基于大概念，注重結(jié)構(gòu)化，指向整體性

馬雪琴

摘要：大概念是反映學(xué)科核心內(nèi)容、本質(zhì)、任務(wù)，蘊(yùn)含學(xué)科思想方法的關(guān)鍵概念。在數(shù)學(xué)課程中，大概念應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)課程的全部，能被學(xué)生認(rèn)知、理解并在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行積極的應(yīng)用。以人教版小學(xué)四年級下冊“三角形”單元整合為例，挖掘單元的核心性與共通性，以空間觀念培養(yǎng)作為大概念，打破原有的課程編排結(jié)構(gòu)，將原有零散的知識串珠成鏈，助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

關(guān)鍵詞：大概念;結(jié)構(gòu)化;整體性;三角形

大概念是指“有組織、有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識和模型，它們能在較大范圍之內(nèi)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，能讓離散的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化”?；诖蟾拍畹臄?shù)學(xué)教學(xué)能將零散的知識串聯(lián)起來，充分利用知識的張力，能使學(xué)生對數(shù)學(xué)有更深度的思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在人教版四年級下冊“三角形”的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)知識成點(diǎn)狀分布，知識的展現(xiàn)較為扁平，知識的深度不足、縱向連貫性不強(qiáng)。在不改變原有教學(xué)內(nèi)容的情況下，筆者挖掘知識之間的聯(lián)系，對“三角形”這一單元進(jìn)行整合，調(diào)整知識的順序。筆者以三角形的“三要素”為紐帶，在“空間培養(yǎng)”這一教學(xué)目標(biāo)的牽引下，帶領(lǐng)學(xué)生逐步攻破三角形分類、三邊關(guān)系、內(nèi)角和求解等眾多問題。在每個知識點(diǎn)的教學(xué)中，筆者突破單課思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較歸納，實(shí)現(xiàn)知識的縱向橫向拓展。在教學(xué)過程中，筆者增加圖形的變換，著力讓學(xué)生養(yǎng)成空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

一、基于大概念教學(xué)的單元整合特征

筆者以大概念為背景，對原有的課程內(nèi)容和編排結(jié)構(gòu)反復(fù)推敲，挖掘本單元知識的共通性和核心性。之后，以空間觀念為教學(xué)目標(biāo)的“三角形”單元整合有了更為優(yōu)化的特征。筆者以三角形的“三要素”為主線貫穿本單元的教學(xué)，旨在讓學(xué)生對三角形形成一個整體的認(rèn)識。在結(jié)構(gòu)上，筆者根據(jù)知識的契合度，調(diào)整知識的教學(xué)順序，課程設(shè)計(jì)注重孩子空間形態(tài)的養(yǎng)成，逐步教學(xué)課程內(nèi)容。

（一）以組成要素為框架，強(qiáng)化整體性

筆者努力建立起有組織有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識和模型，以強(qiáng)化課程的整體性。原有的課程內(nèi)容和編排結(jié)構(gòu)分為三角形的特性、三角形的三邊關(guān)系、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和等多個板塊，每個板塊中的知識點(diǎn)與課時主題聯(lián)系緊密，但是課與課之間的關(guān)聯(lián)性小，知識點(diǎn)分散。單元整合后，“三角形”的教學(xué)圍繞三角形的“三要素”（三個點(diǎn)、三條邊、三個角）展開，有利于學(xué)生從整體上把握三角形的概念。

（二）以圖形變換為情景，挖掘深入性

筆者借助大概念，設(shè)計(jì)有深度的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生對三角形進(jìn)行更深入的思考?！叭切畏诸悺备攀隽巳切蔚奶攸c(diǎn)，筆者將圖形變換融入“三點(diǎn)移動看分類”的教學(xué)。為了讓學(xué)生有更深入的觀察與思考，筆者借助動態(tài)的圖形，讓學(xué)生通過觀察、比較、綜合、抽象分析，加深對三角形分類的認(rèn)識。學(xué)生描述圖形的運(yùn)動和變化，在觀察、比較后歸納總結(jié)三角形分類的特點(diǎn)，培養(yǎng)了自己的空間觀念。在圖形變換的情景中，筆者引導(dǎo)學(xué)生不斷探究各類三角形的特點(diǎn)，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

