單邊周期環(huán)形諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)

呂銳翔， 李麗霞， 楊繼博

(西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055)

眾所周知，盤類結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、電子、紡織、冶金、采礦、汽車、航空、航天及船舶等領(lǐng)域，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速進(jìn)步，要求機(jī)械裝備向低噪聲、振動(dòng)小，或輕型、高精度方向發(fā)展，而盤類結(jié)構(gòu)通常是振動(dòng)能量的載體或者傳播體，其結(jié)構(gòu)形式、動(dòng)態(tài)特性及動(dòng)態(tài)激勵(lì)力的傳遞方式，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)有重要影響。目前對(duì)于盤類結(jié)構(gòu)的減振主要是通過(guò)提高其加工精度、控制原材料的質(zhì)量或通過(guò)阻尼減振等。而往往這些方法會(huì)增加盤類結(jié)構(gòu)的加工成本和加工難度，同時(shí)對(duì)于低頻振動(dòng)的隔離常難以奏效。所以，如何在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上，引入新技術(shù)進(jìn)一步降低盤類結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是十分必要的。

在特定方向上具有周期性的結(jié)構(gòu)對(duì)于特定頻率段內(nèi)的彈性波傳播具有抑制作用，其可以對(duì)盤類結(jié)構(gòu)在特定頻率段的振動(dòng)進(jìn)行控制[1-3]。聲子晶體理論使得周期結(jié)構(gòu)的減振特性得到了進(jìn)一步的發(fā)展[4-5]。目前對(duì)于聲子晶體其帶隙的機(jī)制解釋主要有兩種，一種是布拉格散射(Bragg)機(jī)制[6]，另一種是局域共振機(jī)制[7]。其中基于局域共振機(jī)制的聲子晶體相對(duì)于基于布拉格散射機(jī)制的聲子晶體可以在相對(duì)較小的晶格常數(shù)下得到更加低頻的帶隙，從而達(dá)到對(duì)結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的控制。本文將聲子晶體理論引入到工業(yè)應(yīng)用中常見(jiàn)的盤狀結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)出具有低頻減振特性的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)盤狀結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的抑制。

Torrent 等[8-10]將聲子晶體理論引入到徑向周期結(jié)構(gòu)中，設(shè)計(jì)出一種在徑向上具有周期性的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，同時(shí)驗(yàn)證了其存在的聲學(xué)帶隙。隨后Xu等[11-13]將徑向聲子晶體推廣到振動(dòng)控制領(lǐng)域，得到了基于布拉格機(jī)制的彈性波帶隙，理論上驗(yàn)證了其對(duì)于盤狀結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制。進(jìn)一步Li等[14]基于Lamb理論研究了周期性波紋的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了大于20 kHz的高頻帶隙。An等[15]研究了一種在徑向以及周向上具有周期性的廣義徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了中心頻率位于16 kHz的高頻寬帶隙。由于實(shí)際工程中對(duì)于振動(dòng)的控制多在低頻時(shí)，上述研究雖然在理論上得到了其結(jié)構(gòu)的帶隙，但由于其帶隙位于高頻處，并不能在目前的工業(yè)領(lǐng)域得到應(yīng)用。對(duì)Shi等[16-18]提出了基體盤由兩種材料在徑向上以特定的寬度周期性排列，得到了相較低的帶隙。隨后Li等[19]研究了在環(huán)氧樹脂和鋁交替排列組成的基體盤上周期性附加散射體的聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了低于500 Hz的帶隙。Gao等[20]通過(guò)在硅橡膠和鉛這兩種材料沿徑向周期排列的基板盤上附加橡膠散射體得到了低于10 Hz的低頻帶隙。雖然上述研究將帶隙降低至1 000 Hz以內(nèi)，但是其基體盤是通過(guò)兩種材料組合而成，使得其結(jié)構(gòu)在現(xiàn)有的加工條件下應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域中難以保證其對(duì)于復(fù)雜工況的適應(yīng)，同時(shí)基體盤不同材料連接處的易斷性使其無(wú)法確保工業(yè)設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)行。

