高數(shù)基本知識點的橫向鄰接與縱向拓展

楊松

摘要：對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不是單一的，也不是獨立的，從數(shù)學(xué)層面來解析，數(shù)學(xué)每個知識和技能之間都是能夠緊密聯(lián)系在一起的，且知識點之間能夠融會貫通，相輔相成。從學(xué)術(shù)層面進(jìn)行解析，數(shù)學(xué)和其他專業(yè)之間也是能夠相互幫助、相互成就的。對于高數(shù)基本知識點的掌握和解析，學(xué)生如果沒有關(guān)注學(xué)習(xí)技巧，那么學(xué)生在解題的時候，就會出現(xiàn)理解層面的疑惑，可能還會影響學(xué)生的記憶。進(jìn)而為之后的高數(shù)學(xué)習(xí)帶來負(fù)面影響。從高等數(shù)學(xué)的整體布局出發(fā)，能夠看到的是，高數(shù)基本知識點之間是有一定規(guī)律存在的;一些知識點之間存在著橫向的關(guān)聯(lián)，一些知識點之間則能夠縱向的相互依存，也能夠進(jìn)行縱向的知識延展。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);基本知識點;橫向鄰接;縱向拓展;

高數(shù)是一門由微積分學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的相融內(nèi)容所構(gòu)成的一門基礎(chǔ)性科目，其主要內(nèi)容包含數(shù)列、極限、微積分等內(nèi)容，是理科類本科生考試的固定科目。雖然由很多微小的知識點組成，但知識點并不是獨立的，它們之間有聯(lián)系、有類接、有延展、有拓寬。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的本真就在于整合和歸納，觸類旁通，解決同類型的問題是學(xué)好高數(shù)的本源。一個知識點，不僅要抓到它的基本點，而且還要抓到它的生長點，更要抓到它的延展點。因為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)就是由淺入深、由小見大、由及到里的過程，只要掌握高數(shù)基本知識點的橫向鄰接與縱向拓展，就能夠獲取到對應(yīng)的知識理念，增強對應(yīng)的知識應(yīng)用能力。

一、高數(shù)基本知識點的橫向鄰接

關(guān)于基本知識點的橫向鄰接，我們可以把定積分的高數(shù)內(nèi)容作為分析的例子，我們明白，定積分的定義是立足在極限基礎(chǔ)上的，其基本思路是“化整為零”、“以直代曲”、“積零為整”，用基礎(chǔ)問題的處理手段，解決非基礎(chǔ)的問題，像是曲邊梯形的面積、變速運動問題的即時速度等等。由基本知識點的串聯(lián)，自然而然地想象到不定積分的概念和幾何意義、原函數(shù)的求法、有理函數(shù)的積分、定積分的計算、牛頓萊布尼茨公式等等。從思想原理出發(fā)，這種知識鄰接屬于從特殊到一般之后再回歸到特殊當(dāng)中的一類思維規(guī)律。從解析的過程來看，概念上的橫向關(guān)聯(lián)，大多都以類接和鄰接為關(guān)鍵內(nèi)容，而縱向延展則體現(xiàn)為縱深延展和拓寬以及反向延展和拓寬，即從深層的知識出發(fā)進(jìn)行探究，然后借此往淺層的知識追溯。

（一）概念層面的橫向類接

不少數(shù)學(xué)的概念、定理、原理層面，都擁有著橫向類接的問題，這和知識鏈接的歸類和總結(jié)十分的相似，但又不能完全地把它看成總結(jié)分析、整理分析、歸納分析。相同的概念、一致的原理、沒有差異的定理，如若從不同視角出發(fā)，所獲取到的類接結(jié)果是有一定差異的。

就像極限概念的類接：依照自變量變化方向進(jìn)行分析，極限大致分為兩類，一類稱之為點極限，另一類稱之為無窮遠(yuǎn)極限，由點極限進(jìn)行類接，其能夠分為左極限和右極限，由無窮遠(yuǎn)極限進(jìn)行類接，其能夠分為正無窮遠(yuǎn)和負(fù)無窮遠(yuǎn)。依照變量的性質(zhì)進(jìn)行分析，極限分為“數(shù)列的極限”和函數(shù)的極限，數(shù)列的極限大致分為三類，即單調(diào)有界數(shù)列極其他類型調(diào)有界數(shù)列極限、其它類型數(shù)列極限。函數(shù)的極限分為兩類，即初等函數(shù)極限，非初等函數(shù)極限，由初等函數(shù)極限進(jìn)行類接，其能夠分為“基本初等函數(shù)極限、復(fù)合其他類型、反函數(shù)的極限、其它類型的極限”，由非初等函數(shù)極限進(jìn)行類接，其能夠分為“冪指函數(shù)極限、分段函數(shù)極限、隱函數(shù)極限、其它函數(shù)極限”。