（三）以探究操作為手段，提高實(shí)踐性

大概念教學(xué)要求學(xué)生通過深入探究得到來之不易的成果，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，形成對世界的?shù)學(xué)化理解，借助多種形式的探究活動充分調(diào)動學(xué)生的感官參與，這樣的學(xué)習(xí)才是深刻、有效的。學(xué)生通過充分的動手操作，在“三點(diǎn)移動看分類”測量數(shù)據(jù)的過程中進(jìn)一步感受三角形分類的特點(diǎn)，在“三邊組合知關(guān)系”擺木棒的過程中感受三邊組合形成三角形的要求，在“三角變換求角度”中使用量一量、拼一拼、剪一剪、折一折、算一算等方式感受三角形、多邊形內(nèi)角和的求解，在探究操作的過程中促進(jìn)學(xué)生空間觀念的建立和養(yǎng)成。

（四）以內(nèi)部聯(lián)系為拓展，關(guān)注串聯(lián)性

在單元內(nèi)容的排布上，依據(jù)知識關(guān)聯(lián)的緊密性調(diào)整。例如，“三角形的分類”主要通過觀察對比的方式，側(cè)重三角形特征的教學(xué)。為了與第一課時“三角形的特性”契合度更高，筆者將“三點(diǎn)移動看分類”前置教學(xué)。之后，筆者將“三角形穩(wěn)定性”的內(nèi)容置于“三角形三邊關(guān)系”中教學(xué)，也是基于課程設(shè)計(jì)與知識的關(guān)聯(lián)度的思考。

單元內(nèi)容的教學(xué)著重小學(xué)數(shù)學(xué)知識前后的串聯(lián)性，既承接上一階段的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也為下一階段的學(xué)習(xí)做鋪墊。例如，在“三角形的特性”教學(xué)中，學(xué)生對“繪制底邊上的高”有了一定了解后，筆者邀請學(xué)生繪制同底等高的不同的三角形，通過挖掘形態(tài)各異的同底等高的三角形，讓學(xué)生對五年級要學(xué)習(xí)的“等積變形”形成一定的知識經(jīng)驗(yàn)。

二、基于大概念教學(xué)的單元重構(gòu)體系

基于大概念教學(xué)的“三角形”單元整合、重構(gòu)了原來的教學(xué)體系：以空間觀念的培養(yǎng)為目標(biāo)，以挖掘三角形的特征開篇，契合三角形的“三要素”（三個點(diǎn)、三條邊、三個角），串聯(lián)起本單元三邊關(guān)系、三角形分類、三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和的教學(xué)，旨在讓學(xué)生對三角形形成一個宏觀的整體形態(tài)的認(rèn)識?；凇叭切蔚姆诸悺敝饕ㄟ^觀察對比的方式，側(cè)重三角形特征教學(xué)這一特點(diǎn)，將“三點(diǎn)移動看分類”前置，繼“三角形的特征”之后，通過對比分類，讓學(xué)生對三角形有一個更深入的認(rèn)識。最后，復(fù)習(xí)課“打破三角形”，逆向鞏固單元知識點(diǎn)。以此順序展開，課程設(shè)計(jì)注重孩子空間觀念的養(yǎng)成，逐步教學(xué)課程內(nèi)容。

（一）三角形的特征

在“三角形的特征”中，筆者首先教學(xué)三角形的基礎(chǔ)概念。在學(xué)生掌握了三角形的特征、要素、名稱等知識后，筆者創(chuàng)設(shè)了“三角形過城堡”的情境，讓學(xué)生初步感受三角形的高，并通過旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生感受“不同底邊對應(yīng)的高不同”。之后，筆者要求學(xué)生掌握繪制銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形對應(yīng)底邊上高的方法。在從易到難的繪制過程中，學(xué)生感受高在三角形中位置的變換。最后，筆者對知識加以拓展提升，讓學(xué)生繪制一個底為4cm、高為3cm的三角形。此舉意在讓學(xué)生初步認(rèn)識一下同底等高的各類不同三角形，為五年級上冊的“等積變形”做鋪墊。