1 模型和計(jì)算方法

研究提出的新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中圖1(a)是5個(gè)單位晶格結(jié)構(gòu)沿徑向方向周期排列并且繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到的三維實(shí)體模型，圖1(b)單位晶格結(jié)構(gòu)圖,圖1(c)徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的形成方式。如圖1(b)所示單位晶格結(jié)構(gòu)是由A、B、C三部分組成， A部分寬度為晶格常數(shù)。其結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)如下：其中A部分寬度為a，高度為m、B部分寬度為d，高度為c、C部分寬度為b，高度為h，同時(shí)C部分距基板距離為n，基板距Z軸距離為r0。

(a) 徑向聲子晶體盤三維模型

(b) 晶格結(jié)構(gòu)

(c) 徑向結(jié)構(gòu)形成方式

為了研究所提出的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，本文從無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的能帶圖，有限周期結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)曲線，本征位移場(chǎng)三個(gè)方面進(jìn)行研究。理論上由于結(jié)構(gòu)在徑向方向上具有無(wú)限周期，因此根據(jù)Block定理，只需研究單個(gè)周期的晶格結(jié)構(gòu)，其中單個(gè)晶格結(jié)構(gòu)在徑向方向的周期邊界條件可以表示為

u(r+ra,z)=u(r,z)eikrra

(1)

式中:r是徑向位置;a是晶格常數(shù);kr是在徑向方向上Bloch波矢量的分量。研究通過(guò)改變第一布里淵區(qū)邊界的k值，來(lái)求解特征值問(wèn)題。本文從有限元軟件COMSOL Multiphysics5.2中的特征頻率求解器模塊的參數(shù)掃描函數(shù)掃描在R方向上k=0到k=1總共11個(gè)細(xì)分點(diǎn)，可以得到每個(gè)點(diǎn)的固有頻率，進(jìn)而得到所提出的新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖。

對(duì)于有限周期結(jié)構(gòu)，通過(guò)計(jì)算其頻響函數(shù)曲線來(lái)描述其彈性波傳播特性，本文研究了在徑向方向上由有限個(gè)單位晶格組成的周期陣列結(jié)構(gòu)。通過(guò)在有限周期結(jié)構(gòu)的一端沿某一方向施加一定范圍頻率的加速度激勵(lì)，同時(shí)在其另一端拾取其單個(gè)頻率的加速度響應(yīng)，頻響函數(shù)定義為通過(guò)有限周期結(jié)構(gòu)的拾取端加速度響應(yīng)與激勵(lì)端加速度激勵(lì)之比，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

T=20lg(a2/a1)

(2)

式中,a1代表激勵(lì)端的加速度激勵(lì)a2代表拾取端的加速度響應(yīng)。通過(guò)改變激勵(lì)端加速度頻率獲得其頻響函數(shù)曲線。

2 帶隙及機(jī)理分析

為了進(jìn)一步研究徑向聲子晶體的帶隙特性，本文給出了晶格結(jié)構(gòu)具體幾何參數(shù)如表1所示，同時(shí)給出了其晶格結(jié)構(gòu)所組成的三部分的材料參數(shù)如表2所示，其中A部分的基板材料為環(huán)氧樹脂，B部分的彈性材料為硅橡膠，C部分的質(zhì)量塊為鋼。

表1 徑向聲子晶體晶格結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

徑向聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖如圖2(a)所示，從圖中可以看出結(jié)構(gòu)1在0～600 Hz區(qū)間內(nèi)有5條能帶，并且在第一和第二能帶之間產(chǎn)生了一個(gè)位于0.016～0.082(56.5～246.91 Hz)的低頻寬帶隙。為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出徑向聲子晶體其所產(chǎn)生帶隙的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算了5個(gè)周期下的二維軸對(duì)稱模型徑向以及軸向激勵(lì)下的頻響函數(shù)曲線圖，同時(shí)計(jì)算了5個(gè)周期下的三維模型軸向激勵(lì)下的頻響函數(shù)曲線圖，如圖2(b)所示。從圖中可以看出，在加速度激勵(lì)下，計(jì)算所得到的二維軸對(duì)稱模型與三維實(shí)體模型在的頻響函數(shù)曲線的帶隙范圍吻合，并且其與無(wú)限周期能帶結(jié)構(gòu)圖中的帶隙吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)其帶隙的準(zhǔn)確性。

