線性代數(shù)課程“線上”+“線下”混合式教學(xué)模式研究與實(shí)踐*

朱 青

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015)

線性代數(shù)是理工類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)一些后繼課程的前提與工具.伴隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，線性代數(shù)已經(jīng)滲透到社會(huì)發(fā)展的眾多領(lǐng)域，其重要性不言而喻.但是線性代數(shù)課程較為抽象難懂，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，學(xué)生的思維能力和應(yīng)用能力較為薄弱，自主學(xué)習(xí)能力得不到相應(yīng)的培養(yǎng)和提高.隨著信息化技術(shù)的快速發(fā)展，高等教育面臨著新的挑戰(zhàn)和改變，慕課、翻轉(zhuǎn)課堂、混合式教學(xué)等一些新的教學(xué)理念和教學(xué)形式應(yīng)運(yùn)而生.基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”的混合式教學(xué)既可以發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，又可以提高學(xué)生的積極性和自主學(xué)習(xí)能力，為線性代數(shù)課程注入了新的活力.

1 混合式教學(xué)模式的理念與形式

1.1 教學(xué)理念

在國(guó)外的研究中，認(rèn)為混合式學(xué)習(xí)一般采用多種知識(shí)傳遞方式，既可以降低學(xué)習(xí)的成本，又可以優(yōu)化學(xué)習(xí)產(chǎn)出，最早出現(xiàn)于教育行業(yè)和企業(yè)培訓(xùn)，是一種較為高效的學(xué)習(xí)方式.在國(guó)內(nèi)的研究中，北京師范大學(xué)何克抗教授最早提出了混合式學(xué)習(xí)的概念，他認(rèn)為混合式學(xué)習(xí)要把傳統(tǒng)的課堂教學(xué)與互聯(lián)網(wǎng)在線教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)，在教學(xué)過程中既強(qiáng)調(diào)教師的啟發(fā)、引領(lǐng)和管理的作用，又強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，充分培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性.混合式教學(xué)以人本主義、建構(gòu)主義等教學(xué)理論為依據(jù)，堅(jiān)持以學(xué)生為主體，注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自我建構(gòu)，是一種創(chuàng)新的教學(xué)模式.

1.2 教學(xué)形式

線性代數(shù)課程開展混合式教學(xué)模式，依托網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)，采用“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”的形式，實(shí)現(xiàn)“以教為中心”向“以學(xué)為中心”轉(zhuǎn)變.通過教學(xué)模式的創(chuàng)新，全面提升學(xué)生的知識(shí)、能力和素養(yǎng)水平.慕課主要針對(duì)線上教學(xué)，具有開放、規(guī)模大的特點(diǎn)；翻轉(zhuǎn)課堂則是線下教學(xué)的一種有效形式，融合了啟發(fā)式、任務(wù)式、討論式等一些教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思考問題、解決問題的能力.混合式教學(xué)將“慕課”與“翻轉(zhuǎn)課堂”相結(jié)合，融合“線上教學(xué)”和“線下教學(xué)”的優(yōu)勢(shì)，充分實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)，全面提升學(xué)生的認(rèn)知能力和認(rèn)知效果.

2 線性代數(shù)課程混合式教學(xué)模式的設(shè)計(jì)與實(shí)施

菏澤學(xué)院線性代數(shù)項(xiàng)目組成員通過開展混合式教學(xué)實(shí)踐，完成微課視頻的錄制及上傳；完善超星教學(xué)平臺(tái)的測(cè)驗(yàn)、討論、搶答、知識(shí)擴(kuò)展等各種功能；制定混合式教學(xué)設(shè)計(jì)方案，并建立案例研究；建立合理的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制.經(jīng)過任課教師的努力探索，積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，獲得了學(xué)生的支持與好評(píng).下面以菏澤學(xué)院線性代數(shù)課程為例，從課前、課中、課后三個(gè)方面，給出混合式教學(xué)模式的設(shè)計(jì)與實(shí)施方案.

2.1 課前環(huán)節(jié)

1)制作慕課

課前利用Camtasia軟件，錄制教學(xué)視頻.在錄制視頻時(shí)，可以利用手寫板在PPT里面進(jìn)行標(biāo)識(shí)和注解，便于學(xué)生的理解.視頻用作課前預(yù)習(xí)用途，不是傳統(tǒng)課堂教學(xué)的重復(fù)，因此不需要錄制所有內(nèi)容，只需要包括概念、定理、性質(zhì)、解法等一些基礎(chǔ)知識(shí)，以及個(gè)別例題即可，時(shí)長(zhǎng)不宜過長(zhǎng).一方面，如果視頻時(shí)長(zhǎng)過長(zhǎng)，學(xué)生課前難以完成；另一方面，要留出一部分內(nèi)容，課堂中開展討論、練習(xí)、展示等活動(dòng).

