雙連續(xù)n次積分C-半群的Laplace逆變換

李奇峰，劉 瑞，杜雨亭

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

Kuhnemund在Banach空間上附加了一個(gè)比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)洌沟冒肴涸诰植客雇負(fù)湎逻B續(xù)，從而在文獻(xiàn)[1]中提出雙連續(xù)半群的概念，使得半群理論的發(fā)展進(jìn)一步深入。在上述研究的基礎(chǔ)上，一方面王文娟等在文獻(xiàn)[2-4]中提出了雙連續(xù)C-半群以及雙連續(xù)n次積分C-半群的概念，并得到了一系列結(jié)果；另一方面，施德明等在文獻(xiàn)[5-8]中研究了幾類半群的Laplace逆變換。所以本文將兩者結(jié)合起來，研究了雙連續(xù)n次積分C-半群的Laplace逆變換，進(jìn)一步推廣算子半群理論，擴(kuò)展其應(yīng)用領(lǐng)域，從而使算子半群理論更加完善。

1 預(yù)備知識

設(shè)X為Banach空間，X′為X的共軛空間。τ是X上由半范數(shù)族pτ所確定的并具有以下性質(zhì)的一個(gè)局部凸拓?fù)洹?/p>

(1)空間(X，τ)在·-有界集上序列完備。即每個(gè)·-有界柯西列在(X，τ)中收斂。

(2)τ拓?fù)涫潜取?拓?fù)浯智沂荋ausdorff拓?fù)洹?/p>

(3)空間(X，·)中的范數(shù)可以由空間(X，τ)′定義。即對每一x∈X，有

x=sup{||：φ∈(X,τ)′，φ(X,τ)≤1}。

記φ={φ∈(X,τ)′：φ(X,τ)′≤1}，L(X)表示空間(X，·)上線性有界算子全體。不失一般性，假設(shè)p(x)≤x,x∈X，p∈pτ。

定義1[4]設(shè)C∈L(X)且為單射，算子族

{T(t)：t≥0}?L(X)，如果

(1)T(0)=0，T(t)C=CT(t)，t≥0；

(2)對?x∈X，s,t≥0，有

T(t)T(s)x=

(3){T(t):t≥0}強(qiáng)τ-連續(xù)，即對每個(gè)x∈X，映射t→T(t)x是τ-連續(xù)；

(4){T(t)：t≥0}局部等度雙連續(xù)；

(5){T(t)：t≥0}指數(shù)有界。

則稱{T(t)：t≥0}為指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群。

定義2[4]設(shè){T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，對任意λ∈Λω。記

{x∈X,Cx∈Im[R(λ)]}。

線性算子A：D(A)?X→X定義為

Ax=[λ-R(λ)-1C]x,x∈D(A)，

則算子A稱為{T(t)：t≥0}的生成元。

定義3[9]設(shè)C∈L(X)，如果函數(shù)R(·)：

D(R)→L(X)滿足：

(1)R(λ)C=CR(λ)；

(2)(λ-μ)R(μ)R(λ)=R(μ)C-R(λ)C,

λ,μ∈D(R)。

則稱函數(shù)R(·)為C-偽預(yù)解式。

引理1[4]A的C-預(yù)解式是如下式子：

Rc(λ,A)=R(λ,A)C=(λ-A)-1C=

其中ρc(A)={λ:λ-A為單射且R(C)?R(λ-A)}。

引理2[10]F(λ)：(0，∞)→X，設(shè)F(λ)滿足Laplace型表達(dá)式

|α(t+h)-α(t)|≤Meω(t+h)，t,h≥0，

且右端積分在t的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè){T(t)：t≥0}∈G(n,M,ω,C)是以A為生成元的雙連續(xù)n次積分C-半群，則對任意x∈X，有

(1)

且對任意x∈D(A)有

(2)

證明由T(t)≤Meωt，故可令

顯然α(t)滿足引理2的條件，有

由引理2的結(jié)論有：

r>ω，

即得到(1)式成立。

用A同時(shí)作用于(1)式兩端，對任意x∈D(A)有

定理2設(shè){T(t):t≥0)∈G(n,M,ω,C)是以A為生成元的雙連續(xù)n次積分C-半群，則對任意x∈X，有

且右端積分在t的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。

證明由定理1知道

r>ω。

對上式兩邊同時(shí)從0到t積分得

定理3 設(shè)A閉，存在ω≥0，使得s-A與r-A為單射，R(C)?R((s-A)n)，則

(1)若A為雙連續(xù)n次積分C-半群{T(t)：t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無窮小生成元，則

(-1)nT(t)+Hn(t)

為A生成的雙連續(xù)(s-A)-nC-半群。

(2)若{W(t):t≥0}為雙連續(xù)(s-A)-nC-半群，其無窮小生成元為A，則

T(t)=(s-A)nJnW(t)

為由A生成的雙連續(xù)n次積分C-半群。

證明(1)若{T(t):t≥0}為A生成的雙連續(xù)n次積分C-半群，則由文獻(xiàn)[11]得

(2)由文獻(xiàn)[10]得

再由文獻(xiàn)[4]的定理3.2.2和定理3.2.3即得結(jié)論。

定理4 設(shè)A為X上的閉線性算子，ρ(A)≠φ,λ∈ρc(A)，A是雙連續(xù)n次積分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無窮小生成元，則對任意x∈

D(A)有

證明由定理3，A亦生成雙連續(xù)(s-A)-nC-半群S(t)，由定理1的(1)得

相應(yīng)于定理1的(2)有

?x∈D(A2)。

相應(yīng)于定理2有

?x∈X。