（二）三點(diǎn)移動看分類

1.靜態(tài)圖形中歸納分類依據(jù)

三角形分類的教學(xué)由三個點(diǎn)的位置變換展開，結(jié)合釘子板，以三點(diǎn)洞悉分類，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移、獨(dú)立探究、對比發(fā)現(xiàn)的能力（如圖1所示）。

首先探究釘子板上怎樣的三個點(diǎn)能組成三角形。學(xué)生通過圈一圈發(fā)現(xiàn)：三點(diǎn)不在一條直線的時候，可以形成三角形;通過量一量，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)三角形三個點(diǎn)的距離都不相等，形成不等邊三角形。也有學(xué)生得到的三角形，其中兩條邊長度相等，構(gòu)成等腰三角形。由此，筆者教學(xué)具體的等腰三角形知識，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識特殊的等腰三角形——當(dāng)三條邊都相等時，能形成等邊三角形。同時，教學(xué)等邊三角形的知識。而在教學(xué)按角分類的時候，筆者引導(dǎo)學(xué)生遷移角的分類學(xué)習(xí)三角形的分類知識，并以此為分類依據(jù)，感知直角三角形、銳角三角形與鈍角三角形。

2.動態(tài)圖形中求解分類范圍

當(dāng)圖形變換時，我們的三角形會怎樣變化？

將三角形的分類拓展提升至圖形的變換，當(dāng)三角形的頂點(diǎn)在同一垂線上上下移動時，對比發(fā)現(xiàn)按角分成的三類三角形的變換范圍。變換情景，在移動的垂線上，同一頂點(diǎn)與底邊構(gòu)成不同的三角形，讓學(xué)生在圖形變換的過程中掌握同類三角形的分類范圍，對比發(fā)現(xiàn)三角形分類的閾值。

（三）三邊組合知關(guān)系

在教學(xué)三角形三條線之間的關(guān)系時，筆者設(shè)計(jì)讓學(xué)生動手操作的探索過程，鍛煉學(xué)生的邏輯推理、分析歸納及語言表達(dá)能力。首先邀請學(xué)生用拼接條拼搭三角形與其他多邊形，感受一旦確定三邊，三角形就不能變形的特性。在感知三角形的穩(wěn)定性之后，再讓學(xué)生從穩(wěn)定的角度來思考生活中哪些情況下用三角形可以達(dá)到更加牢固的目的。

在拼搭過程中，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)三角形兩邊之和大于第三邊才能組成三角形。此時，筆者結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生利用兩邊之差發(fā)現(xiàn)：三角形兩邊之差小于第三邊，才能組成三角形。通過進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，只計(jì)算一次就能判斷三邊能否構(gòu)成三角形，即只需要把較短的兩邊相加大于第三邊，或者只需要把較長的兩邊相減小于第三邊就可以。所以，在第三邊范圍求解時，通過假設(shè)與極限的思想，要求第三邊最長時，則已知的兩邊就是較短的兩條邊;要求第三邊最短時，則已知的兩邊就是較長的兩條邊。

（四）三角變換求角度

筆者將探究的過程交給學(xué)生，讓學(xué)生自主探究、驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和為180°”。本課內(nèi)容計(jì)劃用兩個課時完成。

第一課時為“利用三角形的角度解決各類問題”。學(xué)生已知三角形的內(nèi)角和是180°，此課是讓學(xué)生自主探究“為什么三角形的內(nèi)角和為180°”，鍛煉學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。學(xué)生在探究過程中使用量一量、拼一拼、剪一剪、折一折、算一算等方式，更具體地認(rèn)識了“三角形的內(nèi)角和為180°”的原理。繼而，筆者讓學(xué)生乘勝追擊，探索求解三角形中各內(nèi)角度數(shù)的方法。

