基于峰均功率比的蓋氏圓信源數(shù)估計(jì)方法

焦亞萌，武 岳，崔 琳

西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西西安710600

信號源參數(shù)估計(jì)是雷達(dá)、聲吶和地震學(xué)等陣列信號處理領(lǐng)域的重要問題．其中，確定信號源數(shù)目是信號源參數(shù)估計(jì)的重要課題， 出現(xiàn)了如信息論方法、最大后驗(yàn)概率方法、平滑秩法、特征值門限法和假設(shè)檢驗(yàn)法等方法[1]．最常見的是信息論方法，如Akaike 信息論準(zhǔn)則(Akaike information criterion, AIC)和最小描述長度(minimum description length, MDL)準(zhǔn)則等[2]．NADLER[3]和FISHLER等[4]給出包括AIC和MDL準(zhǔn)則在內(nèi)的所有基于信息論算法性能的漸進(jìn)分析：AIC有不可忽略的高估概率，而MDL準(zhǔn)則對信號源的實(shí)際分布不敏感．進(jìn)一步分析可知，在低信噪比(signal to noise ratio, SNR)時，因無法很好地區(qū)分采樣協(xié)方差矩陣特征值的大小，令信號子空間和噪聲子空間難以被正確劃分，造成利用信息論方法估計(jì)信號源數(shù)目時受到特定因素的影響．比如，AIC不是信號源數(shù)的一致估計(jì)，估計(jì)性能并不會隨著信噪比的增加而穩(wěn)步增加；MDL準(zhǔn)則受信噪比影響較大，在低信噪比時，估計(jì)概率不理想. 針對信息論方法的估計(jì)性能受特定因素影響的情況，WU等[5]提出用對數(shù)似然函數(shù)將蓋氏圓半徑與AIC和MDL準(zhǔn)則相結(jié)合的算法，顯著改善了高斯白噪聲環(huán)境下的檢測性能．董志等[6]將對角加載技術(shù)引入MDL準(zhǔn)則中．由于對角加載技術(shù)具有對角加載過程對較大的特征值產(chǎn)生很小的影響，且對應(yīng)于噪聲的較小特征值將收斂到接近負(fù)載值的特性，改善了MDL準(zhǔn)則的性能．HUANG等[7]利用噪聲子空間分量的恒等協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了基于線性收縮的最小描述長度(linear shrinkage based minimum description length, LS-MDL)準(zhǔn)則，利用線性收縮和觀測值的高斯假設(shè)，得到噪聲子空間分量協(xié)方差矩陣的精確估計(jì)量，使該準(zhǔn)則可準(zhǔn)確檢測信號源數(shù)量，且無明顯的額外計(jì)算量．GUIMARES等[8]提出一種用于改善MDL準(zhǔn)則的估計(jì)器，該算法基于向量的范數(shù)，其元素是接收信號協(xié)方差矩陣的歸一化和非線性縮放特征值以及相應(yīng)的歸一化索引，此規(guī)范用于區(qū)分最大特征值與其余特征值，信源數(shù)量檢測效果更好．假設(shè)檢驗(yàn)法的原理是提取出陣列采樣協(xié)方差矩陣特征值，然后用特征值構(gòu)造檢驗(yàn)序列，其檢測門限的設(shè)定很大程度取決于主觀經(jīng)驗(yàn)值．特征值門限方法是基于高斯分布原理處理特征值來檢測信號源數(shù)量，但在低信噪比情況下，信號特征值與噪聲特征值接近，難以區(qū)分，可能導(dǎo)致信號源數(shù)量被低估．

相比特征值，特征向量對信噪比和快拍數(shù)的變化不太敏感．預(yù)測描述長度(predictive description length, PDL)方法使用相關(guān)矩陣的信號子空間和噪聲子空間，能較好地處理相干源和非相干源，性能優(yōu)于MDL方法[9]．通過利用基于特征向量的盲波束形成技術(shù)，GU等[10]提出一種基于特征向量的峰均功率比(peak-to-average power ratio, PAR)方法，彌補(bǔ)了其他方法在低信噪比下難以有效檢測信號源數(shù)的缺陷．然而，對于不等強(qiáng)多目標(biāo)，PAR方法的檢測性能嚴(yán)重下降．

