基于分段冪次函數(shù)滑模觀測器的永磁同步電機速度控制

田其章，文定都，劉建華，周志宇，羅 達，張 陽

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有運行效率高、損耗小、體積小、功率因數(shù)高，以及結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點[1]。因此，永磁同步電機在交流驅(qū)動和控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2]。在傳統(tǒng)的PMSM 控制中，為了提高永磁同步電機的精確控制，需要對電機安裝位置傳感器和速度傳感器，這些傳感器不僅增加了電機的體積，而且降低了控制系統(tǒng)的魯棒性，因而使得永磁同步電機的應(yīng)用受到了一定的限制[3]。因此，近年來，永磁同步電機的傳感器控制研究，成為了國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者們研究的熱點領(lǐng)域之一[4]。

目前，常見的無傳感器控制方法，主要有高頻注入法[5]、卡爾曼濾波器法[6]，以及滑模觀測器（sliding mode observer，SMO）估算法[7]。采用滑模觀測器時因其會有抖振現(xiàn)象產(chǎn)生，從而會影響觀測精度，為了解決滑模觀測器中固有的抖振問題，文獻[8]利用sigmoid 函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)，從而抑制了抖振現(xiàn)象，但是無法保證控制系統(tǒng)的魯棒性。文獻[9]在滑模觀測器中設(shè)計了具有變截止頻率的低通濾波器，有效地抑制了系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。文獻[10]采用擴展卡爾曼濾波器對電機反電動勢進行了觀測與濾波，達到了抑制抖振的效果。文獻[11]在傳統(tǒng)滑模觀測器的基礎(chǔ)上引用了指數(shù)趨近律，設(shè)計了一種新型的趨近律，達到了降低系統(tǒng)抖振的目的。文獻[12]采用分數(shù)階滑模，有效地削弱了系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。文獻[13]采用具有非奇異終端滑模的低通濾波器進行觀測，并且將其和傳統(tǒng)的滑模觀測器進行了對比分析，證明了該觀測器在抑制抖振方面有了明顯的改善。

本文擬針對傳統(tǒng)滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象，提出一種新型的滑模觀測器。所提出的觀測器在傳統(tǒng)滑模觀測器的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種新型的S 函數(shù)，以有效地抑制滑模固有的抖振問題。同時，為了進一步提高永磁同步電機的動態(tài)跟蹤性能，加入了滑?？刂破鳎蕴岣哒{(diào)速系統(tǒng)的收斂速度和控制性能。最后，通過理論分析與實驗仿真對比，證明了所提出的新型滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制系統(tǒng)的收斂迅速、控制性能較高，能有效地削弱滑模觀測器中固有的抖振問題，且具有很強的魯棒性。

2 PMSM 數(shù)學(xué)模型

表貼式PMSM 在兩相靜止αβ 坐標(biāo)系下的電壓方程如下：

反電動勢方程如下：

式（1）（2）中：

uα、uβ分別為兩相靜止αβ 坐標(biāo)系下的定子電壓；

iα、iβ分別為兩相靜止αβ 坐標(biāo)系下的定子電流；

R 為定子電阻；

Ls為定子電感；

eα、eβ分別為αβ 坐標(biāo)系下的電機反電動勢；

ψf為永磁體磁鏈；

ωr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；

θ 為轉(zhuǎn)子位置信息。

由式（1）可以得出PMSM 在兩相靜止αβ 坐標(biāo)系下的電流方程如下：

3 滑模觀測器的設(shè)計

根據(jù)電流方程式（3）和滑模變結(jié)構(gòu)控制基本原理，定義滑模結(jié)構(gòu)控制的切換函數(shù)如下：

式中：x 為狀態(tài)向量；

以估測電流與實際電流之間的誤差構(gòu)成的切換面，為

3.1 傳統(tǒng)滑模觀測器

根據(jù)式（3）與滑模變原理，設(shè)計傳統(tǒng)滑模觀測器的電流方程如下：

sgn( )為開關(guān)函數(shù)；

ks為滑模觀測器切換增益。

由式（6）與式（3）作差，可以得到如下定子電流的誤差方程：

當(dāng)系統(tǒng)存在并且穩(wěn)定運行于滑模面時，S(x)=0，可得：

通過濾波后，根據(jù)公式（2）與公式（8），即可以從反電動勢中提取估算的轉(zhuǎn)子位置信息以及轉(zhuǎn)子的電角速度：

式（9）（10）中：θe為轉(zhuǎn)子位置估算的角度；

ωe為轉(zhuǎn)子估算的電角速度。

通過上述推導(dǎo)，可以得到傳統(tǒng)滑模觀測器的原理圖，如圖1 所示，圖中s 為拉普拉斯變換復(fù)頻域變量。

圖1 傳統(tǒng)滑模觀測器原理圖Fig.1 Schematic diagram of a traditional sliding mode observer

3.2 新型滑模觀測器

由于傳統(tǒng)滑模觀測器中存在固有的抖振現(xiàn)象，高頻率抖振不僅會增加系統(tǒng)能耗，而且會直接影響觀測精度，為了削弱系統(tǒng)中存在的抖振現(xiàn)象，本文設(shè)計了一個分段冪次函數(shù)，其公式如下：