第二課時為“運(yùn)用三角形內(nèi)角和解決多邊形內(nèi)角和的問題”。筆者在課前小試牛刀，讓學(xué)生探究四邊形的內(nèi)角和、列舉多種四邊形，以此加深“任意四邊形都可分割成三角形”的求解內(nèi)角和的意識。筆者在課堂活動中引入五邊形與六邊形，并延續(xù)“將任意邊形分割為三角形”的思路，讓學(xué)生從規(guī)則圖形類推到不規(guī)則圖形，由不同的分割方法得到不同的求解方式，探索求解任意圖形內(nèi)角和方法之間的聯(lián)系。

三、基于大概念教學(xué)的課程效果

（一）教學(xué)情景創(chuàng)新，分析歸納能力提升

基于三角形分類的特點(diǎn)，筆者將三角形的分類置于動態(tài)變化的過程中，引導(dǎo)學(xué)生為三角形的分類找出閾值，使學(xué)生的學(xué)習(xí)歸納能力得以提升。筆者打破傳統(tǒng)的知識考察方式，關(guān)注學(xué)生對知識掌握的整體性，豐富作業(yè)形式，讓學(xué)生結(jié)合三角形的性質(zhì)和三角形的分類知識，介紹我們的好朋友——三角形。學(xué)生通過歸納整理，進(jìn)一步鞏固了知識體系，切實(shí)感知知識由小概念融入更大概念的過程。

（二）串聯(lián)知識體系，邏輯推理能力提升

在教學(xué)過程中，筆者關(guān)注知識的前后聯(lián)系，挖掘概念之間的共通性與包含性。以三角形“三要素”為紐帶，學(xué)生有了主線思維，三角形的知識不再是零散的、支離破碎的。筆者在“三點(diǎn)移動看分類”中以“角的分類”這一概念作為已有經(jīng)驗(yàn)，引入三角形分類的教學(xué)，讓學(xué)生在先前習(xí)得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上再創(chuàng)造，不斷考驗(yàn)學(xué)生的邏輯推導(dǎo)能力。同樣，筆者讓學(xué)生繼小組探究四邊形內(nèi)角和之后再探索多邊形內(nèi)角和，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力。單元整合后的教學(xué)，以大概念為抓手，知識的前后串聯(lián)性更強(qiáng)，更能鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力。

（三）通過實(shí)踐操作，問題解決能力提升

本單元注重學(xué)生的實(shí)踐生成，在多個課時中設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)，輔助學(xué)生三角形知識在空間中的架構(gòu)。以下以第四板塊“三角變換求角度”的實(shí)踐探究為例。

基于讓學(xué)生自主探究、提升其空間思維的目的，筆者在“三角形”的整合教學(xué)中設(shè)計(jì)了一系列的探究活動，通過動手實(shí)踐充分調(diào)動學(xué)生的感官參與。在教學(xué)三角形內(nèi)角和時，將求證的過程作為探究任務(wù)，讓學(xué)生通過動手操作，使用多種方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°，將問題拋給學(xué)生解決，以學(xué)生的成果作為課堂教學(xué)的依據(jù)。

小組合作能夠提高實(shí)踐能力。在探索多邊形內(nèi)角和求解時，筆者將求解分割的過程分為課前活動和課堂探究兩部分，將挖掘規(guī)律的過程交給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生動手探究的能力。在通過“畫一畫”分割的過程中，學(xué)生對多邊形又有了不一樣的理解，發(fā)現(xiàn)任意四邊形都可分割成“三角形”來求解內(nèi)角和，以此解決多邊形內(nèi)角和求解的問題，學(xué)生的問題解決能力得到了提升。

數(shù)學(xué)大概念教學(xué)，能讓離散的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化。單元整合后的“三角形”教學(xué)以三角形的“三要素”為線索，調(diào)動了學(xué)生的參與積極性，使學(xué)生對數(shù)學(xué)有了更深度的思考，對周邊事物有了更多數(shù)學(xué)化的思考，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者對本單元最為廣泛、最強(qiáng)有力的適應(yīng)性觀念進(jìn)行提煉，對“三角形”單元整合以空間觀念培養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，挖掘多種形式的教學(xué)手段，增加教學(xué)情景的多樣性，幫助學(xué)生形成對世界的數(shù)學(xué)化理解。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：奚春皓）