本研究提出一種基于峰均功率比的蓋氏圓估計(jì)(Gerschgorin disk estimator based on peak-to-average power ratio, GDE-PAR)方法．首先，用采樣協(xié)方差矩陣對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，通過矩陣運(yùn)算得到峰均功率比；然后，對采樣協(xié)方差矩陣用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行蓋氏圓變換，計(jì)算其蓋氏圓半徑，用峰均功率比值修正蓋氏圓半徑；最后，將修正后的蓋氏圓半徑應(yīng)用于蓋氏圓估計(jì)方法，從而估計(jì)信號源數(shù)目．仿真結(jié)果表明，GDE-PAR方法在低信噪比下檢測性能較好，對于不等強(qiáng)多目標(biāo)的惡劣環(huán)境也有很好的適應(yīng)能力．

1 信號模型

假設(shè)有一個M陣元的均勻線列陣，陣元間距d為半波長(λ/2)． 在背景噪聲n(t)存在的條件下，設(shè)存在波長為λ的p(p

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Uniform line array diagram

傳感器陣列在t時刻接收的矢量數(shù)據(jù)[11]為

As(t)+n(t)

(1)

因此，陣列接收矢量數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

R=E{x(t)x(t)H}=ARSAH+RN

(2)

其中，E{}為數(shù)學(xué)期望； H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置操作符；RS為信號協(xié)方差矩陣；RN為噪聲協(xié)方差矩陣．

對R進(jìn)行特征分解，可得

R=UΣUH=USΣSUHS+UNΣNUHN

(3)

其中，U為特征矢量矩陣；Σ為由特征值組成的對角陣；ΣS為信號特征值組成的對角陣，ΣS=diag(λ1,λ2, …,λp)， diag()為構(gòu)造對角矩陣函數(shù)，ΣS對應(yīng)的特征向量張成的空間US=[u1,u2, …,up]，ui是特征矢量；ΣN為噪聲特征值組成的對角陣，ΣN=diag(λp+1,λp+2, …,λM)， 其對應(yīng)的特征向量UN=[up+1,up+2, …,uM]．

2 蓋氏圓估計(jì)方法

常見的信號源估計(jì)方法是用特征值估計(jì)信號源數(shù)，而蓋氏圓估計(jì)(Gerschgorin disk estimator, GDE) 方法[12-13]利用的是蓋氏圓半徑．

設(shè)R=(rij)為M×M維矩陣，對矩陣內(nèi)除第i列元素外的第i行元素取絕對值再求和，可得第i個蓋氏圓的半徑為

(4)

定義第i個圓盤上的點(diǎn)在復(fù)平面上的集合Z滿足

|Z-rii|

(5)

其中，rii為圓盤的中心．

信號蓋氏圓與噪聲蓋氏圓模型如圖2．由圖2可見，信號蓋氏圓半徑與噪聲蓋氏圓半徑大小明顯不同．其中，信號蓋氏圓的半徑較大，包含信號源特征值；噪聲蓋氏圓的半徑較小，包含噪聲特征值[14]．為區(qū)分開信號蓋氏圓與噪聲蓋氏圓，需對陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行酉變換．

圖2 信號蓋氏圓與噪聲蓋氏圓模型Fig.2 Signal Gerschgorin dish and noise Gerschgorin dish model

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

因此，第i個蓋氏圓半徑滿足

(11)

(12)

3 GDE-PAR方法

由于協(xié)方差矩陣的信號子空間與入射信號的導(dǎo)向矢量張成的空間是同一個空間，因此，存在滿秩矩陣Q使得信號子空間US滿足

US=AQ

(13)

通過矩陣變換可得

A=USQ-1USB

(14)

其中，B是滿秩矩陣．所以，噪聲子空間UN和導(dǎo)向矢量是正交的，即

uHha(θb)=0

(15)

其中，h=p+1,p+2, …,M；b=1, 2, …,p．

用噪聲特征向量對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，可得第h個陣元的陣列輸出數(shù)據(jù)為

yh(t)=uHhx(t)=uHh(a(θ1)s1(t)+…+

a(θp)sp(t)+n(t))=

uHhn(t)=wNh(t)

(16)

其中，h=p+1,p+2, …,M.