2)上傳學(xué)習(xí)資料

將教學(xué)視頻、課件、拓展閱讀等相關(guān)資料上傳至超星教學(xué)平臺(tái)，并發(fā)布教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)及自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，督促學(xué)生進(jìn)行課前預(yù)習(xí).以“行列式的性質(zhì)”為例，課前給出自主學(xué)習(xí)任務(wù)單：(1)利用定義計(jì)算行列式有什么缺點(diǎn)？(2)行列式中的行和列是否具有同等的地位？(3)行列式有哪些性質(zhì)？(4)利用行列式的性質(zhì)，能否把行列式化為上(下)三角行列式進(jìn)行計(jì)算？(5)利用性質(zhì)計(jì)算行列式有哪些技巧？在學(xué)習(xí)任務(wù)的引領(lǐng)下，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，克服學(xué)習(xí)惰性.

課前還可以對(duì)線性代數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用給出簡(jiǎn)單介紹，讓學(xué)生提前了解相關(guān)知識(shí)背景，方便在課堂中針對(duì)這些問題開展研討.以“逆矩陣”為例，課前向?qū)W生發(fā)布密碼學(xué)中有關(guān)密碼、明文、密文、編碼、譯碼等一些基本概念，以及利用逆矩陣進(jìn)行加密、解密的基本原理，讓學(xué)生提前了解矩陣?yán)碚撆c密碼編譯之間的關(guān)系，為開展翻轉(zhuǎn)課堂做好準(zhǔn)備.

2.2 課中環(huán)節(jié)

1)考察任務(wù)完成情況

上課后，針對(duì)自主學(xué)習(xí)任務(wù)單的問題，隨機(jī)選人進(jìn)行提問，或在學(xué)習(xí)平臺(tái)給出測(cè)試題，學(xué)生完成后，根據(jù)平臺(tái)統(tǒng)計(jì)的正確率，了解學(xué)生的課前預(yù)習(xí)情況.通過上述環(huán)節(jié)，掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的疑難點(diǎn)和薄弱環(huán)節(jié).

以“矩陣”、“行列式”為例，通過考察學(xué)生自學(xué)情況，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)矩陣、行列式的理解存在一定的問題，主要包括：(1)概念理解不清，矩陣是“數(shù)表”、行列式是“數(shù)”；(2)行數(shù)、列數(shù)的要求區(qū)別不清；(3)書寫形式混淆；(4)運(yùn)算法則理解不清，例如若A,B為n階方陣，則|kA|=kn|A|，|A+B|≠|(zhì)A|+|B|，|AB|=|BA|，|AB|=|A||B|.上述問題學(xué)生往往理解的不深入，容易出錯(cuò)，在接下來的課堂教學(xué)中教師要進(jìn)行詳細(xì)的分析與講解.

2)答疑解惑，重點(diǎn)講解

對(duì)學(xué)生不明白的知識(shí)，教師進(jìn)行認(rèn)真講解，推理論證過程盡量手寫，加深學(xué)生的理解.另外，對(duì)于復(fù)雜的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及常用的運(yùn)算方法、技巧，教師要進(jìn)行總結(jié).以“三階行列式的定義”為例，對(duì)于某些學(xué)生來說，不明白展開式中的6項(xiàng)怎么得到的.這時(shí)要求教師對(duì)概念進(jìn)行詳細(xì)講解，在黑板上寫出由123所組成的所有三級(jí)排列，即123、132、213、231、312、321，一共6個(gè)，分別對(duì)應(yīng)每一項(xiàng)的列標(biāo)，另外再結(jié)合這6個(gè)排列的奇偶性，分析每一項(xiàng)前面的符號(hào).通過老師的講解，學(xué)生對(duì)知識(shí)有了全面、正確的理解.

3)提出問題，分組討論

主要知識(shí)講解完成后，提出幾個(gè)問題，考察學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力.學(xué)生分組展開討論，教師通過超星平臺(tái)的選人或搶答功能，選擇兩名學(xué)生，將其小組討論結(jié)果拍照上傳至超星平臺(tái)，請(qǐng)他們給大家匯報(bào)解題思路、論證過程以及運(yùn)算結(jié)果.老師對(duì)學(xué)生的匯報(bào)進(jìn)行分析、總結(jié)，指出其中存在的問題，避免其他學(xué)生再次出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤.如果學(xué)生做法正確、過程書寫標(biāo)準(zhǔn)，則給予鼓勵(lì)和褒獎(jiǎng)，以此激勵(lì)學(xué)生的進(jìn)一步成長(zhǎng).另外，通過小組討論、匯報(bào)的環(huán)節(jié)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)同合作能力.

