放縮取點(diǎn)法在討論函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用

◇ 山西 趙海涌

利用導(dǎo)數(shù)求解與函數(shù)f(x)零點(diǎn)有關(guān)的綜合問題,是近幾年高考中的熱點(diǎn)題型．求解這類問題大多需要用到零點(diǎn)的存在性定理,這就需要在函數(shù)的定義域內(nèi)取定兩個(gè)點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1＜x2,并且使得f(x1)f(x2)＜0,進(jìn)而確定f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有零點(diǎn)．然而,滿足f(x1)f(x2)＜0的兩個(gè)點(diǎn)x1,x2的取法,有時(shí)較為復(fù)雜．本文介紹“放縮取點(diǎn)法”,可以較好地突破這一難點(diǎn)．

例1已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2(a＞0),試討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解析f(x)的定義域?yàn)?－∞,＋∞),f′(x)＝(x－1)(ex＋2a)．容易看出ex＋2a＞0,所以,當(dāng)x∈(－∞,1)時(shí),f′(x)＜0,故f(x)在(－∞,1)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),f′(x)＞0,故f(x)在(1,＋∞)單調(diào)遞增．fmin(x)＝f(1)＝－e＜0．

由函數(shù)單調(diào)性可知f(x)在(－∞,1)上至多1個(gè)零點(diǎn),在(1,＋∞)上至多1個(gè)零點(diǎn)．由于f(2)＝a＞0,則f(1)f(2)＜0．根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)在(1,＋∞)上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)x＜1時(shí),因?yàn)?x－2)ex＞(x－2)e,故f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞(x－2)e＋a(x－1)2．

令(x－2)e＋a(x－1)2＝0,即a(x－1)2＋e(x－1)－e＝0,

綜上所述,當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)x0的確定,我們利用了放縮法,即當(dāng)x＜1時(shí),(x－2)ex＞(x－2)e．事實(shí)上,令g(x)＝(x－2)ex－(x－2)e,即g(x)＝(x－2)(ex－e),則g′(x)＝ex(x－1)－e,當(dāng)x＜1 時(shí),g′(x)＜0,故g(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減,g(x)＞g(1)＝0,所以(x－2)ex＞(x－2)e．如果感覺這樣取點(diǎn)x0比較復(fù)雜,那么我們就可以調(diào)整放縮．

例如,當(dāng)x＜1 時(shí),(x－2)ex＞－e,故f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞－e＋a(x－1)2．

令－e＋a(x－1)2＝0,解得這樣取得的x1要比上面的x0簡(jiǎn)單．此時(shí)也有f(x1)·f(1)＜0,函數(shù)f(x)在(－∞,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．

放縮取點(diǎn)法的本質(zhì)是根據(jù)函數(shù)解析式中的某部分的單調(diào)性進(jìn)行局部放縮．例如,f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞－e＋a(x－1)2,實(shí)質(zhì)上是利用函數(shù)h(x)＝(x－2)ex在(－∞,1)上單調(diào)遞減,直接把(x－2)ex縮小為在x＝1處的函數(shù)值h(1)＝(1－2)e＝－e．

例2討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解析f (x) 的定義域?yàn)?(0, ＋ ∞),

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)＜0,f(x)在(0,＋∞)單調(diào)遞減,并且因?yàn)閍≤0,并且0＜x＜1時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí),取等號(hào),故f(x)＝解得所以f(x0)≥0,故f(x0)f(1)≤0．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．

綜上所述,當(dāng)a≤0,或a＝e3時(shí),函數(shù)f(x)在(0,＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn);當(dāng)0＜a＜e3時(shí),函數(shù)f(x)在(0,＋∞)內(nèi)有2 個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a＞e3時(shí),函數(shù)f(x)在(0,＋∞)內(nèi)無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)當(dāng)時(shí),對(duì)f(x)的放縮,利用了lne2x≤ex．事實(shí)上,我們?cè)O(shè)g(x)＝lne2x－ex,則得0＜x＜所以gmax(x)＝,故g(x)＝lne2x－ex≤0,即lne2x≤ex,因此時(shí),取等號(hào))．