)化目標(biāo)建模與求解

已知Y是噪聲污染下的真實(shí)噪聲圖像，Y∈RT×1，T是圖像的總像素?cái)?shù)，Y=X+N，X是噪聲圖像中隱含的無噪圖像信息，N是圖像噪聲。我們需要從已有的觀察圖像Y中得到隱含的無噪圖像X，可以利用的先驗(yàn)為圖像的非局部自相似和低秩先驗(yàn)。我們假設(shè)真實(shí)噪聲圖像的噪聲是圖像空間相關(guān)的局部噪聲，因此采用局部自適應(yīng)的低秩約束來約束總體目標(biāo)，結(jié)合全局保真項(xiàng)，將優(yōu)化目標(biāo)建模如下。

圖2 左側(cè)展示了高斯噪聲（右上）與真實(shí)噪聲（右下），右側(cè)統(tǒng)計(jì)了噪聲圖像中100個(gè)局部區(qū)域的方差進(jìn)行對(duì)比

上式中，X是一個(gè)Rp2×m的矩陣，σr(X)表示X的第r個(gè)奇異值，r0=min(p2,m)。

使用 logdet(·)替換rank(·)函數(shù)，最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以寫作：

其中d是約束參數(shù)，Nt是圖像位置t處的自相似塊矩陣的噪聲水平估計(jì)項(xiàng)。

2.2 優(yōu)化問題求解

在寫出目標(biāo)函數(shù)后，我們使用交替迭代優(yōu)化的方法求解目標(biāo)函數(shù)，依次更新X,N。首先初始化固定噪聲參數(shù)N中全局噪聲參數(shù)約束σ，σt在求解X子問題時(shí)根據(jù)相似塊矩陣得出，X采用自適應(yīng)均值濾波進(jìn)行預(yù)處理以去除可能存在的極值噪聲。

固定噪聲參數(shù)后，X求解子問題可以寫作：

引入輔助變量Lt=E?tX求解該優(yōu)化問題，重寫X子問題為：

根據(jù)ADMM算法可以得到：

通過如下推導(dǎo)可以得到X的閉合解：

因此有：

將其代入式（11）中，得到X的閉合解：

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，矩陣的低秩問題采用SVD方法求解，Lt可以采用下式迭代求解：

最后，拉格朗日乘子λt按照下式迭代更新：

Nt是噪聲變量，Nt=aσ+bσt，其中σ是全局噪聲約束，通過整體圖像像素計(jì)算得出，σt是局部噪聲，通過局部自相似塊矩陣計(jì)算求解：

其中Y初始噪聲圖像，X(k)是第k次迭代過程中分離出地?zé)o噪圖像。

2.3 算法流程

由上面的求解可知本文算法是對(duì)優(yōu)化目標(biāo)迭代求解，首先將噪聲圖片進(jìn)行相似塊匹配，為提高算法速度，不會(huì)將每個(gè)像素位置都作為參考?jí)K中心進(jìn)行相似塊搜索，而是以一定步長(zhǎng)進(jìn)行參考?jí)K選取。得到各個(gè)相似塊矩陣后，對(duì)各個(gè)相似塊矩陣進(jìn)行低秩逼近，通過SVD分解消除部分噪聲得到其主要成分。記錄構(gòu)成相似塊矩陣的各個(gè)局部圖塊的位置，將去噪后的相似塊矩陣分解成局部圖塊，將局部圖塊的值疊加到原來的圖像上，局部圖塊重復(fù)的部分記錄重復(fù)次數(shù)。最后將重疊處的疊加的值除以重疊次數(shù)，最終得到無噪圖像。

（1）輸入帶噪圖像Y，并構(gòu)造一個(gè)與Y相同大小的零矩陣Z。

（2）初始X=amf(Y)，amf(·)是自適應(yīng)中值濾波函數(shù)，初始拉格朗日乘子λ=0。

（3）在X中滑動(dòng)選取參考?jí)K，在參考?jí)Kt周圍搜索M個(gè)最相似的塊，構(gòu)成相似塊矩陣E?tX。

（4）對(duì)相似塊矩陣進(jìn)行迭代求解，得到一個(gè)與相似塊矩陣大小相同的低秩矩陣。（式（11））

（5）將得到的去噪低秩矩陣分解成局部塊然后疊加到Z的對(duì)應(yīng)位置中。

（6）參考?jí)K是否選取完畢，是轉(zhuǎn)（7），否轉(zhuǎn)（3）。

（7）通過式（10）更新X，通過式（17）更新拉格朗日乘子。

3 實(shí)驗(yàn)

本文將提出的實(shí)驗(yàn)方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法CBDNet[11]以頻率域方法DDID[1]算法進(jìn)行比較。本文實(shí)驗(yàn)軟件平臺(tái)為Windows10、MATLAB 2018b。實(shí)驗(yàn)硬件平臺(tái)配置為 Intel Core i7-8750H、主頻 2.2GHz、六核 CPU、8G運(yùn)行內(nèi)存。

實(shí)驗(yàn)采取的真實(shí)噪聲圖像數(shù)據(jù)集為Nam數(shù)據(jù)集[8]，此數(shù)據(jù)集采集了11個(gè)靜態(tài)場(chǎng)景的室內(nèi)圖像，對(duì)每個(gè)場(chǎng)景固定相機(jī)位置拍攝500次后取平均值作為該場(chǎng)景的無噪圖像真實(shí)值，其圖像尺寸為7000×5000。我們從中隨機(jī)截取512×512大小的圖片40張作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)設(shè)置 b=0.0001，a=4，sigma=5，d=3。

表1 去噪算法對(duì)比

可以看到，由于真實(shí)噪聲都比較微弱，因此去噪算法整體PSNR值都比較高。CBDNet和本文算法在保留細(xì)節(jié)紋理方面優(yōu)于DDID算法。CBDNet在視覺效果方面與本文算法效果相近，但CBDNet在去噪時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一些微弱的人為瑕疵，并且對(duì)微弱噪聲的去除不夠徹底（如圖3上）。本文算法在去除噪聲的同時(shí)對(duì)局部自相似塊的局部自適應(yīng)低秩求解，使得在擁有良好噪聲去除效果的同時(shí)保持了圖片微弱的紋理特征。

4 結(jié)語

本文對(duì)低秩圖像去噪方法進(jìn)行了改進(jìn)，結(jié)合自然圖像的非局部自相似特性和局部噪聲分布差異提出了一種新的去噪方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示本文算法能夠有效地去除真實(shí)圖像噪聲，相對(duì)于噪聲圖像的PSNR值平均提高3～5dB。但本文方法的迭代收斂速度還有待進(jìn)一步提高。本文采用自相似塊矩陣的方差作為局部噪聲的差異描述是一種有效但不一定最優(yōu)的途徑，還可以嘗試?yán)镁植繄D塊的梯度等方法來描述噪聲局部差異。

圖3 去噪效果對(duì)比