式中：b 為邊界層厚度；

x 為觀測電流值和實際電流值之間的誤差。

由式（10）可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和曲線的斜率有關(guān)，故可以通過改變常數(shù)b 的值來檢測對系統(tǒng)的優(yōu)化效果以及反電動勢的穩(wěn)定性程度，改變后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b 的取值為0.001 時，其對該系統(tǒng)的優(yōu)化和穩(wěn)定反電動勢具有最佳的效果。該函數(shù)在不同b 值下的曲線如圖2 所示。

圖2 不同b 值下的分段冪次函數(shù)Fig.2 Piecewise power function with different b values

根據(jù)式（2）（3）（6）（11），可以推算出新型滑模觀測器的數(shù)學(xué)模型，為

通過式（12）構(gòu)成的新型滑模觀測器濾波后，可以從反電動勢中提取出估算的轉(zhuǎn)子位置信息以及轉(zhuǎn)子速度。

新型滑模觀測器的原理圖如圖3 所示。

圖3 新型滑模觀測器原理圖Fig.3 Schematic diagram of the new sliding mode observer

3.3 新型滑模觀測器的穩(wěn)定性證明

為了證明新型滑模觀測器的穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)：

式中V 為 Lyapunov 函數(shù)。

要使得新型滑模觀測器穩(wěn)定運行，則其導(dǎo)數(shù)應(yīng)該滿足：

從而可得：

4 滑模速度控制器的設(shè)計

本研究是在表貼式PMSM 下設(shè)計滑?？刂破?，首先在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)d-q 軸系下建立如下永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型：

式中：ud、uq分別為定子電壓在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)d、q軸下的分量；

id、iq分別為定子電流在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)d、q 軸下的分量；

pn為電機相數(shù)；

J 為轉(zhuǎn)動慣量；

TL為負載轉(zhuǎn)矩；

B 為轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)。

本文根據(jù)表貼式PMSM 的特點，選取了id=0 的矢量控制策略。此時式（22）的數(shù)學(xué)模型變?yōu)?/p>

定義永磁同步電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

式（23）（24）中：ωref為電機的給定轉(zhuǎn)速；

ωm為實際轉(zhuǎn)速。

將式（23）和式（24）聯(lián)立可得：

即

對于轉(zhuǎn)速滑?？刂破?，選取滑模面函數(shù)為

式中，c 為設(shè)計參數(shù)，且c＞0。

對式（28）求導(dǎo)，可得：

選擇如下指數(shù)趨近律：

式中，ε、q 均為設(shè)計參數(shù)，且ε＞0、q＞0。

由式（29）與式（30）可得：

由式（31）可得u 的表達式為

從而可得到q 軸的參考電流為

根據(jù)式（33）可以得出，q 軸的參考電流控制器中包含有積分項，一方面，它可以加快初始轉(zhuǎn)速的響應(yīng)速度，減小調(diào)節(jié)時間；另一方面，它可以減少系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。而由滑模的可達性條件，容易驗證在控制器（如式（33）所示）的作用下，系統(tǒng)將逐漸趨于穩(wěn)定。

5 控制系統(tǒng)建模仿真與分析

5.1 仿真模型的搭建

為了驗證上文中所給出的滑模速度控制器的正確性，接下來根據(jù)滑模面函數(shù)式（28）以及q 軸的參考電流表達式（33），在Matlab/Simulink 環(huán)境下，搭建了滑模速度控制器的仿真模型，具體如圖4 所示。仿真模型中，滑模速度控制器的參數(shù)設(shè)定如下：c=50，ε=180，q=300。

圖4 滑模速度控制器仿真模型Fig.4 Sliding mode speed controller simulation model

基于新型滑模觀測器結(jié)合滑?？刂破鞯挠来磐秸{(diào)速系統(tǒng)的控制原理圖如圖5 所示，基于新型的滑模觀測器永磁同步電機的仿真模型如圖6 所示。在該新型滑模觀測器中，采用分段冪次函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)后的部分仿真模型圖如圖7 所示，其中的參數(shù)設(shè)置如下：常數(shù)b=0.001，增益ksw=73.5，低通截止濾波器f =20 000。

圖5 基于新型滑模觀測器結(jié)合滑模控制器的永磁同步調(diào)速系統(tǒng)控制原理圖Fig.5 Schematic diagram of permanent magnet synchronous speed control system based on a new sliding mode observer combined with sliding mode controller

在本研究中，三相永磁同步電機仿真的電機參數(shù)設(shè)置如下：極對數(shù)Pn=4，定子電阻R=2.875 Ω，定子電感Ls=8.5 mH，轉(zhuǎn)動慣量J=10-3kg·m2，磁鏈ψf=0.175 Wb，阻尼系數(shù)B=0.008 N·m·s。系統(tǒng)的具體仿真條件設(shè)置如下：直流側(cè)的電壓Udc=311 V，PWM 的開關(guān)頻率fpwm=10 kHz，仿真時間設(shè)為0.2 s，給定的初始轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，并且在0.05 s 時突加5 N·m 的負載轉(zhuǎn)矩。

