基于知識結(jié)構(gòu)視角的習題課的思考與實踐

摘? 要：以知識結(jié)構(gòu)的視角剖析了習題課的內(nèi)涵特征和主要任務，從實例中闡釋了習題課設計的基本途徑，并提煉了習題課設計的三條基本原則——整體性、結(jié)構(gòu)性、關聯(lián)性.

關鍵詞：知識結(jié)構(gòu);習題課;整體性;結(jié)構(gòu)性;關聯(lián)性

習題是數(shù)學知識的載體，是數(shù)學思想方法的生長點，蘊含著巨大的教育潛能. 教師通過組織習題課教學，可以及時分析、了解學情，幫助學生梳理已有的知識結(jié)構(gòu)，糾正存在的問題，完善知識系統(tǒng)，并對所學的知識進行深加工，在原有知識的基礎上“再創(chuàng)造”. 因此，習題課在數(shù)學單元教學中占有重要的地位，但在現(xiàn)實中相關研究比較欠缺.鑒于此，下面就個人研究談談習題課的認識與思考，以供研讀.

一、習題課的認識與思考

習題是外在的，其蘊含的數(shù)學知識是內(nèi)隱的. 這種依存關系要求我們必須先對數(shù)學知識本身進行深入分析研究，然后對習題進行有效解讀，最后才能真正詮釋習題課的豐富內(nèi)涵特征.

1. 樸素認識

我們經(jīng)常用“樹”的結(jié)構(gòu)來表述、總結(jié)數(shù)學學科的知識.樹的主干是數(shù)學中的主干內(nèi)容，樹枝就是重要知識，而樹葉是單個數(shù)學命題或者運用. “知識樹”得到了不斷發(fā)展、豐富，在20世紀60年代由美國康奈爾大學的諾瓦克（J.D.Novak）博士根據(jù)奧蘇貝爾（David P.Ausubel）的有意義學習理論提出一種教學技術(shù)——概念圖.在1970年前后由英國學者托尼·巴贊（Tony Buzan）創(chuàng)造了一種記筆記的方法——思維導圖.總之，“知識樹”形象直觀，整體性、結(jié)構(gòu)性、層次性較強，易于學生掌握. 但知識之間的關系不僅僅是樹狀的，而且也是網(wǎng)狀的. 例如，勾股定理是直角三角形的三邊性質(zhì)，它屬于直角三角形的“樹枝”，但是勾股定理可以利用相似、全等、面積等知識去證明，也就是勾股定理與面積、全等、相似具有關系（關聯(lián)），所以知識之間的關系既具有樹狀結(jié)構(gòu)又具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)（如圖1）.

知識之間這種樹狀且網(wǎng)狀的復雜結(jié)構(gòu)是學習的難點所在，也是重點所在.能不能更加簡單地認識知識的這種復雜結(jié)構(gòu)呢？

我們可以關注其中一個知識，如以知識B為視角中心，“有向線段”的方向為標準，我們可以從圖1中剝離出下面三種情況.

第一種情況：知識B“從哪里來”（如圖2）.這個過程蘊含了兩種理解方式.

多種方法解決一個問題.例如，A推導B，或者C推導B，也可以C，D合起來推導B.這也是我們常常說的“一題多法”或者“一題多解”.

多個知識解決一個問題.例如，綜合利用A，C，D推導出B，也意味著知識B綜合性比較大.

第二種情況：知識B“到哪里去”（如圖3），即知識B不僅可以推導F，G，H，而且也可以推導其他知識，“到哪里去”的過程也蘊含了兩種理解方式——知識的多元表征和知識的多種運用.

知識的多元表征.例如，完全平方公式，我們可以用文字語言、圖形、符號、故事情境（分糖故事）等去理解.這樣做的好處在于利用多元表征（語言、文字、符號、圖象、具體事物、實際情境等）凸顯知識對象各方面的屬性，完善知識的整體結(jié)構(gòu)和意義. 又如，我們常說的“一題多變”也屬于此類.

知識的多種運用.例如，我們經(jīng)常講完一個公式、法則后，選擇不同的類型習題讓學生進行練習，這就是命題的多種運用. 又如，幾何基本圖形的運用也屬于此類.