(a) 晶格的能帶結(jié)構(gòu) (b) 有限周期結(jié)構(gòu)頻響曲線

為了進(jìn)一步探討帶隙的產(chǎn)生機(jī)制，給出了能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙上下邊界處特殊點(diǎn)的本征位移場(chǎng)，如圖3所示。從圖3中可以看出在E點(diǎn)，也就是帶隙的起始頻率處。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主要為基板上部C部分質(zhì)量塊的垂直振動(dòng)(Z方向)，同時(shí)引起了彈性材料B部分的垂直振動(dòng)(Z方向)，進(jìn)一步傳遞到基板上。這是由于結(jié)構(gòu)由三種材料組成，并且每種材料的固有頻率不同，當(dāng)激勵(lì)頻率接近質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，引起了質(zhì)量塊在垂直方向的振動(dòng)，此時(shí)質(zhì)量塊沿垂直方向通過(guò)彈性軟材料硅橡膠傳遞給基板一個(gè)作用力，其傳遞力的大小與質(zhì)量塊的質(zhì)量和彈性軟材料的剛度成正比，進(jìn)而抑制了基板的振動(dòng)，使得彈性波不能在基板中傳播。在帶隙范圍內(nèi)，圖3(a)E點(diǎn)始終保持為主振型，其作用力持續(xù)在基板上，基板的振動(dòng)持續(xù)被抑制。根據(jù)模態(tài)疊加原理[21]。

x=ηA1+ηA2+…+ηAn

(3)

式中：x表示響應(yīng)；ηAn表示模式An的參與系數(shù)。隨著激勵(lì)頻率逐漸接近質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，模式A1的放大系數(shù)逐漸增大，其參與系數(shù)ηA1隨之增大，振子的振幅隨之上升，同時(shí)使得作用在基板上的作用力逐漸增大，直到抑制基板的振動(dòng)，過(guò)程如圖4所示。圖4為能帶結(jié)構(gòu)圖中第一頻帶上K從0～1所有點(diǎn)的本征位移場(chǎng)。隨著激勵(lì)頻率的增大，逐漸遠(yuǎn)離質(zhì)量塊的質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，放大系數(shù)變小使得參與系數(shù)ηA1逐漸降低，質(zhì)量塊的振動(dòng)方向與E點(diǎn)相反。此時(shí)基板與質(zhì)量塊在垂直(Z方向)反向振動(dòng)，進(jìn)而壓縮了B部分的硅橡膠，此時(shí)F點(diǎn)轉(zhuǎn)換為主振型，如圖3(b)所示，帶隙截至。

(a) E點(diǎn)

(b) F點(diǎn)

圖4 第一能帶所有點(diǎn)的本征位移場(chǎng)

進(jìn)一步，本文給出了對(duì)比模型2和3，其晶格結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與模型1一致，其中模型2的B部分材料為硅橡膠，C部分材料為環(huán)氧樹脂，模型3是將模型1中A部分的材料由原始的環(huán)氧樹脂變?yōu)殇?。本文分別計(jì)算了模型2和模型3的能帶結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示，其中圖5(a)為模型2的能帶結(jié)構(gòu)圖，圖5(b)為模型3的能帶圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)質(zhì)量塊為與基板材料相同的質(zhì)量較輕的環(huán)氧樹脂時(shí)，相對(duì)于質(zhì)量塊為鋼的能帶結(jié)構(gòu)圖，帶隙的起始頻率和截至頻率均有升高，并且起始頻率有較大的上升。但是對(duì)于僅僅將A部分的材料更換為鋼，其帶隙的范圍為58.58～137.8 Hz。帶隙的起始頻率幾乎保持不變，而截至頻率發(fā)生了較大的下移。對(duì)于帶隙起始頻率和截至頻率可以理解為等效質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，同時(shí)可以由下式確定。

(4)

(5)