圖6 基于新型滑模觀測器的永磁同步電機仿真模型Fig.6 Simulation model of permanent magnet synchronous motor based on a new sliding mode observer

圖7 新型滑模觀測器中使用分段S 函數(shù)部分仿真模型Fig.7 Partial simulation model using piecewise S function in the proposed sliding mode observer

5.2 仿真結(jié)果與分析

基于傳統(tǒng)滑模觀測器和基于新型滑模觀測器的PMSM 仿真結(jié)果如圖8～10 所示。其中，圖8 為傳統(tǒng)滑模觀測器的轉(zhuǎn)速仿真波形與新型滑模觀測器的轉(zhuǎn)速仿真波形，圖9 為傳統(tǒng)滑模觀測器與新型滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器的三相電流仿真曲線，圖10為傳統(tǒng)滑模觀測器與新型滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器的轉(zhuǎn)速誤差仿真曲線。

圖8 滑模觀測器的轉(zhuǎn)速仿真波形Fig.8 Speed simulation waveforms of sliding mode observer

圖9 滑模觀測器的三相電流仿真曲線Fig.9 Three-phase current simulation curves of sliding mode observer

根據(jù)圖8 所示滑模觀測器的轉(zhuǎn)速仿真波形可以得知，傳統(tǒng)的滑模觀測器在轉(zhuǎn)速觀測過程中，超調(diào)現(xiàn)象較為嚴(yán)重，電機的轉(zhuǎn)速從0 r/min 上升到給定轉(zhuǎn)速1 000 r/min 的調(diào)節(jié)時間較長，達到給定轉(zhuǎn)速后的抖振現(xiàn)象較大，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，突加負載后的超調(diào)量σ=2.5%；而新型觀測器結(jié)合滑模速度控制器在轉(zhuǎn)速觀測過程中，其超調(diào)量非常小，電機的轉(zhuǎn)速從0 r/min上升到給定轉(zhuǎn)速1 000 r/min 的調(diào)節(jié)時間很短，具有良好的動態(tài)響應(yīng)速度，達到穩(wěn)定后，抖振現(xiàn)象非常小，突加負載后的超調(diào)量σ=1.5%。

由圖9 所示的滑模觀測器的三相電流仿真曲線可以得知，傳統(tǒng)的滑模觀測器估算出的三相電流可以呈現(xiàn)出基本的正弦波形，但是整個波形的波動幅度非常大，并且在突加負載后，三相電流恢復(fù)的速度較慢；而基于新型滑模觀測器的三相電流呈現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)的電流正弦波形變化，并且在突加負載后，三相電流的恢復(fù)速度非?？臁?/p>

圖10 滑模觀測器的轉(zhuǎn)速誤差仿真曲線Fig.10 Simulation curves of rotational speed error of sliding mode observer

由圖10 所示滑模觀測器的轉(zhuǎn)速誤差曲線可以得知，傳統(tǒng)滑模觀測器的實際轉(zhuǎn)速與估測轉(zhuǎn)速的誤差在-5～10 r/min 大范圍內(nèi)劇烈波動，抖振現(xiàn)象非常嚴(yán)重；而新型滑模觀測器的實際轉(zhuǎn)速與估測轉(zhuǎn)速的誤差在-1～2 r/min 范圍內(nèi)波動，抖振現(xiàn)象很小，且相較于傳統(tǒng)滑模觀測器，新型滑模觀測器在應(yīng)對突加負載時，轉(zhuǎn)速誤差變化較小。

根據(jù)上述仿真結(jié)果與分析可以得知，傳統(tǒng)的滑模觀測器產(chǎn)生的超調(diào)現(xiàn)象較為嚴(yán)重，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度較慢，抖振現(xiàn)象較嚴(yán)重，且突加負載時，系統(tǒng)抗干擾能力較差，調(diào)節(jié)時間較長；而新型滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器產(chǎn)生的超調(diào)量較小，系統(tǒng)具有良好的響應(yīng)速度，抖振現(xiàn)象很小，當(dāng)突加負載時，系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力。

6 結(jié)語

本研究采用分段冪次函數(shù)設(shè)計了一滑模觀測器，提出了一種基于新型的分段冪次函數(shù)的滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器的調(diào)速控制系統(tǒng)。經(jīng)過仿真試驗驗證，發(fā)現(xiàn)相對于傳統(tǒng)的滑模觀測器調(diào)速系統(tǒng)，基于新型的滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器的調(diào)速系統(tǒng)，在電機控制過程中，無論是在抗干擾能力、超調(diào)量、動態(tài)響應(yīng)速度方面，還是維持三相電流穩(wěn)定方面，都具有一定的優(yōu)勢。在整個仿真試驗中，基于新型的滑模觀測器結(jié)合滑模速度控制器的調(diào)速系統(tǒng)，能夠明顯地削弱抖動現(xiàn)象，增強了系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，證明了所提出的新型的控制系統(tǒng)的魯棒性較強，達到了預(yù)期的設(shè)計目的。