第三種情況：知識B“從哪里來”“到哪里去”（如圖4），即知識的“層級發(fā)展”，這種知識的層級發(fā)展在數(shù)學學科中隨處可見.例如，初中數(shù)學中兩點之間線段最短→三角形任意兩邊之和大于第三邊→三角形任意兩邊之差小于第三邊.

以上三種情況只是“基本”情況，當然實際的知識會更加復雜，但是復雜情況不過是三種基本情況的組合而已.

2. 簡單區(qū)分

在科學教育中引入例題、習題的初衷是鞏固和加深學生知識的學習，考查學生掌握知識的水平，培養(yǎng)學生應用知識解決問題的能力.這樣，為了與數(shù)學概念、公理、定理、法則、公式做一個簡單區(qū)分，我們把數(shù)學概念、公理、定理、法則、公式等內(nèi)容稱為“核心命題”（以下簡稱“命題”），例題、習題等內(nèi)容統(tǒng)稱為“習題”.

3. 一點思考

綜合“樸素認識”和“簡單區(qū)分”的分析認識，來看我們常見的三種課型——新授課、習題課、復習課，就會對三種課型有更深的理解.簡單來說，新授課的主要任務是命題“從哪里來”和“到哪里去”;習題課的主要任務是習題“從哪里來”和“到哪里去”;復習課的主要任務是對整體結(jié)構(gòu)關系的再認知、再深化、再精致和再升華.如果結(jié)合“樸素認識”中三種情況再進行細化，我們就可以建立一個有關習題和命題的表格，得到十種情況，具體見下表.

結(jié)合以上研究，我們可以對習題課的內(nèi)涵做出如下界定：在整體思維指導下，對相關習題進行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，突出習題“從哪里來”和“到哪里去”的過程，彰顯知識的整體性、結(jié)構(gòu)性和關聯(lián)性，在此基礎上進行循環(huán)改進的動態(tài)課堂教學，其主要任務為表格中的最后一行.

二、習題課設計的基本途徑及其示例

教無定法，但有常法，貴在得法.我們可以從本文中習題課的內(nèi)涵和主要任務入手，梳理出習題課設計的基本途徑，概括起來主要有如下六種：習題（命題）的多元表征、多種運用、多種方法解決習題、多種知識解決習題、習題的“層級發(fā)展”.如何理解這六種基本途徑呢？我們不妨來看一節(jié)單元教學習題課的教學設計，具體如下.

1. 選題背景

選擇習題1的理由有兩個.（1）知識視角：很多版本教材都有“利用銳角三角函數(shù)計算小樹高度”的相關習題.（2）學生視角：利用銳角三角函數(shù)解決實際問題（特別是靈活地構(gòu)造直角三角形）是學生學習的重、難點.

2. 教學處理

階段1：多種方法解決習題，多種知識解決習題.

習題1：如圖5，如果我們想利用樹影測量校園內(nèi)的樹高.若太陽光與水平地面的夾角為30°，當他測量教學樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測量，地面部分影長為6米，墻上影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

習題1可以運用多種方法解決（即一題多解），并且每種方法都需要綜合運用多種知識，進而讓學生認識到頭腦中的認知結(jié)構(gòu)中有許多“結(jié)點”，從這種結(jié)點出發(fā)可能形成不同的思路，從而有效地通過多種渠道來解決同一個問題，把所學知識、經(jīng)驗有機組合，形成網(wǎng)絡.在這個階段（一題多解）的教學中，我們必須從“一題多解”走向更深入的“最優(yōu)意識”和“多法歸一”.例如，在解后反思環(huán)節(jié)，教師適時地追問：哪種方法最簡單？這些方法有哪些相同之處？這樣的教學處理，能讓學生明了三種輔助線的添加方法就是梯形常見的輔助線作法，進而更進一步明白問題的根本——利用銳角三角函數(shù)解決問題的關鍵就是構(gòu)造直角三角形. 但是這種解題策略學生是否掌握了呢？我們在習題課中要抓住契機及時跟進.

階段2：習題的多種運用.