式中:f1為起始頻率;f2截止頻率;K1為等效彈簧的剛度;M1為其振子的質(zhì)量;M2為其基板以及彈簧的質(zhì)量。

(a) 模型2

(b) 模型3

對(duì)于本文所提出的聲子晶體盤狀結(jié)構(gòu)，其振子質(zhì)量M1為C部分的質(zhì)量，等效彈簧為B部分的剛度。對(duì)于模型2，其C部分為環(huán)氧樹脂，而其它參數(shù)不變，相對(duì)于模型1，C部分質(zhì)量M1減少，由式(4)可知帶隙起始頻率增大。而對(duì)于截止頻率，由式(5)可知，由于M1的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M2的質(zhì)量，因此當(dāng)M1減小，其截至頻率變化較小。而對(duì)于模型3，由于B部分以及C部分均為發(fā)生改變，因此對(duì)于起始頻率由式(4)可知，帶隙起始頻率幾乎不變。而對(duì)于截至頻率，由式(5)可知，M2發(fā)生較大的增加，因此截至頻率出現(xiàn)較大的下移。

3 參數(shù)對(duì)帶隙的影響

3.1 基板厚度m對(duì)帶隙的影響

為了驗(yàn)證帶隙的截至頻率是由于基板質(zhì)量的大小所影響，本文在僅改變A部分基板的厚度m時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖6所示。從圖中可以看出，隨著m的增加，帶隙的起始頻率幾乎保持不變，但是截至頻率隨著m的增加而降低。這是由于基板A部分在截至頻率處的振型在垂直(Z)方向，隨著厚度m增加，基板A的質(zhì)量在增加，這也與上文中基板材料為鋼時(shí)，帶隙的截止頻率大幅降低一樣。為了進(jìn)一步驗(yàn)證僅僅是基板的質(zhì)量對(duì)帶隙的截止頻率產(chǎn)生影響，本文計(jì)算了在基板為環(huán)氧樹脂時(shí)，其在寬度a不變時(shí)僅僅改變基板厚度m的帶隙范圍。鋼的密度為7 890 kg/m3，環(huán)氧樹脂的密度為1 180 kg/m3，由于寬度不變，因此基板為環(huán)氧樹脂時(shí)，其基板厚度m為26.7 mm，因此選取基板厚度m為27 mm，計(jì)算得到其帶隙位于59.17～136.6 Hz，結(jié)果與基板為鋼，厚度為4 mm時(shí)的帶隙范圍基本吻合。

圖6 基板厚度m對(duì)帶隙的影響

3.2 鋼塊高度h對(duì)帶隙的影響

進(jìn)一步分析了在其它參數(shù)不變時(shí)，僅改變C部分質(zhì)量塊的高度h時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖7所示。從圖中可以看出，隨著質(zhì)量塊高度的增加，帶隙的起始頻率在降低，而截至頻率基本保持不變。這是由于隨著質(zhì)量塊高度的增加，其振子質(zhì)量M1隨之增加，由式(5)可知，帶隙的起始頻率降低。而對(duì)于截止頻率，由于M1的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M2的質(zhì)量，因此當(dāng)M1增大時(shí)，由式(6)可知截至頻率僅有較小的降低。

圖7 鋼塊高度h對(duì)帶隙的影響

3.3 橡膠的高度c對(duì)帶隙的影響

最后分析了在其它參數(shù)不變時(shí)，僅改變B部分橡膠塊的高度c時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖8所示。從圖中可以看出，隨著橡膠塊高度的增加，帶隙的起始頻率保持不變，截止頻率逐漸降低。這是由于隨著橡膠的高度c的增加，M2隨之增加。由式(5)以及式(6)可知帶隙的起始頻率不變，截至頻率逐漸降低。

圖8 橡膠的高度c對(duì)帶隙的影響

4 結(jié) 論

本文研究了新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性，分析了其晶格結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響，其結(jié)論如下：

(1) 新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)在基板材料為一種時(shí)，具有低頻寬帶隙特性，相比于傳統(tǒng)的徑向聲子晶體，其基板材料的單一使得其結(jié)構(gòu)在工業(yè)應(yīng)用中更加的穩(wěn)定。

(2) 基板以及橡膠塊的高度對(duì)帶隙的截止頻率有較大的影響，對(duì)帶隙的其實(shí)頻率幾乎沒(méi)有影響。而質(zhì)量塊的高度決定著帶隙的起始頻率大小，但是其影響較小，同時(shí)其對(duì)于截止頻率幾乎無(wú)影響。因此可以在對(duì)帶隙范圍影響較小時(shí)，通過(guò)降低質(zhì)量塊的高度，增加基板的厚度，來(lái)進(jìn)一步增加結(jié)構(gòu)整體的穩(wěn)定性。