含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程全局吸引子的維數(shù)估計

劉文婧，姜金平，熊坤翠

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

在全局吸引子的幾何拓撲結(jié)構(gòu)中，維數(shù)是一個非常重要的性質(zhì)，因為如果全局吸引子分形維數(shù)有限，就能將無窮維動力系統(tǒng)在全局吸引子上約化為一個有限維常微分方程系統(tǒng)。此外，維數(shù)估計也是證明指數(shù)吸引子存在的一個關(guān)鍵步驟。在無窮維動力系統(tǒng)中，被廣泛研究和探討的包括Hausdorff維數(shù)和Fractal維數(shù)，近年來已有一些研究成果[1-6]。本文討論無界域上含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes(g-N-S)[7]方程全局吸引子的維數(shù)估計問題，方程如下：

(1)

這里u(x,t)∈R2,p(x,t)∈R表示速度與壓力，μ>0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0

1 預(yù)備知識

對常數(shù)m0和M0，假設(shè)Poincare不等式在Ω上成立：即存在λ1>0使得

(2)

它們的范數(shù)為

定義g-Laplacian算子：

(3)

則可將(1)改寫為：

(u·▽)u+▽p=f。

(4)

u∈L∞(0,T；H)∩L2(0,T;V),T>0，

(5)

使得

(6)

定義映射bg：Vv×Vg×Vg→R為：bg(u,v,w)=

(7)

(8)

A：V→V′是g-Stokes算子，定義為：

〈Au,v〉=((u,v)),?u,v∈V。

(9)

雙線性算子B(u)=B(u,u)=P(u,▽)u定義為B:V×V→V′，

〈B(u,v),w〉=bg(u,v,w)，?u,v,w∈V。

g-Stokes算子A是從空間V到V′的同構(gòu)，這里B、R滿足下列不等式[8，9]

?u∈V,B(u)v′≤|u|u，

(10)

命題1[7]設(shè)f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一個唯一的u(x,t)，滿足條件

u(x,t)∈L∞(R+;H)∩L2(0,T;V)∩C(R+;H)(?T>0)，使得(6)成立。

證明設(shè)u=u(t)，t>0是由命題1給定的解，因為u∈L2(0,T;V)，u′∈L2(0,T;V′)故

〈f-μAu-c|u|βu-Bu-μRu,u〉=

〈f,u〉-μ‖u‖2+c|u|β+2+bg(u,u,u)-

則bg(u,u,u)=0，?u,v∈V，于是

(11)

由(3)得

(12)

對充分小的|▽g|∞，由Gronwall不等式

|u(t)|2≤

因此，可得

(13)

由命題1，可在H上定義連續(xù)半群{S(t)}為

S(t)u0=u(t)，t>0，u(t)是(6)的解且u(0)=u0∈H。由(13)有吸收集B：

(14)

B在H中對于半群是吸收的。

引理1[6]設(shè)函數(shù)g滿足|△g|∞

2 全局吸引子的維數(shù)估計

下面估計含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程在無界區(qū)域上的全局吸引子的維數(shù)。

設(shè)u0∈A，u(t)=S(t)u0，對t≥0，由(8)得線性流動u可由(15)給出：

(15)

?Ψ∈H，存在唯一的U∈L2(0,T;V)∩C(0,T;H),(?T>0)滿足(15)。

我們定義線性映射L(t;u0):H→H為L(t;u0)ξ=U(t)，可以證明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微，即

(16)

設(shè)F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu，記(15)為

U′=F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu。

(17)

定義qm，(m∈N)：

(18)

這里Qm(τ)=Qm(τ:u0,Ψ1,…,Ψm)是H上的正交投影，L(t;u0)Ψ1，…，L(t;u0)Ψm，在H中?Ψ1，…，Ψm線性無關(guān)。

引理3[10]設(shè)A是(1)的全局吸引子，若對n∈N，有qn<0。那么A分別具有有限的Hausdorff和Fractal維數(shù)估計如下：

dimH(A)≤m，

證明為估計qm，設(shè)u0∈A且u(t)=S(t)u0，Uj(t)=L(t;u0)Ψj，t≥0，設(shè)φi(t)(i=1，…，m)是H中的正交基。則我們有

(19)

由文獻[1]得

Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))≤

所以

由(13)得

于是

k1m+k2，

這里