變式1：如圖6，我們發(fā)現(xiàn)小樹AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD = 4米，BC = 10米，CD與地面成45°角，且若太陽光與水平地面的夾角為30°，則小樹的高度為多少？

變式2：如圖7，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面影長為BD =[42]米，那么這棵大樹高約多少？

變式3：如圖8，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面部分影長為[42]米，地面部分影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

數(shù)學試題千變?nèi)f化，在課堂教學中教師應經(jīng)常進行“習題的多種運用”（一題多用），引導學生大膽聯(lián)想，積極創(chuàng)造.使學生在變換中看到所學知識的關聯(lián)，想到知識的整體，明白知識的變化.讓學生從不同側(cè)面加深對問題本質(zhì)的認識，即變化小樹的位置、坡面、影長等要素，在不變中求變，在變中求不變.引導學生在求異、思變中創(chuàng)新，激發(fā)學生學習的積極性和趣味性，以培養(yǎng)學生良好的創(chuàng)造性思維品質(zhì)和創(chuàng)造性學習能力.習題的多種運用、多種方法、多種知識可以彰顯數(shù)學內(nèi)部知識之間的關聯(lián)、結(jié)構(gòu)、整體，但是如何讓學生站在更高的視角看問題呢？

階段3：習題的多元表征.

變式4：如圖9，在四邊形ABCD中，∠B = ∠C =135°，∠D = 60°，BC =[42]，CD = 2，求AB的長.

教師在習題本質(zhì)屬性不變的前提下，通過改變習題的圖形、表述方式和形式給出了“變式4”，給學生一次“返璞歸真”的機會，前后關聯(lián)、認識本質(zhì)，以上習題及其變式本質(zhì)就是利用“解直角三角形”來解決“其他圖形”（三角形、四邊形及其不規(guī)則圖形），解決習題的關鍵就是恰當?shù)貥?gòu)造直角三角形，從而積累“構(gòu)造圖形”和“習題學習”的基本經(jīng)驗，幫助學生完善認知結(jié)構(gòu).但是這種知識是否內(nèi)化？結(jié)構(gòu)是否牢固、開放呢？我們還要進一步進行教學推進.

階段4：習題的“層級發(fā)展”.

變式5：請同學們根據(jù)學習經(jīng)驗和生活經(jīng)驗編制一道習題并嘗試解決.

習題2：如圖10，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面影長為BD =[42]米，那么這棵大樹高約多少？

習題3：如圖11，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面部分影長為[42]米，地面部分影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

習題4：如圖12，在四邊形ABCD中，∠B = ∠D =90°，∠A = 60°，BC = 4，CD = 2，求AB的長.

階段1到階段3的過程，實際上就是習題的“層級發(fā)展”，而階段4再一次開放地“層級發(fā)展”，給學生思維一次飛躍的機會，學生也給出了不一樣的精彩（習題2 ～ 4為學生當場編制的部分習題）.通過習題的“層級發(fā)展”能夠形成放射狀問題鏈，極大地豐富學生的知識面，拓展學生的思維空間，使學生思維得以發(fā)散，增強思維的滲透性和變通性.

三、習題課設計的教學啟示

在課堂教學中，我們往往遵循著一般的基本原則，如直觀性教學原則、啟發(fā)性教學原則、鞏固性教學原則、量力性教學原則（可接受性原則）等.但單元教學習題課作為特殊課型，除了考量基本原則以外，通過上面的“示例”歸納，還可以提煉出以下幾項基本原則.

1. 整體性原則——宏觀架構(gòu)課堂

此處的整體性原則主要指兩方面，即數(shù)學內(nèi)容的整體性和教學過程的整體性.圖1呈現(xiàn)了知識的整體狀態(tài)，我們不能把它分割成一條條孤立的習題進行教學，而應當特別注意各習題（知識）之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識框架要從關注一節(jié)課的教學到更大范圍（單元或?qū)W科）的教學，將碎片化的數(shù)學知識進行優(yōu)化統(tǒng)籌整合，這樣有助于學生從整體上把握教學內(nèi)容，確保知識結(jié)構(gòu)的完整性，建構(gòu)完整的知識體系.例如，在剛才的例子中，宏觀上架構(gòu)了兩條主線：明線——計算小樹的“身高”，暗線——學會構(gòu)造直角三角形，兩條主線相互交織，整體架構(gòu).

