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    含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程全局吸引子的維數(shù)估計

    2021-01-15 08:19:50劉文婧姜金平熊坤翠
    關(guān)鍵詞:維數(shù)全局算子

    劉文婧,姜金平,熊坤翠

    (延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

    在全局吸引子的幾何拓撲結(jié)構(gòu)中,維數(shù)是一個非常重要的性質(zhì),因為如果全局吸引子分形維數(shù)有限,就能將無窮維動力系統(tǒng)在全局吸引子上約化為一個有限維常微分方程系統(tǒng)。此外,維數(shù)估計也是證明指數(shù)吸引子存在的一個關(guān)鍵步驟。在無窮維動力系統(tǒng)中,被廣泛研究和探討的包括Hausdorff維數(shù)和Fractal維數(shù),近年來已有一些研究成果[1-6]。本文討論無界域上含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes(g-N-S)[7]方程全局吸引子的維數(shù)估計問題,方程如下:

    (1)

    這里u(x,t)∈R2,p(x,t)∈R表示速度與壓力,μ>0且f=f(x)∈(L2(Ω))2,0

    1 預(yù)備知識

    對常數(shù)m0和M0,假設(shè)Poincare不等式在Ω上成立:即存在λ1>0使得

    (2)

    它們的范數(shù)為

    定義g-Laplacian算子:

    (3)

    則可將(1)改寫為:

    (u·▽)u+▽p=f。

    (4)

    u∈L∞(0,T;H)∩L2(0,T;V),T>0,

    (5)

    使得

    (6)

    定義映射bg:Vv×Vg×Vg→R為:bg(u,v,w)=

    (7)

    (8)

    A:V→V′是g-Stokes算子,定義為:

    〈Au,v〉=((u,v)),?u,v∈V。

    (9)

    雙線性算子B(u)=B(u,u)=P(u,▽)u定義為B:V×V→V′,

    〈B(u,v),w〉=bg(u,v,w),?u,v,w∈V。

    g-Stokes算子A是從空間V到V′的同構(gòu),這里B、R滿足下列不等式[8,9]

    ?u∈V,B(u)v′≤|u|u,

    (10)

    命題1[7]設(shè)f∈L2(g),u0(x)∈H,存在一個唯一的u(x,t),滿足條件

    u(x,t)∈L∞(R+;H)∩L2(0,T;V)∩C(R+;H)(?T>0),使得(6)成立。

    證明設(shè)u=u(t),t>0是由命題1給定的解,因為u∈L2(0,T;V),u′∈L2(0,T;V′)故

    〈f-μAu-c|u|βu-Bu-μRu,u〉=

    〈f,u〉-μ‖u‖2+c|u|β+2+bg(u,u,u)-

    則bg(u,u,u)=0,?u,v∈V,于是

    (11)

    由(3)得

    (12)

    對充分小的|▽g|∞,由Gronwall不等式

    |u(t)|2≤

    因此,可得

    (13)

    由命題1,可在H上定義連續(xù)半群{S(t)}為

    S(t)u0=u(t),t>0,u(t)是(6)的解且u(0)=u0∈H。由(13)有吸收集B:

    (14)

    B在H中對于半群是吸收的。

    引理1[6]設(shè)函數(shù)g滿足|△g|∞

    2 全局吸引子的維數(shù)估計

    下面估計含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程在無界區(qū)域上的全局吸引子的維數(shù)。

    設(shè)u0∈A,u(t)=S(t)u0,對t≥0,由(8)得線性流動u可由(15)給出:

    (15)

    ?Ψ∈H,存在唯一的U∈L2(0,T;V)∩C(0,T;H),(?T>0)滿足(15)。

    我們定義線性映射L(t;u0):H→H為L(t;u0)ξ=U(t),可以證明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微,即

    (16)

    設(shè)F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

    B(v,u)-μRu,記(15)為

    U′=F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

    B(v,u)-μRu。

    (17)

    定義qm,(m∈N):

    (18)

    這里Qm(τ)=Qm(τ:u0,Ψ1,…,Ψm)是H上的正交投影,L(t;u0)Ψ1,…,L(t;u0)Ψm,在H中?Ψ1,…,Ψm線性無關(guān)。

    引理3[10]設(shè)A是(1)的全局吸引子,若對n∈N,有qn<0。那么A分別具有有限的Hausdorff和Fractal維數(shù)估計如下:

    dimH(A)≤m,

    證明為估計qm,設(shè)u0∈A且u(t)=S(t)u0,Uj(t)=L(t;u0)Ψj,t≥0,設(shè)φi(t)(i=1,…,m)是H中的正交基。則我們有

    (19)

    由文獻[1]得

    Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))≤

    所以

    由(13)得

    于是

    k1m+k2,

    這里

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