可見，用噪聲特征向量加權(quán)接收數(shù)據(jù)，得到的陣列輸出數(shù)據(jù)中不包含任何信號分量．用信號特征向量對接收數(shù)據(jù)加權(quán)，得到陣列輸出數(shù)據(jù)為

yh(t)=uHhx(t)=uHh[a(θ1)s1(t)+a(θ2)s2(t)+…+a(θp)sp(t)+n(t)]=

[|bh1|s1(t)exp(jφh1)+|bh2|s2(t)exp(jφh2)+…+|bhp|sp(t)exp(jφhp)]+ωNh(t)

(17)

可見，用信號特征向量加權(quán)接收數(shù)據(jù)，得到的陣列輸出數(shù)據(jù)中含有噪聲分量與信號分量，且其信噪比可能是單個陣元輸出信噪比的M倍．

峰均功率比定義為

i=1, 2,…,M

(18)

由以上分析可見，在區(qū)分信號與噪聲方面，峰均功率比與特征值具有一致性．基于此性質(zhì)，文獻(xiàn)[10]提出PAR方法估計(jì)信號源數(shù)目的準(zhǔn)則

(19)

由文獻(xiàn)[10]可知，對于等強(qiáng)多目標(biāo)(同時有多個強(qiáng)度相同的信號入射到接收陣列，在建立接收信號模型時，通過給這些信號設(shè)定相同的入射信噪比來模擬陣列接收回波信號模型)時，PAR方法的檢測性能優(yōu)于MDL和PDL方法；而對于不等強(qiáng)多目標(biāo)(同時有多個強(qiáng)度不相同的信號入射到接收陣列，在建立接收信號模型時，通過給這些信號設(shè)定不相同的入射信噪比來模擬陣列接收回波信號模型)時，PAR算法的檢測性能較差．

本研究設(shè)計(jì)一種既擁有PAR方法對等強(qiáng)多目標(biāo)檢測性能的優(yōu)良性，又能有效避免PAR方法難以準(zhǔn)確檢測不等強(qiáng)多目標(biāo)的缺點(diǎn)的方法．將峰均功率比與蓋氏圓半徑按比例相加，得到第i個修正的蓋氏圓半徑為

(20)

其中，ri為蓋氏圓半徑；fi為峰均功率比值；α為比例系數(shù)，反映峰均功率比值信息對蓋氏圓半徑的影響程度，α值過小無法對蓋氏圓半徑進(jìn)行修正，過大則會導(dǎo)致蓋氏圓半徑信息丟失，因此，需將其控制在一定范圍內(nèi)，本研究取α∈[50, 100]．

式(20)相當(dāng)于把ri放大了1+α|fi|/ri倍，且信號蓋氏圓半徑的放大倍數(shù)大于噪聲蓋氏圓半徑的放大倍數(shù)．由于修正后的蓋氏圓半徑中，噪聲蓋氏圓半徑要遠(yuǎn)小于信號蓋氏圓半徑， 因此提高了檢測性能．

改進(jìn)后的GDE-PAR方法為

(21)

4 仿真及性能分析

假設(shè)有一個陣元數(shù)M=8， 陣元間距為半波長的均勻線性陣列，信號采樣頻率為50 kHz，快拍數(shù)為1 000，采用蒙特卡羅方法分別進(jìn)行不同條件下PDE-PAR方法的性能對比，每次實(shí)驗(yàn)重復(fù)1 000次．

4.1 算法性能分析

實(shí)驗(yàn)1不同信噪比條件下修正的蓋氏圓半徑與特征值對比．假設(shè)有兩個方位角分別為6°和-6°的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到陣列上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3．圖3(a)和圖3(c)為等強(qiáng)雙目標(biāo)特征值與修正的蓋氏圓半徑隨信噪比變化情況；圖3(b)和圖3(d)為固定首個信號的信噪比為-11 dB，第2個信號信噪比從-30 dB增至20 dB時，兩目標(biāo)特征值與修正的蓋氏圓半徑隨信噪比變化情況．

圖3 不同條件下特征值與修正的蓋氏圓半徑對比Fig.3 Comparison of modified Gerschgorin dish radius and eigenvalue under different conditions