教學過程本身就是一個受目標、內(nèi)容、方法等多種因素影響和制約的系統(tǒng).具體的就是，教師應該在系統(tǒng)思想和方法下，從整體出發(fā)，分析、判斷并調(diào)控各個要素和相互關系.更確切地說，先進行教材分析、內(nèi)容分析、學情分析，即解決“學什么”的問題;再根據(jù)前面的分析，結(jié)合課程標準，制定具體的教學目標，即解決“學到什么程度”的問題;最后選擇科學合理的方法和恰當實用的素材制定行之有效的教學策略，即解決“怎樣學”的問題.例如，本節(jié)單元教學習題課的設計只是筆者個人所教班級的實踐與思考，如果“原版照抄”，那將會“水土不服”，我們必須根據(jù)數(shù)學內(nèi)容和教學過程的整體性考量，最終達到教學目標、教學內(nèi)容和教學方式等協(xié)調(diào)統(tǒng)一的狀態(tài).

2. 結(jié)構(gòu)性原則——中觀建構(gòu)知識

布爾巴基學派曾指出，數(shù)學并非研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的科學.當然數(shù)學知識結(jié)構(gòu)分為兩種：數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學方法結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)性原則就是指教學的全過程中始終有把教學材料組織成有序、有內(nèi)在邏輯、聯(lián)系緊密甚至深刻的體系，從而內(nèi)化為學生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)的意向.

從數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)來看. 首先，教學過程中要順著知識（習題）的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)發(fā)生;其次，在探究習題時要有結(jié)構(gòu)意識，看看習題的結(jié)構(gòu)是否同構(gòu)，比較異同;最后，總結(jié)提升的時候也要有結(jié)構(gòu)意識.例如，習題1，五個變式，學生編制習題總體上呈現(xiàn)一種層次性、關聯(lián)性的結(jié)構(gòu)特征，整個習題課的設計是成串、成套的，是簡約的多觸點、結(jié)構(gòu)化特征，也是具有“空間”結(jié)構(gòu)的，而不是“平面”結(jié)構(gòu)的簡單展現(xiàn).

從數(shù)學方法結(jié)構(gòu)來看，示例中抓住“斜坡上的小樹”這一情境，由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，讓學生不斷地抓住核心方法——構(gòu)造直角三角形，呈現(xiàn)的方法結(jié)構(gòu)就是以核心方法為中心，多個習題和變式呈現(xiàn)放射狀，這樣的設計（一法多用）可以凸顯幾何基本圖形思想方法，幫助學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，提高數(shù)學學習的元認知水平.

3. 關聯(lián)性原則——微觀精致內(nèi)容

關聯(lián)是為了找到知識的聯(lián)結(jié)，去除遮蔽，關聯(lián)不是簡單地用一種思維去替換另一種思維，而是讓思維能夠充分地從一個點到另一個點進行連續(xù)的活動.圖1中的“有向線段”就是一種關聯(lián)，即“從哪里來”和“到哪里去”，具體表述為習題的多元表征、多種運用、多種方法、多種知識綜合和“層級發(fā)展”等，當然我們不僅僅充分重視這種關聯(lián)，還要注意習題的進一步深化、變化和發(fā)展，注重數(shù)學內(nèi)部知識之間的關聯(lián)，形成知識的網(wǎng)絡體系.當然這種關聯(lián)只是關聯(lián)性中的一種，還有其他兩種.例如，示例中創(chuàng)設情境自然生動，拉近了生活和數(shù)學之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學與生活的關聯(lián);我們還可以拉近不同學科之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學與其他學科之間的關聯(lián).總之，關聯(lián)性原則就是置知識于系統(tǒng)中，著眼于事物之間的聯(lián)系.

以上是個人有關習題課的內(nèi)涵、設計途徑和原則的思考與實踐，囿于筆者的個人水平，還需要一線教師在教學中反復摸索、努力探究、不斷總結(jié)，最終實現(xiàn)數(shù)學習題課的教學目的.

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