以“利用初等行變換化行最簡(jiǎn)形矩陣”為例，不同的學(xué)生給出了不同的化簡(jiǎn)步驟，通過對(duì)比分析，總結(jié)方法技巧，讓學(xué)生明白怎樣選擇化簡(jiǎn)步驟比較簡(jiǎn)單.

以“向量組的秩與矩陣的秩”為例，在講授了兩者的概念、求法與關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生把“向量組的秩、矩陣的秩、向量組的極大無關(guān)組”與“線性方程組”聯(lián)系在一起，向?qū)W生提出問題：“當(dāng)增廣矩陣的行向量組線性相關(guān)時(shí)，線性方程組有多余的方程，請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)，分析有多少個(gè)多余方程，多余方程的個(gè)數(shù)由什么確定？[1]并給出一個(gè)具體的例子進(jìn)行分析.”通過開展小組討論，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不再是單一與刻板，而是變得更加深入與靈活.

4)知識(shí)擴(kuò)展，提高能力

根據(jù)學(xué)時(shí)安排及教學(xué)進(jìn)度情況，對(duì)現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行一定的擴(kuò)展，拓展學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行知識(shí)的擴(kuò)展：(1)線性代數(shù)包含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化及發(fā)展歷史；(2)基于Mathematica或MATLAB的線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)案例；(3)線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、密碼學(xué)、工程學(xué)、生物學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例.例如，給出斐波那契數(shù)列問題：如果一對(duì)兔子出生一個(gè)月后開始繁殖，每個(gè)月生出一對(duì)后代，現(xiàn)有一對(duì)新生兔子，假定兔子只繁殖沒有死亡，問第k月月初會(huì)有多少對(duì)兔子？[1]可以借助于矩陣的特征值與特征向量來求解該問題.

以線性代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用為例，通過引入希爾密碼，把26個(gè)英文字母與26個(gè)數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，將要發(fā)送的單詞字母從左到右, 每m個(gè)字符分為一組, 最后不足m個(gè)字符的用空格補(bǔ)上，對(duì)應(yīng)得到一個(gè)編碼矩陣B，然后選擇一個(gè)加密矩陣A(可逆矩陣)，用A左乘B,得到密文矩陣C,即C=AB.讓學(xué)生用A的逆矩陣A-1左乘C, 即可得到譯碼矩陣A-1C，然后將譯碼矩陣用對(duì)應(yīng)英文字母表示就可以得到原信息[2].課堂上學(xué)生通過討論與演算，了解了加密、解密過程，課堂氣氛活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性得到了很大的提升.

2.3 課后環(huán)節(jié)

1)布置作業(yè)

課后布置作業(yè)，學(xué)生完成后上傳至超星教學(xué)平臺(tái)，教師進(jìn)行評(píng)閱，也可以嘗試學(xué)生互評(píng).另外，要求學(xué)生上傳思維導(dǎo)圖，由于線性代數(shù)的概念較多，矩陣、行列式、方程組、向量組之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生難以把握里面復(fù)雜的關(guān)系，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生建立知識(shí)的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò).

2)個(gè)性化輔導(dǎo)

通過QQ、釘釘?shù)裙ぞ?，建立班?jí)群，課后進(jìn)行師生之間、生生之間的互動(dòng)和交流，開展個(gè)性化輔導(dǎo).對(duì)學(xué)生提出的問題進(jìn)行歸納總結(jié)、分類研究，在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)上建立問題庫并給出相應(yīng)解答，為以后各級(jí)學(xué)生提供教學(xué)服務(wù).

3)教學(xué)評(píng)價(jià)

依托超星教學(xué)平臺(tái)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)功能，將考勤、課前預(yù)習(xí)、課堂搶答、討論、作業(yè)等環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)出，計(jì)算出平時(shí)成績(jī).然后將平時(shí)、期中、期末三項(xiàng)成績(jī)按照一定的比例計(jì)入考試評(píng)價(jià)系統(tǒng).由于混合式教學(xué)包括線上和線下部分，因此特別要注重過程評(píng)價(jià)，一方面可以督促學(xué)生注重平時(shí)學(xué)習(xí)表現(xiàn)，另一方面，過程評(píng)價(jià)符合混合式教學(xué)的教學(xué)理念.

3 線性代數(shù)混合式教學(xué)中出現(xiàn)的問題與建議

通過開展混合式教學(xué)實(shí)踐，在教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些問題值得我們思考與探討，下面從教學(xué)安排、學(xué)習(xí)管理、學(xué)時(shí)分配、慕課形式四個(gè)方面給出一些建議與參考.