上述兩種概念類接解析能夠說明，不同的分析視角能夠產(chǎn)生幾種完全不一樣的類接成果，這也為我們提供了分層次類接的策略。借助這樣的案例，我們能夠明白：針對一致性的概念，相同的定理、沒有差異的原理，我們需要從不同視角出層次地表述的問題，進(jìn)行分層次的表述，進(jìn)而完成全方面解析和把握的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）概念層面的橫向鄰接

不少數(shù)學(xué)的概念和定理以及原理之間擁有著鄰接。所謂“鄰接”，指的其實就是概念基礎(chǔ)上的鄰近，在運用的時候，可以相互融合，并且借此加深一定的記憶。

我們可以把連續(xù)的概念當(dāng)做分析概念橫向鄰接的例子。連續(xù)，除了一元函數(shù)的連續(xù)、還有二元函數(shù)的連續(xù)和多元函數(shù)的連續(xù)等等，而連續(xù)自身的定義，就鄰接著函數(shù)的定義域、函數(shù)值、點極限、微分。積分、區(qū)間連續(xù)等定義，除此外，連續(xù)自身還類接著導(dǎo)數(shù)的定義、增量、最值性、有界性、介值性、極限等都是連續(xù)直接呈現(xiàn)出來的結(jié)果。連續(xù)是函數(shù)最弱的性質(zhì)，而導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)最強的性質(zhì)。它們之間的邏輯關(guān)系為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)能夠推出函數(shù)可導(dǎo)，而函數(shù)可導(dǎo)能夠推斷出函數(shù)連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是增量比的極限。函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定可微，可微一定可導(dǎo)，可微一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可微。由此可見，它們之間存在著鄰接關(guān)系。

二、高數(shù)基本知識點的縱向拓展

高其他主要概念之間，除了和其它概念之間擁有著橫向鄰接的關(guān)系，同時，還擁有著縱向拓展的聯(lián)系。單從縱向拓展和融合的視角來看，對于困難的問題，我們可以運用簡單的策略進(jìn)行解決。比如極限概念的縱向拓展，即“極限→無窮小→導(dǎo)數(shù)→微分→積分”。

由微積分定理的縱向延伸進(jìn)行分析，即從一元函數(shù)的分割開始進(jìn)行取點、作和式、取極限定義、看幾何意義;“一元函數(shù)→二元函數(shù)→二重積分→三重積分→多重積分”;“定積分→可變上限的積分”;“常規(guī)積分→反常積分”。

關(guān)于高數(shù)基本知識點的縱向拓展學(xué)習(xí)，其問題的提出要劍指中心，指向高數(shù)的關(guān)鍵內(nèi)容，掌握問題的精練程度。所謂“精練程度”，指的其實就是結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點進(jìn)行設(shè)問，結(jié)合學(xué)習(xí)思維的關(guān)鍵處進(jìn)行設(shè)問，這樣，我們就能夠在精度的問題下，進(jìn)行縱向的思考，并在解析問題的過程里，加強我們自己的數(shù)學(xué)解題能力。就以“微積分”的知識點為例，我們在進(jìn)行縱向拓展的時候，就要把問題羅列出來，即微積分的面積問題、微積分的切線問題、微積分的速度問題[1]。

回歸微積分定理的拓展，其能夠延展為非正常積分的知識內(nèi)容，而學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，則是“問題的提出→反常積分的定義→反常積分的幾何意義”而提出的問題，就可以結(jié)合微積分的基本定理，設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，若F（x）是f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)，那么要求滿足（1） f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2） [ a，b]為有限區(qū)間。對問題的解析過程，其實就是由此獲取反常積分定義的過程，這種知識點層面的縱向拓展，事實上就是學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)。

結(jié)束語：

綜上所述，高數(shù)的基本知識點存在著橫向鄰接關(guān)系和縱向拓展關(guān)系，精確地剖析和結(jié)局這些聯(lián)系，不僅能夠加深學(xué)生們對概念的了解，而且能夠借此加深學(xué)生的記憶力。簡單地說，從概念層面來看，高數(shù)的基本知識點是獨立存在的，但事實上，它們之間有著橫向和縱向的知識聯(lián)系，學(xué)生只要了解這些關(guān)系，且能夠歸納這些關(guān)系，學(xué)生們就能夠?qū)W好高等數(shù)學(xué)，并從中獲取不限量的知識延續(xù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]程美玉.新時代提高“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)質(zhì)量的研究[J].黑龍江教育（理論與實踐），2021（11）：76-77.