由圖3(a)和(c)可見，對于等強(qiáng)雙目標(biāo)，在SNR<-10 dB時，難以有效區(qū)分信號特征值與噪聲特征值；而修正后的蓋氏圓半徑在SNR>-15 dB時能與噪聲蓋氏圓半徑明顯區(qū)分．從圖3(b)和圖3(d)可見，對于不等強(qiáng)雙目標(biāo)，在SNR>-5 dB時，僅有1個信號特征值能與噪聲特征值區(qū)分，另一個信號特征值與噪聲特征值混在一起難以區(qū)分；修正蓋氏圓半徑后，盡管在SNR>-10 dB時，兩信號修正后的蓋氏圓半徑逐漸離散，但仍能與噪聲蓋氏圓半徑明顯區(qū)分．可見，在等強(qiáng)雙目標(biāo)與不等強(qiáng)雙目標(biāo)情形下，修正后的蓋氏圓半徑在區(qū)分信號與噪聲方面對比特征值更具優(yōu)勢．

實(shí)驗(yàn)2等強(qiáng)雙目標(biāo)與不等強(qiáng)雙目標(biāo)檢測性能對比．針對AIC、MDL、PAR和GDE-PAR四種算法，分別仿真其對于等強(qiáng)雙目標(biāo)與不等強(qiáng)雙目標(biāo)的檢測性能．假設(shè)有兩個方位角分別為+6°和-6°的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到陣列上，不等強(qiáng)雙目標(biāo)為固定第1個信號源SNR=5 dB，第2個信號源的SNR值從-20 dB增至20 dB，仿真結(jié)果如圖4．由圖4可見，對于等強(qiáng)雙目標(biāo)，GDE-PAR算法正確檢測到信號源數(shù)目的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的AIC和MDL算法，近似于PAR方法；對于不等強(qiáng)雙目標(biāo)，GDE-PAR算法檢測信號源數(shù)目的性能在4種算法中最優(yōu)．

圖4 等強(qiáng)雙目標(biāo)與不等強(qiáng)雙目標(biāo)性能檢測結(jié)果Fig.4 (Color online) Performance detection comparison of equal and unequal intensity dual targets

實(shí)驗(yàn)3等強(qiáng)3目標(biāo)與不等強(qiáng)3目標(biāo)性能檢測對比．針對AIC、MDL、PAR和GDE-PAR四種算法，分別仿真分析其對于等強(qiáng)3目標(biāo)與不等強(qiáng)3目標(biāo)的檢測性能．假設(shè)有3個方位角分別為0°、10°和20°的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到陣列上，各方法檢測性能如圖5．其中，圖5(a)為等強(qiáng)3目標(biāo)檢測新能隨信噪比變化情況；圖5(b)為固定第1個目標(biāo)SNR=6 dB，其他兩個目標(biāo)SNR值從-10 dB增至20 dB時，各方法檢測性能的變化情況．對比可見，對于等強(qiáng)3目標(biāo)和不等強(qiáng)3目標(biāo)， GDE-PAR方法的檢測性能比其他方法都更具優(yōu)勢．

4.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

圖5 等強(qiáng)三目標(biāo)與不等強(qiáng)三目標(biāo)性能檢測結(jié)果Fig.5 (Color online) Performance detection comparison between equal-intensity three-target and unequal-intensity three-target

分析表1可知， 由于增加了蓋氏圓半徑的計(jì)算， 在不同信噪比條件下，修正的蓋氏圓半徑計(jì)算時間比峰均功率比的略有增加，即O3(M)略大于O2(1)．因此，GDE-PAR方法在沒有大幅增加計(jì)算量的同時，提高了算法在低信噪比時的檢測性能，尤其針在不等強(qiáng)多目標(biāo)環(huán)境的檢測能力優(yōu)于其他算法．

表1 不同信噪比下fi 、ri與的計(jì)算時間

結(jié) 語

通過對峰均功率比與蓋氏圓半徑的分析，提出一種基于峰均功率比的蓋氏圓估計(jì)GDE-PAR方法，引入PAR方法在低信噪比條件下檢測等強(qiáng)目標(biāo)的優(yōu)勢，結(jié)合GDE方法在檢測不等強(qiáng)目標(biāo)的優(yōu)良特性，使GDE-PAR方法更具廣泛的適用性．仿真結(jié)果表明，對于等強(qiáng)雙目標(biāo)，GDE-PAR方法的信源檢測性能與PAR方法基本一致，對于不等強(qiáng)雙目標(biāo)該方法的信源檢測性能最優(yōu)；對于等強(qiáng)3目標(biāo)與不等強(qiáng)3目標(biāo)，GDE-PAR方法的信源檢測性能比AIC、MDL和PAR方法都更具優(yōu)勢．可見，GDE-PAR方法是一種適用范圍廣、檢測性能好的多目標(biāo)檢測方法．