3.1 教學(xué)安排

開展混合式教學(xué)，并不意味著每節(jié)課都要進(jìn)行混合，或者每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都要混合，也不意味著一定照搬固定模式，文中給出的教學(xué)設(shè)計(jì)只是一種參考.教師應(yīng)結(jié)合課程特點(diǎn)，采用靈活多樣的形式，做好教學(xué)設(shè)計(jì)與安排.由于線性代數(shù)重視邏輯推理，較為抽象難懂，個(gè)別章節(jié)內(nèi)容較難，學(xué)生看視頻難以看懂，反倒打擊了學(xué)生的信心和積極性.這時(shí)，需要教師根據(jù)實(shí)際情況安排學(xué)習(xí)任務(wù)，不要拘泥于固定的模式，靈活開展混合式教學(xué)活動(dòng).

3.2 學(xué)習(xí)管理

混合式教學(xué)需要學(xué)生課前預(yù)習(xí)，這就對(duì)學(xué)生的自律性和自主學(xué)習(xí)能力提出了較高的要求.為此，首先加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)管理，提高學(xué)生的自律性；其次加強(qiáng)學(xué)習(xí)服務(wù)，通過定期開展學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流活動(dòng)，教會(huì)學(xué)生如何自主學(xué)習(xí).另外，混合式教學(xué)堅(jiān)持“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，教學(xué)過程與教學(xué)環(huán)節(jié)需要學(xué)生的參與和配合.如果學(xué)生不積極參與，可能會(huì)出現(xiàn)無人搶答、發(fā)言的尷尬情況.因此，需要通過多種方式提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，讓學(xué)生積極參與混合式教學(xué)活動(dòng).

3.3 學(xué)時(shí)分配

根據(jù)混合式教學(xué)設(shè)計(jì)理念與設(shè)計(jì)思路，需要留給學(xué)生一定的自學(xué)時(shí)間，通過觀看視頻，完成課前預(yù)習(xí)任務(wù).但根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生白天學(xué)習(xí)任務(wù)較重，基本上只有晚自習(xí)時(shí)間可以自由安排，同時(shí)面對(duì)幾門課的預(yù)習(xí)任務(wù)，學(xué)生很難保質(zhì)保量完成.同時(shí)考慮到有些學(xué)生的自律性較差，課下無人監(jiān)督的情況下較難完成自學(xué)任務(wù).因此，在實(shí)際教學(xué)中，可以考慮將前30 min時(shí)間留出，用于開展混合式教學(xué)的課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，后面70 min開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣使得混合式教學(xué)得以順利開展，教學(xué)效果較好.

3.4 慕課形式

課前預(yù)習(xí)的慕課視頻，任課教師可以自行錄制，教師使用較多的錄屏軟件有Camtasia、EV錄屏等.另外，也可以利用網(wǎng)絡(luò)資源，目前使用較多的資源平臺(tái)有中國(guó)大學(xué)慕課、超星、智慧樹、學(xué)銀在線等，在線資源數(shù)量較多、內(nèi)容豐富.任課教師錄制視頻可以根據(jù)學(xué)情，把握難度、深度，以適合本校學(xué)生使用.但一般情況下視頻效果一般，教師一般不入鏡，并且缺乏后期剪輯、美化等深層次制作，觀賞性一般.網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過精心制作，尤其是國(guó)家級(jí)精品課，從內(nèi)容到形式都非常優(yōu)秀.但同時(shí)也存在一些問題，比如教材匹配度以及難度深度問題，另外在線視頻資源內(nèi)容設(shè)置太過完整，一方面加大了學(xué)生的預(yù)習(xí)難度，另一方面沒有為翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)留夠一定的素材和空間.

以上兩種方式各有優(yōu)缺點(diǎn)，教師可以根據(jù)具體教學(xué)情況靈活安排，不局限于某一種方式，兩種方式可穿插使用.另外，在線資源有些章節(jié)內(nèi)容較難較多，教師可以安排學(xué)生觀看其中一部分，剩余內(nèi)容可以留到課上開展翻轉(zhuǎn)課堂.

4 結(jié)語

混合式教學(xué)堅(jiān)持以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，將慕課和翻轉(zhuǎn)課堂進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，是一種新型的教學(xué)模式.在這種新的模式下，教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變角色，探索新的教學(xué)策略與教學(xué)方法，制定相應(yīng)的授課計(jì)劃，滿足不同專業(yè)、不同層次的學(xué)生需求.通過開展線性代數(shù)混合式教學(xué)，學(xué)生的自學(xué)能力以及分析問題、解決問題的能力有了顯著提高.